运算对应三维向量的旋转与合成的资料

1、运算对应三维向量的旋转与合成的“三维复数”是可以构成的山东省枣庄二中 赵 禄(277400)历史上包括笛卡儿和高斯等著名大数学家都“找过代数空间点的三维复数及其代数，但都未成功。”直到1843年，英国数学家哈密顿, 在他的四元数讲义中“创造了一类新数, 即四元数a+bi+cj+dk”。【注】可惜的是这种四元数不能与空间的点建立对应关系。外尔斯特拉斯、戴特金、弗罗宾纽斯等，分别于1861、1870、1878年独立地获得了相近的结果, “如果保存普通代数的所有基本性质不变,要构成比复数更一般的数系是不可能的”. 弗罗宾纽斯还证明了,“满足乘法交换律以外的一切代数基本性质的超复数系,只有四元数一种.

2、” 哈密顿给他的四元数乘法运算规定了如下两条法则：1i2=j2=k2=-12ij=-ji=k, jk=-kj=i, ki=-ik=j.可以看出,第二条运算法则恰好是正交向量基底的向量积运算。如果按向量积运算法则，应有i2=j2=k2=0，这与第二条法则矛盾。拉普拉斯在数学概要中指出：“只要代数同几何分道扬镳,它们的进展就慢,它们的应用就狭窄, 但是当这两门科学结合成伴侣时, 它们就互相吸取新鲜的活力, 从那以后,就以快速的步伐走向完善。”因此引入超复数应与三维空间的点对应起来。设三维欧氏空间中点P的直角坐标为P(a,b,c)，对应的球坐标为P(r,)。设点P有一三维复数p与之对应。三维复数中包

3、含两个(级)虚数单位i,j,称i为一级虚数单位(或一级旋转单位)，j为二级虚数单位(或二级旋转单位)。与i2p对应的点为U(r,+,)，即U(-a,-b,c)；与j2p对应的点为V(r,+)，即V(-a,-b,-c)。由此可知，这里的i2j2。因此与点P对应的三维复数应为：p=r(cos+isin)(cos+jsin)(r0) (1) 且两三维复数p1=r1(cos1+isin1)(cos1+jsin1), p2=r2(cos2+isin2)(cos2+jsin2)的乘法是：p1p2=r1r2cos(1+2)+isin(1+2)cos(1+2)+jsin(1+2),从而除法是：p1/p2=(r

4、1/r2)cos(1-2)+isin(1-2)cos(1-2)+jsin(1-2).1 r称为复数p的模或实因子,称cos+isin为一级因子,cos+jsin为二级因子，(, )为幅角向量，为一级幅角(或一级幅角分量)，为二级幅角(或二级幅角分量)，从而三维复数又可称为二级复数。2由乘法的定义知，两三维复数相乘，实因子的积是积的实因子；同级因子的积是积的同级因子。不同级的因子不能进行乘法运算,而只能保留乘积的形式，这种形式称为三维复数的三角形式。还可知这种三维复数的乘法可换。3由p1,p2的乘除可知，p的和都可是任意实数。在数学分析中规定在球坐标(r,)中-/2/2，因此要把角的值也扩充到实

5、数集。要做到这一点，首先说明如何用三维(或n维)欧氏空间的两个向量定义一个旋转方向。设,是非共线的三维(或n维)向量，把,的起点放在同一点A，令为=,=，在三点A,B,C确定的平面内，以点A为圆心，|AB|为半径的圆交射线AC于E，点B沿劣弧向E点运动时，射线AB跟随绕点A旋转，把射线AB这时的旋转方向称为,确定的旋转(正)方向(或角BAC确定的旋转方向)，或称射线AB沿BAC(或到的)方向旋转；沿正方向旋转过的角的值为正数。和平面ABC平行的平面内的旋转方向也都可由,确定。三维复数p的既然有两级幅角和，那每个角都应有始边和终边。设点(r,)的直角坐标为P(a,b,c)，点A的直角坐标为(a,

