实验五线性系统的稳定性和稳态误差分析

1、实验五 自动控制系统的稳定性和稳态误差分析一、实验目的1、研究高阶系统的稳定性,验证稳定判据的正确性;2、了解系统增益变化对系统稳定性的影响;3、观察系统结构和稳态误差之间的关系。二、实验任务1、稳定性分析欲判断系统的稳定性, 只要求出系统的闭环极点即可, 而系统的闭环极点就 是闭环传递函数的分母多项式的根,可以利用 MATLAB 中的 tf2zp 函数求出系 统的零极点,或者利用 root 函数求分母多项式的根来确定系统的闭环极点,从 而判断系统的稳定性。(1 已 知 单 位 负 反 馈 控 制 系 统 的 开 环 传 递 函 数 为 0.2(2.5 ( (0.5(0.7(3s G s s

2、s s s +=+, 用 MATLAB 编写程序来判断闭环系统的稳定性, 并绘制闭环系统的零极点图。在 MATLAB 命令窗口写入程序代码如下:z=-2.5p=0,-0.5,-0.7,-3k=0.2Go=zpk(z,p,kGc=feedback(Go,1Gctf=tf(Gcdc=Gctf.dendens=poly2str(dc1,'s'运行结果如下:dens=s4 + 4.2 s3 + 3.95 s2 + 1.25 s + 0.5dens 是系统的特征多项式,接着输入如下 MATLAB 程序代码:den=1,4.2,3.95,1.25,0.5p=roots(den运行结果如下:

3、p =-3.0058-1.0000-0.0971 + 0.3961i-0.0971 - 0.3961ip 为特征多项式 dens 的根,即为系统的闭环极点,所有闭环极点都是负的实部, 因此闭环系统是稳定的。下面绘制系统的零极点图, MATLAB 程序代码如下:z=-2.5p=0,-0.5,-0.7,-3k=0.2Go=zpk(z,p,kGc=feedback(Go,1Gctf=tf(Gcz,p,k=zpkdata(Gctf,'v'pzmap(Gctfgrid运行结果如下:z =-2.5000p =-3.0058-1.0000-0.0971 + 0.3961i-0.0971 -

4、0.3961ik =0.2000输出零极点分布图如图 3-1所示。 图 3-1 零极点分布图(2 已 知 单 位 负 反 馈 控 制 系 统 的 开 环 传 递 函 数 为 (2. 5 ( (0.5(0.7(3k s G s s s s s +=+, 当取 k =1, 10, 100用 MATLAB 编写程序来判断 闭环系统的稳定性。只要将(1代码中的 k 值变为 1, 10, 100,即可得到系统的闭环极点,从 而判断系统的稳定性,并讨论系统增益 k 变化对系统稳定性的影响。当 K=1时, MATLAB 程序如下:z=-2.5p=0,-0.5,-0.7,-3k=1Go=zpk(z,p,kGc

5、=feedback(Go,1Gctf=tf(Gcz,p,k=zpkdata(Gctf,'v'pzmap(Gctfgridz =-2.5000p =0 -0.5000 -0.7000 -3.0000 k =1Zero/pole/gain:(s+2.5-s (s+0.5 (s+0.7 (s+3Zero/pole/gain:(s+2.5-(s+3.03 (s+1.332 (s2 - 0.1616s + 0.6195Transfer function:s + 2.5-s4 + 4.2 s3 + 3.95 s2 + 2.05 s + 2.5z =-2.5000p =-3.0297-1.3

6、3190.0808 + 0.7829i0.0808 - 0.7829ik =1波形图如下: -0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8P ole-Zero MapReal AxisI m a g i n a r y A x i s图一:K=1时的零点极点分布图当 K=1时, 由于闭环极点不是全都具有负实部, 所以该系统是不稳定的。 当 K=10时, MATLAB 程序如下:z=-2.5p=0,-0.5,-0.7,-3k=10Go=zpk(z,p,kGc=feedback(Go,1Gctf=tf(Gcz,p,k=zpkdata(Gctf,'v'pzmap(Gctf

