第九章正弦稳态电路的分析

1、第九章 正弦稳态电路的分析重点：1 阻抗与导纳的概念及意义2 正弦交流电路的相量分析方法3 正弦交流电路的功率分析4. 串联谐振及并联谐振的特点及分析9.1 阻抗与导纳9.1.1 阻抗及导纳一、阻抗1相量形式的欧姆定律 2阻抗的定义不含独立源的一端口（二端）网络，如果端口的电压相量为，端口的电流相量为，则该电口的策动点（驱动点）阻抗定义为3 几个概念其中，称为电阻，称为电抗，而称为感抗，称为容抗二、导纳1导纳的定义不含独立源的一端口（二端）网络，如果端口的电压相量为，端口的电流相量为，则该电口的策动点（驱动点）阻抗定义为2 几个概念其中，称为电导，称为电纳，而称为感纳，称为容纳9.1.2 阻抗

2、的意义1引入的意义使得正弦电路电路的分析计算可以仿照电阻电路的计算方法进行。2阻抗参数的意义1）其中表征端口电压与端口电流的幅值比，即表征了电路部分对正弦交流电流的阻碍作用。越大，对交流电流的阻碍作用越大比如电容元件通高频、阻低频的特性分析：，电感元件通低频、阻高频的特性分析：。2）其中表征端口电压与端口电流的相位关系，即表征了电路端口电压超前端口电流的角度。3阻抗三角形与串联电路中的电压三角形有如下所示的RLC串联电路首先可以根据时域电路绘制出相应的电路相量模型：根据KVL：则：其中： 4感性电路与容性电路一个不含独立源的电路部分（二端口网络）的策动点阻抗为 当，即（）时，网络端口电压超前网

3、络端口电流，网络呈现感性，称该网络为感性负载； 当，即（）时，网络端口电压滞后网络端口电流，网络呈现容性，称该网络为容性负载； 9.1.3 入端阻抗的求取应用“等效”的概念，可以得出阻抗串并联的等效阻抗，其计算方法与相应的电阻电路的计算方法相同。1串联2并联3混联直接根据阻抗的串并联关系求取。4其他无法使用阻抗的串并联直接求解的混连情况，以及含有受控源的情况，均可根据入端阻抗的定义求取。（加源法，开路短路法）9.2 正弦交流电路的计算9.2.1 步骤1计算出相应的LC对应的感抗与容抗2绘制原电路对应的相量模型3按照KCL、KVL及元件的VCR计算待求量对应的相量4得出待求量对应的时域量 4-2

4、已知：以下电路为一个移相电路，常常用于可控硅触发电路中。 证明：（1）如果，则，且超前90o。 （2）改变电阻R的值，可以在不改变的同时，改变对的相位差 证明： 画出相量图a. 将输入电压作为参考相量；b. 为容性负载，超前一定的角度；c. 为阻性负载，与同相d. ，e. 画出： f. 画出：从该相量图中可以看出，由于支路2中的两个电阻相等，因此相量正好是从相量的中点出发的， 且相量与相量始终互相垂直，这样相量就一定位于以相量的中点为圆心，长为半径的位置上。证明（2）中的内容得证。 图中：从几何上分析，要相量超前相量90度，只需既可，所以即为满足（1）中要求的条件。证明（1）中的内容得证。9.

5、2.6 例题5节点电压法5-1已知：电路如图所示，。 求：节点电压解： 1）绘制原电路的相量模型其中由此可以绘出电路的相量模型如图（b）2）列写节点电压方程该电路仅有一个独立节点，依照节点电压法可得出方程如下：-（1）补充受控源支路的方程：-（2）联立方程（1）和（2），可以解得：所以待求量为：5-2 已知：电路如图所示，。 求：i1(t)、i2(t) 、iC1(t)、iC2(t)、iL(t)解： 1）绘制原电路的相量模型其中，而，所以由此可以绘出电路的相量模型如图（b）2）列写节点电压方程该电路有两个独立节点，依照节点电压法可得出方程如下：9.2.7 例题6回路法 求：各个支路电流解： 1）