6、b,0)(a2+b2>0)，称角的始边x轴的正半轴，即射线Ox为幅角向量(,)的(一级)始边, 角的终边OA称为(,)的一级终边，OA同时也是角的始边，即OA同时也可称为(,)的二级始边,角的终边OP称为(,)的(二级)终边。把沿xOy方向旋转形成的角定义为正数，反之为负数；沿AOz方向旋转形成的角是正数，反之是负数。这样就把角的取值也扩充实数集。幅角向量(+,-)与(,)的始边和终边都相同，但一级终边(或二级始边)却是互为反向延长线，与+的正向相同，而与-的正向相反。4两级终边位置都相同的两复数定义为相等,即复数rcos(2u+)+isin(2u+)cos(2v+)+jsin(2v+)

7、=r(cos+isin)(cos+jsin)(u,vZ，Z为整数集)。因此把取值在一个较固定的长度为2的区间内即可，为了方便，的取值大多在区间0,2)上，的取值大多在区间(-,上5显然两复数p1=rcos(+)+isin(+)cos(-)+jsin(-)与p2=r(cos+isin)(cos+jsin)对应同一点，但p1p2，因为很多时候p1p与p2p所对应的点不同。如令p=cos(/6)+jsin(/6)，p1=2cos(/4)+isin(/4)cos(/3)+jsin(/3)，p2=2cos(5/4)+isin(5/4)cos(2/3)+jsin(2/3),则p1p=2cos(/4)+is

8、in(/4)cos(/2)+jsin(/2)=2cos(/4)+isin(/4)j，p2p=2cos(5/4)+isin(5/4)cos(5/6)+jsin(5/6)，由此可知p1p与p2p所对应的点，一个在z轴上，一个不在z轴上。还可得到：不在z轴上的点有两个不相等的三维复数与其对应。而这两个三维复数必有一个的二级幅角取值在-/2,/2上，把这样的三维复数称为主值三维复数，并且把它称作对应点的主值。对应同一点的复数称为共点复数，两复数p1，p2共点，记p1p2。(二级)终边在z轴上的角向量，坐标平面xOy上的任意一条射线OP都可以是它的二级始边，从而z轴上的点(原点除外)有无数个复数与其对应

9、，其复数的形式为r(cos+isin)j(r>0)。由此可知，ij是和点(0,0,1)对应的无数个三维复数中一个，ij不再等于其它什么数。这里的向量都是有起点和终点的，并且不作说明时所给出的向量都是以原点为起点的。以原点为起点的向量和空间中的点是一一对应的。以(a,b,c)表示向量，除模外，它只表示出向量的“指向”,即表示向量指向是由起点到终点的方向。用复数表示向量,不但表示了模和指向，还表示了向量的绕起点的“旋转方向”。如一个人经过北极点(两只脚都不在北极点上)时可用复数r(cos30°+isin30°)j表示，可知道这个人后脚在东经30°线上，前脚在西经

10、150°线上。用r(cos45°+isin45°)(cos45°+jsin45°)表示人的运行位置时，说明此人此时正在向西北方向走;用r(cos225°+isin225°)(cos135°+jsin135°)表示人的运行位置时，说明此人此时在同一位置向西南方向走。6从形式上看,cos+isin=i2和cos+jsin=j2都是-1，前面已知i2j2，因此记i2=(-1)1和j2=(-1)2，且知(-1)2=-1。由前面给出复数相等的条件知，(-1)1与(-1)2的积不等于1，即(-1)1(-1)2也是一个

11、复数的形式，即是(cos+isin)(cos+jsin)的一个简化记法。7当n为整数时，则p=r(cos+isin)(cos+jsin)的n次幂为： pn=rncos(n)+isin(n)cos(n)+jsin(n)。令xn=p=r(cos+isin)(cos+jsin)，则x=(cos+isin)(cos+jsin) (k,l=0,1,2,n-1)由此可知，三维复数的n次方根共有n2个。8显然有(cos0+isin0)(cos0+isin0)=1，前面已经有cos+isin与cos+jsin不等，那么当把cos0+isin0与cos0+jsin0分别看作是三维复数的一级因子和二级因子时,它们

