第三讲：两直线的相对位置(垂直)、平面投影、平面内点和直线(一)

1、2022-3-11.2 .2 直线的投影（续）直线的投影（续）. . 平面的投影平面的投影两直线垂直（相交或交叉垂直）。两直线垂直（相交或交叉垂直）。平面的表达法。平面的表达法。各种位置平面的投影特性及作图方法。各种位置平面的投影特性及作图方法。 互相垂直的两直线（相交或交叉）中，有一互相垂直的两直线（相交或交叉）中，有一条直线平行于某一投影面时（条件）条直线平行于某一投影面时（条件） ，则两直线，则两直线在该投影面上的投影仍相交成直角（投影特性）；在该投影面上的投影仍相交成直角（投影特性）；反之，亦成立。反之，亦成立。BACcbacba4.两直线垂直两直线垂直（相交或交叉）（相交或交叉）直角

2、投影定理直角投影定理两直线的相对位置两直线的相对位置AB垂直于垂直于BC,且且AB平行于平行于H面面,则有则有ab bc(相交垂直相交垂直)。abccbaOX2022-3-13AB垂直于垂直于MN,且且AB平行于平行于H面面,则有则有ab mn。 (交叉垂直交叉垂直)O42022-3-1 例例1: 过点过点A作线段作线段EF的垂线的垂线AB，并使并使AB平行于平行于V 面面。bb 52022-3-1f例例2: 2: 过点过点E E作线段作线段ABAB、CDCD的公垂线的公垂线EFEF。f e e62022-3-1b b 例例3 3：作三角形：作三角形ABCABC， ABCABC为直角，使为直角

3、，使BCBC在在MNMN上，上， 且且BCBC AB =2AB =2 3 3。b bc cABABa a b b | |y yA A-y-yB B| |b b c c =BC=BCc c a a a aO两直线垂直的应用两直线垂直的应用求距离求距离求点到直线的距离求点到直线的距离kkk k得到点到直线距离的投影后再求实长得到点到直线距离的投影后再求实长实长实长aabbb ba ac ccchhh h实长实长投影投影必必须须完整完整（1 1）（2 2）OX（f f）e ef f eeggg gOX2 2、直线和直线外一点、直线和直线外一点（直（直线线AB、点、点C） ； 3 3、两条平行直线；、

4、两条平行直线； 4 4、两条相交直线、两条相交直线（AB、BC） ； 5 5、平面图形（、平面图形（ABC ）。）。 一一. .用几何元素表示平面用几何元素表示平面( (五种五种) )1 1、不在一直线上的三点决定、不在一直线上的三点决定一个平面（点一个平面（点A A、B B、C C）；）；平面的表示法平面的表示法Oaabba ab ba”a”b”b”ccc”c”c cXZYHYWx xz zy yp px xp pz zp pY YH HV VW WP PV VP PH HP PW W二二. . 用迹线表示平面用迹线表示平面平面的表示法平面的表示法P PP PV VP PH Hx xp px

5、 xP PY YH Hp pY Yw wz zP PW WO Op pz zY YH HY YW W迹线：平面与投影面的交线。迹线：平面与投影面的交线。平面在三投影面体系中的投影特性平面在三投影面体系中的投影特性 投影面平行面投影面平行面一般位置平面一般位置平面特殊位置平面特殊位置平面平行于某一投影面平行于某一投影面与三个投影面都倾斜与三个投影面都倾斜 水平面水平面 正平面正平面 侧平面侧平面各种位置平面的投影各种位置平面的投影投影面垂直面投影面垂直面只垂直于某一投影面，只垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面倾斜于另两个投影面 铅垂面铅垂面 正垂面正垂面 侧垂面侧垂面VPXHYYZOWpP”P