6、绘制电路的相量模型由此可以绘出电路的相量模型如图（b）2）使用网孔法，则网孔电流分别为、 则可根据KCL求得：所以待求量为：9.2.8 例题7戴维南定理 7已知：电路如图所示 求：解： 1）将所求支路从原电路中划出 4）戴维南等效相量模型为所以：9.3 正弦交流电路的功率分析9.3.1基本概念在本节中我们研究如下所示的单口网络，其中单口网络的输入阻抗为，阻抗角为，可设瞬时功率的定义其意义为时间间隔到之间，给予单口网络的能量：因此，瞬时功率的意义在于：如果、参考方向一致，则表征流入该单口网络的能量的变化率。此时若，表明能量的确流入该单口网络；若，表明能量流出该单口网络；其中从到时间时给予单口网络

7、的能量为如果单口网络中仅为电阻元件，则流入的能量将转换成其他形式的能量（热能、光能等）被消耗掉，因此不再可能流出端口，这样不可能为负数。 如果单口网络中为动态元件，则流入的能量将转换为其他形式的能量（如电磁能、电场能等）被存储起来（、），因此可能再次流出端口，这样可能为正，也可能为负，而动态元件的储能可以增加或减少，但是只可能为正值。9.3.2平均功率、视在功率与功率因数一、平均功率1定义瞬时功率在一个周期内的平均值，其数学表达式为2单位瓦特或千瓦，W或kW3平均功率的计算根据平均功率的定义：我们计算上一节谈到的单口网络的平均功率，从而分析仅含电阻、电感和电容元件及一个一般性的单口网络的平均功

8、率。可以注意到，该积分式中的第一项由于频率为2，因此在0内积分结果为零；因此：1）当单口网络呈阻性（仅含一个电阻的等效模型）时，2）当单口网络呈纯电感性（仅含一个电感的等效模型）时，3）当单口网络呈纯电容性（仅含一个电容的等效模型）时，4平均功率的意义“平均功率”又称“有功功率”，表征单口网络消耗掉的电能，网络中的电能转化为其他形式的并且消耗掉的能量。二、视在功率41视在功率1）定义单口网络的端口电压与端口电流的有效值的乘积2） 单位伏安或千伏安，VA或kVA3） 意义一般用来表征变压器或电源设备能为负载提供的最大有功功率，也就是变压器或电源设备的容量。电机与变压器的容量可以根据其额定电压与额

9、定电流来计算：。二、功率因数1定义定义单口网络的功率因数注意：其中的角度为单口网络的阻抗角，即单口网络的端口电压超前端口电流的相角大小。2意义提高感性负载的功率因数。（为什么？请同学查阅资料进行分析）1）提高功率因数的意义u 充分利用能源，其中S为发电设备可以提供的最大有功功率，但是供电系统中的感性负载（发电机、变压器、镇流器、电动机等）常常会使得减小，从而造成P下降，能量不能充分利用。u 增加线路与发电机绕组的功率损耗由于，所以，即在输电功率与输电电压一定的情况下，越小，输电电流越大。而当输电线路电阻为r时，输电损耗，因此提高，可以成平方倍地降低输电损耗。这对于节能及保护用电设备有重大的意义

10、。2）提高功率因数的条件在不改变感性负载的平均功率及工作状态的前提下，提高负载的功率因数。3）方法在感性负载两端并联一定大小的电容。 4）实质 减少电源供给感性负载用于能量互换的部分，使得更多的电源能量消耗在负载上，转化为其他形式的能量（机械能、光能、热能等）5）相量分析 图由相量图可以看到，感性负载的电压、电流、有功功率均未变化。但是线路电流有变。而：所以：9.3.3无功功率一、无功功率的定义我们在看一看瞬时功率的表达式：前面我们分析了该式中的第一项，它总是大于零的，从而推出了有关有功功率的概念及计算。现在我们来看第二项。该分量以角频率在横轴上下波动，其平均值为零，振幅为。这样我们定义电路部