12、也不等；因为1的平方根的一级因子是cos0+isin0与(-1)1,二级因子是cos0+jsin0与(-1)2,即作为一级因子与二级因子的cos0+isin0与cos0+jsin0是不相等的。记cos0+isin0=11,cos0+jsin0=12，则1=1112。当2k(kZ)时，显然可记(cos+isin)(cos0+jsin0)=(cos+isin)12=cos+isin，这就是说当一个复数的一级因子不等11，而二级因子为12时，可把12省略不写，当一级因子为11，而二级因子不等12时，多数时候可把11省略不写(后面将知道什么时候不能省写11)。从而当11单独出现时，认为是省写了12，即

13、11=1112=1,12=1112=1，这就是说当11,12都为独立的三维复数时，它们相等，而把它们看作一级因子和二级因子时，它们不等。1的四个平方根是1,(-1)1,(-1)2,(-1)1(-1)2，1与(-1)1(-1)2都对应点(1,0,0),(-1)1,(-1)2都对应点(0,1,0)，即这四个根只对应两个点。1的九个立方根分别为1,-1+(/2)i,-1-(/2)i,-1+(/2)j,-1-(/2)j，-1+(/2)i-1+(/2)j,-1+(/2)i-1-(/2)j,-1-(/2)i-1+(/2)j，-1-(/2)i-1-(/2)j。和它们对应的是单位球面上的九个不同的点。1的16

14、个四次方根对应着单位球面上的十个点，其中点(0,0,1)和(0,0,-1)各有四个根和它对应。9因(a+bi)(c+dj)形式的复数可化成r(cos+isin)(cos+jsin)(r=)的三角形式，从而称(a+bi)(c+dj)为复数的代数形式。因i2=(-1)1，j2=(-1)2，因此其两复数p1=(a1+b1i)(c1+d1j),p2=(a2+b2i)(c2+d2j)相乘的过程如下:p1p2=(a1+b1i)(c1+d1j)(a2+b2i)(c2+d2j) =(a1+b1i)(a2+b2i)(c1+d1j)(c2+d2j) =(a1a2+i2b1b2)+(a1b2+a2b1)i·

15、;(c1c2+j2d1d2)+(c1d2+c2d1)j =(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i·(c1c2-d1d2)+(c1d2+c2d1)j对于p3=(a2-b2i)(c2-d2j),有p2·p3=,从而称p2、p3为互为共轭复数,a2-b2i为p2的一级共轭因子,c2-d2j为p2的二级共轭因子.从而有:p1÷p2=(p1p3)÷(p2p3)10复数p=r(cos+isin)(cos+jsin)也可化成指数形式：P=，还可用它的对应点的球坐标直接表示，即可记p=(r,)，称其为复数的球坐标形式。显然用球坐标形式进行复数的乘除、乘方、开方

16、运算更简明。11所以把a+bi称为（一维）复数，是因为有i2=-1，而这一性质只有进行乘除运算时才能体现出来，进行加减运算时i并没起到是虚数单位的作用，事实上1与i这时都只起到了正交向量基底的作用。因此可以说只有进行乘除运算时它才是复数，进行加减运算时它们是向量。设三维复数p=r(cos+isin)(cos+jsin)对应点的直角坐标为(a,b,c)(a=rcoscos，b=rcossin，c=rsin)，当p为主值复数时，可令p=a+bi+cj，即a+bi+cj是主值复数，从而当p不是主值复数时有p a+bi+cj，称a+bi+cj它为主值复数的向量形式，非主值复数没有向量形式。显然对三维复

17、数进行加减运算时必须用这种向量形式。进行加减运算时，p已经属于向量，1,i,j这时也不再起实数和虚数单位的作用的，而是一组标准单位正交基。对两复数p1=a1+b1i+c1j，p2=a2+b2i+c2j有：p1+p2=(a1+a2)+(b1+b2)i+(c1+c2)j，p1-p2=(a1-a2)+(b1-b2)i+(c1-c2)j。共点复数说它们不相等，只是在乘法运算下不等，在加法运算下是相等的。因此在加减运算下有(-1)1=(-1)2，ij=j。因为a2+b2=r2cos2，所以rcos=。令，则：a=cos,b=sin,当cos0时p=r(cos+isin)(cos+jsin)=(cos+i