7、gridz =-2.5000p =0 -0.5000 -0.7000 -3.0000k =10Zero/pole/gain:10 (s+2.5-s (s+0.5 (s+0.7 (s+3Zero/pole/gain:10 (s+2.5- (s+2.082 (s+3.335 (s2 - 1.217s + 3.6Transfer function:10 s + 25-s4 + 4.2 s3 + 3.95 s2 + 11.05 s + 25 z =-2.5000p =0.6086 + 1.7971i0.6086 - 1.7971i-3.3352-2.0821k =10波形图如下: -2-1.511.5

8、2P ole-Zero MapReal AxisI m a g i n a r y A x i s图二:K=10时的零点极点分布图当 K=10时, 由于闭环极点不是全都具有负实部,所以该系统是不稳定的。 当 K=100时, MATLAB 程序如下:z=-2.5p=0,-0.5,-0.7,-3k=100Go=zpk(z,p,kGc=feedback(Go,1Gctf=tf(Gcz,p,k=zpkdata(Gctf,'v'pzmap(Gctfgridz =-2.5000p =0 -0.5000 -0.7000 -3.0000 k =100Zero/pole/gain:100 (s+

9、2.5-s (s+0.5 (s+0.7 (s+3Zero/pole/gain:100 (s+2.5-(s+5.358 (s+2.454 (s2 - 3.612s + 19.01Transfer function:100 s + 250-s4 + 4.2 s3 + 3.95 s2 + 101.1 s + 250 z =-2.5000p =1.8058 + 3.9691i1.8058 - 3.9691i -5.3575 -2.4541k =100波形图如下: -4-3-2-101234P ole-Zero MapReal AxisI m a g i n a r y A x i s图三:K=100时

10、的零点极点分布图当 K=100 时， 由于闭环极点不是全都具有负实部， 所以该系统是不稳定的。 2、稳态误差分析 （1）已知如图 3-2 所示的控制系统。其中 G ( s = s+5 ，试计算当输入 s ( s + 10 2 为单位阶跃信号、单位斜坡信号和单位加速度信号时的稳态误差。 图 3-2 系统结构图 从 Simulink 图形库浏览器中拖曳 Sum（求和模块）、Pole-Zero（零极点） 模块、Scope（示波器）模块到仿真操作画面，连接成仿真框图如图 3-3 所示。 图中，Pole-Zero（零极点）模块建立 G ( s ，信号源选择 Step（阶跃信号）、Ramp （斜坡信号）和

11、基本模块构成的加速度信号。为更好观察波形，将仿真器参数中 的仿真时间和示波器的显示时间范围设置为 300。 图 3-3 系统稳态误差分析仿真框图 信号源选定 Step（阶跃信号），连好模型进行仿真，仿真结束后，双击示波 器，输出图形如图 3-4 所示。 图 3-4 单位阶跃输入时的系统误差 信号源选定 Ramp（斜坡信号），连好模型进行仿真，仿真结束后，双击示 波器，输出图形如图 3-5 所示。 图 3-5 斜坡输入时的系统误差 信号源选定加速度信号，连好模型进行仿真，仿真结束后，双击示波器，输 出图形如图 3-6 所示。 图 3-6 加速度输入时的系统误差 从图 3-4、3-5、3-6 可以

12、看出不同输入作用下的系统的稳态误差，系统是 II 型系统，因此在阶跃输入和斜坡输入下，系统稳态误差为零，在加速度信号输入 下，存在稳态误差。 （2）若将系统变为 I 型系统，G ( s = 5 ，在阶跃输入、斜坡输入和加 s ( s + 10 速度信号输入作用下，通过仿真来分析系统的稳态误差。 系统稳态误差分析仿真框图： 图四：系统稳态误差分析仿真框图 仿真波形图如下所示： 图五：系统稳态误差仿真波形图 三、实验要求 1、完成实验任务中的所有内容； 2、撰写实验报告。 实验报告内容包括： （1） 实验题目和目的； （2） 实验原理； （3） 实验任务中要求完成实验的程序代码、仿真框图、波形和数据结 果； （4） 讨论下列问题： a 讨论系统增益 k 变化对系统稳定性的影响； 增益 K 可在临界 k 的附近改变系统的稳