11、分的无功功率Q：二、单位乏或千乏，var或kvar三、意义由于在电路中，电源的能量一部分用来消耗在电阻元件上，转化为其他形式的能量；另外还有一部分用来与阻抗中的电抗分量进行能量交换。无功功率正是用来表征电源与阻抗中的电抗分量进行能量交换的规模大小的物理量。当时，表示电抗从电源吸收能量，并转化为电场能或电磁能存储起来；当时，表示电抗向电源发出能量，将存储的电场能或电磁能释放出来。关于无功功率的理解：可以用运输过程中的有用功与无用功来类比。四、计算电容：电感：五、功率三角形与P、Q的关系：对于RLC串联的电路，可以用以下三个“三角形”来表明其阻抗、电压相量及功率的大小及相位关系。9.3.4复功率一

12、、复功率的定义 设， ，而相量的共轭复数 因为：我们定义复功率：二、计算电阻：电容：电感：三、意义复功率的引入，可以简化几种功率的计算。即可以通过复功率的计算直接得出有功功率、无功功率及视在功率的结果。 复功率的守恒如果电路各个部分的复功率为，则电路总的复功率为为 复功率的守恒意味着有功功率与无功功率分别守恒：，即：及。9.3.5正弦电流电路的最大功率传递一、复习直流电路的最大功率传递在第四章中我们讨论过电阻负载从具有内阻的直流电源获得最大功率的问题：当时，负载从电源获得最大的功率。说明：1该定理应用于电源（或信号）的内阻一定，而负载变化的情况。如果负载电阻一定，而内阻可变的话，应该是内阻越小

13、，负载获得的功率越大，当内阻为零时，负载获得的功率最大。2线性一端口网络获得最大功率时，功率的传递效率未必为50%。也就是说，由等效电阻算得的功率并不等于网络内部消耗的功率。关于该命题的理解可以用以下一个简单的电路来看(a) (b)图(a)中，因此，电源发出的功率，而负载上获得的功率，功率传递的效率为33%；图(b)中，因此：电源发出的功率：，而负载上获得的功率：，功率传递的效率为50%；负载可变获得最大传输功率的效率较低，因此，实际中仅在传输功率较小的情况下（某些通讯系统及电子线路）中用到该定理。二、正弦稳态电路的最大功率传递定理分析方法与前面的相同。 设对于负载阻抗而言，含源二端网络可以进

14、行戴维南等效，其中等效的交流电源为，电源内阻抗为。下面我们给定电源及其内阻抗的条件下，分别讨论负载的电阻即电抗均可独立变化以及负载阻抗角固定只是模可变的两种情况下，获得最大功率传递的公式。1负载的电阻及电抗均可独立变化共轭匹配 电路电流： 电量的有效值： 因此负载电阻的功率： 下面我们就要求出及在什么情况下，PL最大？由于在功率表达式中，只出现在分母中，且以的平方项出现，因此当时，最小为零，此时PL才能最大为；接下来我们来看式子在取何值时最大。由此可得：因此，当负载电阻及电抗均可独立变化时，负载获得最大功率的条件是：，即：，也就是说，在这种情况下，负载阻抗与电源内阻抗互为共轭复数时，负载获得最

15、大功率：2负载的阻抗角固定而负载的模可变负载与内阻抗匹配 设负载阻抗为： 电路电流： 电量的有效值： 因此负载电阻的功率： 下面我们就要求出在什么情况下，PL最大？由此可得：因此，当负载仅改变模，而不改变阻抗角时，负载获得最大功率的条件是负载阻抗的模等于电源内阻抗的模。这样，在负载为一个电阻时，负载获得最大功率的条件就与直流电源时的情况有所不同，为。在电子线路中，我们常常使用理想变压器使负载获得最大功率，这正是本部分所描述的情况另外要注意：这种情况下获得的最大功率并非最大可以获得的功率，当负责的阻抗角也可以变化时，负载可以获得更大的功率。9.4 谐振有关“谐振”的物理性质可以用运动学中的“共振