6、水平面的投影特性：水平面的投影特性：1.1.水平投影反映空间平面水平投影反映空间平面 的实形；的实形； 2.2.正面和侧面投影都积聚为一条直正面和侧面投影都积聚为一条直线，且分别平行于线，且分别平行于OXOX轴和轴和OYOY轴。轴。 投影面的平行面投影面的平行面1.1.水平面水平面平行于平行于H H面的平面面的平面积聚性积聚性积聚性积聚性实形性实形性投影面的平行面投影面的平行面2.2.正平面正平面平行于平行于V V面的平面面的平面WYZOHYXq qqqq”q”VQWYZOHYXrrr rr”r”投影面的平行面投影面的平行面3.3.侧平面侧平面平行于平行于W W面的平面面的平面V 1. 1.在

7、其所平行的投影面上的投影，反映在其所平行的投影面上的投影，反映空间平面的实形。空间平面的实形。 2. 2.在其它两个投影面上的投影，分别积在其它两个投影面上的投影，分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。聚成与相应的投影轴平行的直线。投影面投影面平行面平行面 的投影特性：的投影特性：用用迹线表示迹线表示的的 投影面平行面的投影投影面平行面的投影水平面水平面侧平面侧平面正平面正平面P PV VP PW WOZXYHYWP PH HP PV VOZXYHYWP PH HP PW WOZXYHYWV 1.1.铅垂面铅垂面垂直于垂直于H H面，且倾斜于面，且倾斜于V V面、面、W W面的平面面的平面投影面

8、的垂直面投影面的垂直面平面对投影面的倾角：平面对投影面的倾角：对水平投影面的倾角对水平投影面的倾角对正立投影面的倾角对正立投影面的倾角对侧立投影面的倾角对侧立投影面的倾角铅垂面铅垂面的投影特性：的投影特性：1.1.水平投影积聚为一条倾斜线段水平投影积聚为一条倾斜线段, ,且该直线段与且该直线段与OXOX、OYOY轴的轴的夹角反映空间平面对夹角反映空间平面对V V面、面、W W面的倾角；面的倾角；2.2.正面投影和侧面投影为空间平面的正面投影和侧面投影为空间平面的类似形类似形。ZWYHYOX类似性类似性类似性类似性积聚性积聚性162022-3-1类似形：类似形： 边数相同边数相同 平行关系不变平

9、行关系不变 凹凸关系不变凹凸关系不变172022-3-1投影面的垂直面投影面的垂直面2.2.正垂面正垂面垂直于垂直于V V面，且倾斜于面，且倾斜于H H面、面、W W面的平面面的平面VWYHYOX正垂面正垂面182022-3-1YHYOX投影面的垂直面投影面的垂直面3.3.侧垂面侧垂面垂直于垂直于W W面，且倾斜于面，且倾斜于V V面、面、H H面的平面面的平面投影面投影面垂直面垂直面 的投影特性：的投影特性： 1.1.在它垂直的投影面上的投影积聚成直线，且该直线在它垂直的投影面上的投影积聚成直线，且该直线与投影轴的夹角反映空间平面对其它两投影面的倾角。与投影轴的夹角反映空间平面对其它两投影面

10、的倾角。 2. 2.其它两个投影面上的投影，为空间平面的类似形。其它两个投影面上的投影，为空间平面的类似形。V a a b b c c a a b b c c a ab bc ca ab bc ca a c c b b c c b b a a 例例4:4:根据投影图，判断下列平面的空间位置根据投影图，判断下列平面的空间位置水平面水平面铅垂面铅垂面OZXYHYWOZXYHYW202022-3-1铅垂面铅垂面的迹线表示法的迹线表示法P PP PH H 用迹线表示的投影面用迹线表示的投影面垂直面的投影垂直面的投影P PH HP PW WP PV VOZXYHYW P PH HOZXYHYW21202

11、2-3-1正垂面正垂面的迹线表示法的迹线表示法 Q QQ QV VQ QV VOZXYHYWP PV VP PW WP PH HOZXYHYW222022-3-1侧垂面侧垂面的迹线表示法的迹线表示法V VW WS Sw wS SS Sw wOZXYHYWP PH HP PV VP PW WOZXYHYW232022-3-1投影特性：三个投影都是空间平面图形的类似形。投影特性：三个投影都是空间平面图形的类似形。一般位置平面一般位置平面BACDYOabcHYXbaZacbcWn思考：思考：从属于投影面从属于投影面的平面的投影特性是的平面的投影特性是什么？其投影图如何？什么？其投影图如何？2022-

