EXCEL规划求解工具在优化机械设计平面连杆机构中的应用

1、EXCEL 规划求解工具在优化机械设计平面连杆机构中的应用摘 要 :Excel 规划求解工具有很强的功能 , 在科学技术领域有广泛的应用 。 在解决这些领域某些问题中 , 如果不用 Excel 规划求解工具 , 就需要使 用相当复杂的编程运算 。 本文举例介绍了 Excel 规划求解工具在机械 设计中的应用 , 使设计更加优化 。关键词 :Excel ; 规划求解工具 ; 机械设计 ; 连杆机构 ; 优化设计;左金池(郑州铁路局科学技术研究所河南 郑州 4500521. 前言优化设计是在电子计算机技术广泛应 用的基础上发展起来的一种现代设计 。 它 是以电子计算机为计算工具 , 利用最优化 原

2、理和方法寻求最优设计参数的一门先进 设计技术 。 其设计参数就是优化设计的最 优解 。机械优化设计是把优化技术应用到机 械设计中去 , 通过对机械零件 、 机构 、 部件 乃至整个机械系统和机器的优化设计 , 确 定出它们的最佳参数和结构尺寸 , 从而提 高各种机械产品及技术装备的设计水平 。 实践证明 , 在机械设计中采用优化设计方 法 , 不仅可以减轻机械设备自重 、 降低材料 消耗与制造成本 , 而且可以提高产品的质 量与工作性能 , 同时还能大大缩短产品设 计周期 。 因此 , 机械优化设计不仅成为工程 优化设计的一个重要领域 , 而且得到广大 机械设计人员和工程技术人员的重视和应 用

3、 。2. 问题的提出机 械 优 化 设 计 需 要 借 助 于 电 子 计 算 机 。 一种方法是要求设计人员能够编制和 运用语言程序软件 , 但对许许多多不会编 制和运用语言程序软件的设计人员来说就 无能为力了 。 另一种方法是借助软件 Excel 中的规划求解工具 (以下简称规划求解工 具 求得优化参数 。从规划求解 工具结构设 计上来看 , 达 到了和优化设计所必需的要素高 度统一 。 这就为不会编制和运用语言程序软件的设 计人员提供了便利的工具 。 对于机械中平 面四杆机构优化设计 , 最常见的是实现给 定运动规律和再现运动轨迹的优化设计 。 下例为一个要求再现预期的传递函数运动 轨迹

4、时的误差最小的平面四杆机构的优化 设计 。 现设计一曲柄摇杆机构 , 如图 1所 示 。要 求 当 曲 柄 由 0回 转 至 0+/2期 间 , 摇杆的输出角 实现如下给定的函数综合其他 郑铁科技通讯 2/201042 关系变化 :=0+2(i -0 /3式中 0和 0分别为对应于摇杆在右 极限位置时曲柄和摇杆的位置角 , 它们是 以机架 AD 为 始线 逆 时 针 度 量 的 角 度 , 并 且还要求在该区间运动过程中最小传动角min 45°。3. 建立数学模型 3.1确立设计变量由机械原理可知 , 曲柄连杆机构的运 动规律只与各杆的相对长度有关 , 因此可 将曲柄杆长 L 1取为

5、 1(长度单位 , 其它三 杆长度可表示为曲柄杆长 L 1的倍数 。 另外 , 根据机构在机器中的许用空间 , 可以适当 预选机架的长度 , 取 L 4=5(长度单位 。 由图1所示的几何关系可知 :0=arcos (L1+L2 2-L 32+L42/2(L1+L2L 4 0= arcos (L1+L2 2-L 32-L 42/2L3L 4 它们是杆长的函数 , 不再是独立的参 数 。 经以上分析 , 只剩下 L 2和 L 3两个独立 变量 , 所以该优化问题的设计变量为X= L 2,L 3 因此本题是一个二维优化问题 。3.2建立目标函数由上述设计变量的分析可知 , 独立参 数只有两个 。

6、因此不便直接利用机构本身 的数学表达式来构造目标函数 , 需要用函 数的再现精度的概念建立目标函数 。 可取 以机构输出角的平方偏差最小原则来建立 目标函数 。 为此 , 把曲柄在从 0到 0+/2的区间分成 s 等分 。 从动件输出角 也有 相应的分点与之对应 。 若将各分点标号记作 i , 以各分点输出角的偏差平方总和作为 优化目标函数 , 则f(X= (i -i 2所求值为最小 。 这一优化目标就是使 实际的运动规律 i 和预期的运动规律 i 之间的误差为最小 。 式中 , i 为期望输出 角 , 按给定的运动规律计算 :i =0+2(i -0 /3, i =0+i/2s(i=0,1,2

7、, ,s式中的 s 为运动区间的分 段数 , i 为机构实际输出角 , 计算式为i =-i -i式中的 i 和 i 可 由图 2中 的 三 角 函 数求得i =arcos(ri 2+L32-L 22/2ri L 3 i =arcos(ri 2+L42-L 12/2ri L 4 r i =(L12+L42-2L 1L 4cos i 0.5上述各式便构成了目标函数的数学表达 式 , 对应于每一个设计方案 (即给定 L 2、 L 3 , 可 计算出输出角的平方偏差 f(X。3.3确定约束条件根据已知条件 , 该机构的约束条件有 两个方面 :一是传递运动过程中最小传动 角 应大于 45°,

