新课标专题复习 例谈与导数有关的热点问题

1、新课标专题复习 例谈与导数有关的热点问题首先,极限和导数在初等数学与高等数学之间起着重要的衔接作用,同时也引起了数学思维方式的质的飞跃.它与数学归纳法和极限共同把握着“有限与无限”这一对矛盾的统一体.正是由于导数进入了中学课本,才使得原本复杂的问题(函数的性质,曲线的切线问题)有了一个更可靠的一般性的工具.其次,在高考中每年都对导数的内容的考查力度有逐年加大的趋势.考点涉及到了导数的所有内容(定义、几何意义、物理意义，用导数研究函数的单调性、求函数的最（极）值等).考查的题型有客观题（选择题、填空题）、主观题（解答题），考查的形式具有综合性和多样性的特点，常常与函数方程、三角函数、不等式、甚至

2、与解析几何等内容综合考查，成为新的高考热点.试题特点如下:1.背景新颖,设问灵活.2.多方联系,综合性强.3.极具思维的深刻性和广阔性.4.含盖多种数学思想方法.总之把导数作为考查的热点是挖掘学生潜能,培养学生创新意意识和探究精神的极好素材.下面就导数的热点谈以下方面。一、与导数概念有关的问题例1：函数在处的导数值是（ ）A、0 B、1002 C、200 D、100！解法一：所以选D。解法二：设，而所以选D。评析：解法一是应用导数的定义直接求解，函数在某点的导数就是函数在这点平均变化率的极限。解法二是根据导数的四则运算求导法则解决问题。例2：如果圆的半径以2cm/s的等速度增加，则圆半径R=1

3、0cm时，圆面积增加的速度是多少.解：评析：本题考查导数的物理意义及复合函数求导法则，须注意导数的物理意义是距离对时间的变化率，它是表示瞬时速度.因速度是向量，故变化率可以为负值。二、与曲线的切线有关的热点问题例3：以正弦曲线上一点P为切点的切线为直线，则直线的倾斜角的范围是（ ）A、 B、 C、 D、解：设过曲线上点P的切线倾斜角是，由题意知故选A。评析：函数在点处的导数表示曲线在点处切线的斜率，即，也即导数的几何意义。例4：曲线的切线通过点（0，1），且过点（0，1）的切线有两条，求实数的值。解：因为点（0，1）不在曲线上，所以可以设切点是， 则切线方程是，因为切线过（0，1）， （*）构

4、造，由过点（0，1）点的切线有2条，可知有两个实数解，其等价于“有极值，且极大值乘以极小值等于0，a” 由所以评析：本题解答关键是把“切线有2条”的“形”转化为“方程有2个不同实数根”的“数”，即数形结合，然后把三次方程有两个不同实根的问题得以转化，三次方程有三个不同实数根等价于“极大值大于0，极小值小于0”。值得注意的是，对于求过某点的曲线的切线问题，应先判断此点是否在曲线上。三、与函数的单调性、最（极）值有关的热点问题例5：求证：上是减函数，在上增函数。证明：，所以当，函数是减函数；当，函数是减函数，故得证。评析：导数方法在应对复杂的初等数学问题具有入手容易，思路清晰和过程简便优势，虽然掌

5、握导数方法需要花费一定的时间和精力，但“磨刀不误砍柴功”。例6：设函数与数列满足关系：其中是方程的实数根；的导数。（1）证明：；（2）判断的大小，并证明你的结论。（1）证明：（数学归纳法）当n=1时，由题知，成立；假设，成立。是单调增函数，即当时，原式成立，故对于任意自然数，都成立。（2）解：所以是单调增函数，而即又由（1）知，评析：本题是函数、方程、数列、导数等知识的自然链接，其中将导数知识融入数学归纳法，令人耳目一新。四、与不等式有关的热点问题例7、设，比较的大小。解：令所以上的增函数，令所以上是增函数，因此，.评析：运用导数比较两式大小或证明不等式，常用设辅助函数利用导数这一工具先研究其

6、单调性,然后证明不等式就变得极其容易。五、与实际应用问题有关的热点问题例8：某汽车厂有一条价值为万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值，经过市场调查，产品的增加值万元与技术改造投入万元之间满足：的乘积成正比；当（1）求的解析式及定义域；（2）求出产品的增加值的最大值及相应的的值。解：（1）由已知，设，.（2）当当所以当当综上，当万元，最大增加值是；当万元，最大增加值是。评析：，只是函数在处有极值的必要条件，求实际问题的最值应先建立一个目标函数，并根据实际意义确定其定义域，然后根据问题的性质可以断定所建立的目标函数确有最大或最小值，并且一定在定义区间内取得，这时在定义区间内部又只有一使的点，那么不必判断是否为极值点，取什么极值，可断定就是所求的最大值或最小值。六新颖别致的解题方法导数法例1.求解：两边求导得：即为所求。评析：本题的常规解法是“错位相减法”，这里构造函数用导数来解显得很简洁，新颖别致。例2 .求 解： 两边求导得：