12、3-124a ab bb b a a S Sb b a a a ab bA AB B结论：结论：过一般位置直线总可作投影面的垂直面。过一般位置直线总可作投影面的垂直面。过一般位置直线过一般位置直线ABAB作作铅垂面铅垂面P PH H过一般位置直线过一般位置直线ABAB作正作正垂面垂面S SV VP PP PH HS SV VA AB B讨论：讨论：过一般位置直线能否作投影面的垂直面？过一般位置直线能否作投影面的垂直面？252022-3-1作图：作图：过一般位置直线作投影面的垂直面。过一般位置直线作投影面的垂直面。( (迹线表示法迹线表示法) )b b a a Q QV VS SW WP PH

13、HOZXYHYW2022-3-126作图：作图：过一般位置直线作投影面的垂直面。过一般位置直线作投影面的垂直面。( (几何元素表示法几何元素表示法) )m m n n( (n n ) )(m)(m)OXOX铅垂面铅垂面正垂面正垂面2022-3-127讨论并作图：讨论并作图：过正垂线可作哪些平面？过正垂线可作哪些平面？ ( (迹线表示法迹线表示法) )P PV VS SV VQ QV VR RV V（a a ）给题）给题（c c）作侧平面）作侧平面（ b b）作水平面）作水平面（d d）作正垂面）作正垂面 （有无穷多个（有无穷多个）OXOXOXOX2022-3-128P PH HS SH Hg

14、g g g（a a ）给题给题（c c）作正垂面作正垂面（ b b）作正平面作正平面（d d）作一般位置平面作一般位置平面（有无穷多个）（有无穷多个）讨论并作图讨论并作图 过正平线可作哪些平面？过正平线可作哪些平面？( (迹线表示迹线表示法法) )OXOXOXOX平面上的点和直线平面上的点和直线一、平面上的直线一、平面上的直线必须满足的几何条件：必须满足的几何条件： 通过平面上两点，如通过平面上两点，如BEBE。或或 过平面内一点（过平面内一点（C），），且平行于平面内的一条直且平行于平面内的一条直线（线（AB），如直线），如直线CD 。aabba ab ba”a”b”b”ccc”c”c cd

15、dd dd”d”eee ee”e”OZXYHYW302022-3-1a ab bc cb b c c a a d d m mn nn n m m d d解法一：解法一：解法二：解法二：有多少解？有多少解？有无数解。有无数解。例例5 5：已知平面由直线：已知平面由直线ABAB、ACAC所确定，所确定，试在平面内任作一条直线。试在平面内任作一条直线。OXa ab bc cb b c c a a OX二、平面内的点：必在平面内的一直线上，二、平面内的点：必在平面内的一直线上，平面内平面内定点定点须须先定线先定线。平面上的点和直线平面上的点和直线eed dd”d”e e 例例6 6：已知：已知D D点

16、在点在ABCABC平面内，补全其投影。平面内，补全其投影。e”e”aabba ab ba”a”b”b”ccc”c”c cddOZXYHYW作图要点：作图要点：1 1、先过点、先过点的已知投影作平面内直的已知投影作平面内直线的投影，并求出直线线的投影，并求出直线的其它投影；的其它投影；2 2、再在直线的其它投、再在直线的其它投影上求点的其它投影。影上求点的其它投影。322022-3-1例例7 7：已知点：已知点E E 在在 ABCABC上，试求点上，试求点E E 的正面投影的正面投影 。e ee e OX332022-3-1例例8 8：已知点已知点属于属于 ABC ABC 平面，试求其水平面，试求其水 平投影平投影k k。b ba ac cc c a a k k b b k kOX342022-3-1例例9 9：已知：已知 ABCABC给定一平面，试判断点给定一平面，试判断点D D是否属于该是否属于该 平面。平面。d d d de ee e 不属于不属于OX