16、”来对应理解。谐振的定义：如果在某一特定频率下工作的含有动态元件的无源单口网络的阻抗角为零，认为该单口网络在此频率情况下发生谐振。谐振电路是一种具有频率选择性的电路，它可以根据频率去选择某些需要的信号，而排除其他频率的干扰信号。9.4.1串联谐振1串联谐振的条件我们来看下面这个RLC串联的电路：前面我们分析过RLC串联电路的复阻抗情况，其中，按照谐振的定义：当，即：时，。此时。这里，我们称（或）为谐振频率。谐振时的电压相量图为12-2。2串联谐振发生时的电路特性1）电路阻抗最小U不变时，I最大 2）电路呈阻性电源供给电路的能量全部消耗在电阻R上，而动态元件的储能与放能过程完全在电容与电感之间完

17、成；即储能元件并不与电源之间交换能量。3）串联谐振为电压谐振， 当时，。电力系统中，常常尽量避免谐振，以免击穿电路设备（L、C等）；而电子线路中，常用此方法获得高压。4）选频特性与品质因数Q电容或电感上的电压有效值与电源电压有效值之间的倍数。Q越大，网络选频的选择性越强。9.4.2并联谐振u 情况1 该RLC并联电路的复阻抗，而，当时，电路发生谐振。此时电路呈现阻性，阻抗为。可见发生并联谐振的条件仍然为：电源频率等于谐振频率（或）。谐振时的电流相量图为12-5：2并联谐振发生时的电路特性1）电路阻抗最大I不变时，U最大见图12-62）电路呈阻性电源供给电路的能量全部消耗在电阻R上，而动态元件的

18、储能与放能过程完全在电容与电感之间完成；即储能元件并不与电源之间交换能量。3）串联谐振为电流谐振， 当时，。4）选频特性与品质因数Q定义为电容或电感上的电流有效值与干路电流有效值之间的倍数。Q越大，网络选频的选择性越强。u 情况2实际上的并联电路往往是以下这种模型 该RLC并联电路的复阻抗，即 当时 电路发生谐振时，电路呈现阻性，阻抗为。可见发生并联谐振的条件仍然为：电源频率等于谐振频率（或）。谐振时的电流相量图为12-8，这种情况下并联谐振发生时的电路特性与前面的并联谐振情况相同。9.5 频率特性在前面的内容中，我们着重讨论固定频率（同一频率）情况下正弦交流电路的稳态响应。这一节中，我们开始

19、研究在电路其他参数不变的前提下，仅改变电路（电源）的频率时的电路响应的情况。所谓频率特性，正是用来分析电路的响应随着频率变化的规律。在前面的内容中，我们曾经提到过电容元件通高频阻低频、电感元件通低频阻高频的性质，其实这正是两种元件在不同的频率情况下响应不同的体现。9.5.1幅频特性与幅频特性曲线以网络函数中的策动点阻抗为例。前面我们谈到过单口网络的阻抗的意义：，其中为端口电压与端口电流的幅值比随着频率变化的关系，即表征了在相同电流源大小的情况下，在单口网络与电流源同一端口产生的电压大小与电源频率之间的关系。幅频特性曲线在以频率为横轴，为纵轴的平面上所绘出的曲线称为该响应的幅频特性曲线。9.5.2 相频特性与相频特性曲线其中表征端口电压与端口电流的相位关系随着频率变化的规律。相频特性曲线在以频率为横轴，为纵轴的平面上所绘出的曲线称为该响应的相频特性曲线。9.5.3 示例以前面讲到的RLC并联电路为例前面我们已经得出：，所以：，代入上式： 这样，阻抗对应的幅频特性为： 相频特性为：因此，该电路的网络函数策动点阻抗对应的幅频特性曲线及相频特性曲线如下，当电路的品质因数变化时，相频特性的变化规律同时见图12-9。9.5.4 通频带在上述电路中，如果电路入端阻抗的模不低于谐振时阻抗模的（=0.707）的频率范围