18、sin)(rcos+jrsin)=(cos+isin)(1+cj)=(cos+isin)(1+jc/)=(a+bi)(1+jc/)即：a+bi+cj=(a+bi)(1+jc/)(1)与p共点的复数q=rcos(+)+isin(+)cos(-)+jrsin (-) =r(-cos-isin)(-cos+jsin) =(-a-bi)(-1+jc/)即：a+bi+cj=(-a-bi)(-1+jc/)（2）观察（1），（2）可知复数的向量形式与代数形式的互换满足一种特殊的提取公因式和乘法对加法的分配律：向量形式化成代数形式是把a+bi+cj看成是a+bi与cj两项，±(a+bi)当做一个公因

19、式提取，留下因数±1，而对cj一项只提取a,b平方和的算术根，则留下的因式为jc/；反之代数形式(a+bi)(c+dj)化成向量形式为ac+bci+dj。从而(a+bi)(dj)的向量形式为dj。对于(a+bi)(c+dj)一级因子中的a,b与二级因子中的c,d原则上是不能比较大小的，但当把a+bi,c+dj看作是两个向量形式的复数时，它们又是可以比较大小的，因此涉及到a,b,c,d的大小时，认为它们之间是可以象实数那样比较大小的。称谓也和实数一样，如正数，负数等。当c0时c+dj即可是向量形式的复数，又可是代数形式的复数；但当c<0时，只认为它是向量形式的复数，当对它进行乘法

20、运算时要化成代数形式c+dj=(-1)1(-c+dj)才能进行。当把c+dj看作是一个二级因子时，那么这个复数的一级因子是11，也就是说把c+dj看作是代数形式的复数时一级因子11不能省略，即要记为11(c+dj)。12. 二级因子不满足乘法对加法的分配律。因为用同一二级因子去乘两向量的对应复数，两个积所对应的向量的夹角与原来两向量的夹角一般不等。如1与-1对应的向量模相等，而方向相反，即两向量的夹角为，因此两向量的和为零，即和的对应点为原点(0,0,0)；而用j与1的积为j，-1与j的积为(-1+0i)(0+j)=j，即两个积对应同一点，对应的向量夹角为零，两积的和为2j，从而和的对应点为(

21、0,0,2)。同样理由，一级因子满足乘法对加法的分配律。这种三维复数的集合可进行加减、乘除、乘方、开方运算，两个共点复数在乘法下不等，但在加减运算下相等。由三维向量的旋转与合成的关系决定，三维复数的乘法对加法不满足交换律，因此这种三维复数集合即不是环，也不是域。前面说过三维复数又可称为二级复数，因此二级复数集合可用C2表示。因通常用C表示集合a+bi,a,bR，从而CC2。即使乘法中1,i也有一半起到正交单位向量的作用。例如：设向量a=(1,2,-2)，b=(-2,14,49)，把b沿a,b确定的旋转方向旋转arccos(0.8)与向量c重合，求向量c(为了方便，用小写字母直接代向量)。解：计

22、算知|a|=3，b=|51|，则方向a上的单位向量e=(),记a,b的内积为(a,b)，则(a,b)=-72,b在a上的射影d=(a,b)/|a|2e=(-8,-16,16)=-24e，令g=b-d=(6,30,33)，则(a,g)=0，设方向g上的单位向量为f，则f=(),从而g=45f。设a,b的夹角为，则cos=-(8/17)，sin=15/17。这就是说b可表示为b=d+g=-24e+45f=51(ecos+fsin)令=arccos(0.8)，则cos=0.8，sin=0.6，从而c=51(ecos+fsin)(ecos+fsin)=51ecos(+)+fsin(+)=51e(coscos-sinsin)+f(sincos+cossin)=51-()+