8、据此得出约束条件为 :G 1(X=36-1.414L2L 3-L 22-L 32 0G 2(X=L 22+L32-16-1.414L 2L 3 0二是为保证平面四杆机构满足曲柄存 在条件 , 其约束条件为 :G 3(X=1-L2 0, G 4(X=1-L 3 0, G 5(X=6-L2-L 3 0郑铁科技通讯 2/2010综合其他图 1曲柄摇杆机构图 2曲柄摇杆机构中间位置 43G 6(X=L 2-L 3-4 0, G 7(X=L 3-L 2-4 0 4. 使用 EXCEL 规划求解工具的计算 过程4.1把曲柄转角从 0到 0+/2的区 间分成 10等分 (可以分成任意等分 , 因篇 幅所限

9、, 在此分成 10等分 。 按给定的单元 格 , 输入数据 , 可计算出曲柄的 10个输入 转角 i 。4.2按公式 =0+2(i -0 /3, 在 单元格中输入数据 , 可计算出对应曲柄转 角的摇杆期望转角 i 。4.3按公式 i =-i -i i =arcos(ri 2+ L 32-L 22/2ri L 3 、 i =arcos(ri 2+L42-L 12/2ri L 4 和 r i = (L12+L42-2L 1L 4cos i 0.5 , 在单元格中输入数 据 , 可计算出摇杆的实际转角 i 。4.4按给定的单元格 , 输入数据 , 可计 算出摇杆期望输出转角和实际输出转角差 的平方

10、(i -i 2。4.5为方便数据引用 , 在单元格中输 入 r i =(L12+L42-2L 1L 4cos i 0.5数据 。4.6为方便单元格的引用 , 在单元格 中输入 L 1、 L 4、 0和 0数据 。4.7为了保证规划求解工具的使用 , 必须设置可变单元格 、 目标单元格和约束 单元格 。4.8给 L 2和 L 3的单元格输入初值 , 输 入初值的目的是保证所输入数据的单元格 中的数据非错误显示 。 可以试探性的输入 , 以观察单元格数据是否为非错误显示 。 4.9调出规划求解工具 , 按图 3输入 所引用的目标函数单元格 、 可变单元格及 约束单元格的约束条件 。4.10点击图

11、3所示的求解按钮 , 即可 得出本例中的 L 2和 L 3的最优值 、 目标函数 的最小值 、 各分点的角度值和各分点角度 值平方差 。 到此为止 , 完成了本例所求的最 优值 :L 1=1(长度单位 、 L 2=4.15(长度单位 、 L 3= 2.29(长度单位 、 L 4=5(长度单位 0=0.45弧 度 (26.79°、 0=1.73弧 度 (99.17°目 标 函 数 最 小 值 f (X= (i -i 2= 0.00317弧度 (0.18°。5. 结论5.1在使用规划求解工具求解时有时 会出现求不出最优解 。 对此除可按一般的 规划求解工具的方法调整外

12、 , 还可以使用 另一种方法 。 在求多维目标函数最优解时 , 理论上有一种坐标轮换法的算法 。 将其应 用到规划求解工具中 , 就 (下转第 46页 图 3规划求解工具界面综合其他 郑铁科技通讯 2/2010 44 !图 2改进后的压型模具1. 紧固螺栓 2. 加强筋 3. 侧护板 4. 调整板 (若干件 5. 支撑板 6. 工件 7. 浮动圆钢8. 底板数量 , 节约了成本 。2. 由于增加了浮动圆钢 , 在压制过程中 , 避免了拉伤工件表面的现象 , 同时也避 免了后期的补焊和修磨工作 , 提高了加工质量 。 另外也减少了摩擦 , 降低了压力 机的功耗 , 节约了能源 。3. 由于在调整

13、板上开设长槽孔 , 紧固螺栓松动后 , 即可取出或插入调整 板 , 调整简单 、 方便 。四 、 结束语通过多功能组合式压型模具的投入使用 , 基本满足了我厂压型工件的 加工要求 , 产品质量得到了大幅度提 高 , 获得了委托加工厂家的好评 。 另外 也避免了模具的重复制作 , 降低了压 力机的功耗 , 大幅度降低了加工成本 。(上接第 44页 是在可变单元格只输入一 个设计变量 , 将其余设计变量看作是常量 , 轮换试探几次 , 并保留计算结果 , 最后输入 多维目标函数的所有设计变量 , 便可得出 最优解 。 本例就是采用了这种方法得出的 最优解 。5.2本文虽然介绍了一个使用规划求解工具

14、来优化机械设计中平面四连杆机构 的实例 , 但其有着普遍的实际意义 。 规划求 解工具目标单元格中所输入的就是优化设 计中的目标函数 f(X=f(x1, x 2, , x n , 目标函 数 是 优 化 设 计 中 的 最 重 要 的 决 策 依 据 之 一 。 因为这不仅直接影响优化方案的质量 , 而且影响优化过程 。 目标函数可以根据机 械设计问题的要求从不同角度建立 , 如机 械设计中的质量 、 体积 、 几何尺寸 、 效率 、 可 靠性 、 承载能力 , 机械设计中的运动误差 、 功率 、 应力 、 动力特性 、 产品设计的成本和 寿命等 。5.3优化设计中目标函数所达到的优化值可在规

15、划求解工具中最大值 、 最小值 、 值中任选其一 。 设计方案的优劣是以目标 函数值取得最优值来衡量的 , 最优值是指 最大值或最小值 。5.4设 计 变 量 是 优 化 设 计 中 要 优 选的 量 , 优 化 设 计 的 任 务 就 是 确 定 设 计 变 量的最优值 , 以得到最优 设计方案 。 由 于 实 际 优 化 对 象 的 不 同 , 选 取 的 设 计 变 量 也不同 。 但 对设计变量 的选取 , 必 须选择 那 些 具 有 对 设 计 对 象 起 到 唯 一 确 定 、 容 易 量 化 的 独 立 参 数 , 而 且 设 计 变 量 必 须 对 设 计 性 能 指 标 的 优 劣 有 着 影 响 的 参 数 。 规 划 求