有约束轨道的模型专题

1、有约束轨道的模型专题 永安一中 吴庆堂基本道具：在高中物理总复习中经常会遇到以绳子、轻杆、圆管（轨）道等约束的物体运动问题，我们称为“有约束轨道的模型”问题。所以，这类问题的基本道具有小物体（如小球）、绳子、轻杆、圆管（轨）道等。问题基本特点：以约束轨道的模型为载体，由直线运动、平抛运动和圆周运动等主要运动形式形成的问题情境为立意，着重考查运用所学知识分析问题解决问题的能力。由于约束，致使物体只能在特定的轨道上运动，但往往存在临界问题，其运动过程相对复杂，致使许多同学对此类问题感到迷惑。但千万记住新课程高考物理试题给我们的启示：引导教学重视物理过程的分析和学生综合解决问题能力的培养，强调对考生

2、“运用所学知识分析问题、解决问题的能力”的考查，这类问题依然是动力学的重要模型之一，我们绝不能回避，要知难而上，分析比较、归纳总结，抓住问题的规律及解决的方法，以不变应万变。基本方法和思路：采用分解法分析复杂的物理过程，降低难度，帮助理解。分析各阶段物体的受力情况，注意约束力以及合外力的变化情况，并确定物体的运动性质。画好受力图，建立清晰的物理情景，寻找状态或过程所遵循的物理规律，然后利用动力学观点和能量观点建立方程式，求出相关的待求量。典型实例：【例1】如图所示，质量为0.1g的小球，带有510-4C的正电荷，套在一根与水平方向成37角的足够长的绝缘杆上，小球与杆之间的动摩擦因数为=0.5，

3、杆所在空间有磁感应强度B=0.4T的匀强磁场，小球由静止开始下滑，试求小球在下滑过程中（取重力加速度g=10m/s2， sin370=0.6，cos370=0.8）（1）它的最大加速度为多少？此时速度多大？（2）它的最大速度为多大？mgfqvBNa甲【提示】解答本题的关键是正确分析小球下滑过程中所受各个力的变化情况，由此得出小球加速度最大和速度最大时的受力特点。【解析】小球由静止沿杆下滑的速度为v时，受到重力mg、洛伦兹力f洛=qvB、杆的弹力N和摩擦力f=N，受力如图甲所示，由牛顿第二定律，有：沿杆的方向：mg sin370N=ma 垂直杆的方向：N+ qvB= mg cos370 乙mgN

4、2f2qvmBvm可见，当N1=0（即f1=N1=0）时，a有最大值am，且am= g sin370=6m/s2此时qv1B= mg cos370 解得： v1= mg cos370/qB=4 m/s(2)设当小球的速度达到最大值vm时，小球受杆的弹力为N2，f2=N2，受力如图乙所示，此时应有a=0，即沿杆的方向：mg sin370N2=0 垂直杆的方向：N2+ mg cos370 = qvmB 解得：vm= mg（sin370+cos370）/qB=10 m/svB【变式训练1】如图所示，一个带正电的小球套在水平且足够长的粗糙的绝缘杆上，整个装置处于方向如图所示的匀强磁场中，现给小球一个水

5、平向右的初速度，则小球在杆上运动情况不可能的是（ ）A始终做匀速运动 B始终做减速运动，最后静止于杆上C先做加速运动，最后做匀速运动 D先做减速运动，最后做匀速运动EB参考答案：C【变式训练2】如图所示的空间存在水平向左的匀强电场E和垂直于纸面向里的匀强磁场B。质量为m、带电荷量为+q的小球，套在一根足够长的竖直绝缘杆上，由静止开始下滑，小球与杆之间的动摩擦因数为，则小球下滑过程中（1）它的最大加速度为多少？此时速度多大？（2）它的最大速度为多大？参考答案：（1）am=g，v=E/B （2）vm=（qE+m g）/qB【例2】小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的

6、小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动。当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离d后落地。如图所示。已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为3d/4,重力加速度为g。忽略手的运动半径和空气阻力。(1)求绳断时球的速度大小v1和球落地时的速度大小v2。(2)轻绳能承受的最大拉力多大？改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应是多少？最大水平距离为多少？解：（1）设绳断后球飞行时间为t，由平抛运动规律，有竖直方向d=gt2，水平方向d=v1t得v1=由机械能守恒定律，有 +mg(d3d/4) 得v2=（2）设绳能承受的最大拉力大小

7、为T，这也是球受到绳的最大拉力大小。 球做圆周运动的半径为R=3d/4 由圆周运动向心力公式，有 得（3）设绳长为l,绳断时球的速度大小为v3，绳承受的最大拉力不变，有得绳断后球做平抛运动，竖直位移为dl,水平位移为x，时间为t1，有dl= x=v3t1得x4当l时，x有极大值 xmaxd【变式训练1】在游乐节目中，选手需要借助悬挂在高处的绳飞越到水面的浮台上，小明和小阳观看后对此进行了讨论。如图所示，他们将选手简化为质量m=60kg的质点， 选手抓住绳由静止开始摆动，此时绳与竖直方向夹角=300，绳的悬挂点O距水面的高度为H=3m.不考虑空气阻力和绳的质量，浮台露出水面的高度不计，水足够深。

8、取重力加速度g=10m/s2， sin530=0.8，cos530=0.6（1）求选手摆到最低点时对绳拉力的大小F；（2）若绳长l=2m, 选手摆到最高点时松手落入水中。设水对选手的平均浮力f1=800N，平均阻力f2=700N，求选手落入水中的深度；（3）若选手摆到最低点时松手， 小明认为绳越长，在浮台上的落点距岸边越远；小阳认为绳越短，落点距岸边越远，请通过推算说明你的观点。解：（1）机械能守恒： mgl(1cos)=mv2/2 摆到最低点时,“牛二” F/mg= mv2/l 联立可得 F/= mg (32cos) 由“牛三”知，人对绳的拉力F= F/ 则F=1080N （2）动能定理：

9、mg (Hlcos+d) (f1+f2)d=0 解得：d=1.2m (3)选手从最低点开始做平抛运动 x=vt Hl=gt2/2 联立可得x=2 当l=H/2时，x有最大值 解得 l=1.5m 因此，两人的看法均不正确。当绳长越接近1.5m时，落点距岸边越远。【变式训练3】特种兵过山谷的一种方法可简化为图示情景。将一根长为L=10m的不可伸长的细绳两端固定在相距为d=8m的A、B两等高点，绳上挂一小滑轮P，战士们相互配合，沿着绳子滑到对面。如图所示，战士甲水平拉住滑轮，质量为m=60kg的战士乙吊在滑轮上，脚离地，处于静止状态，此时AP竖直，然后战士甲将滑轮从静止状态释放，若不计滑轮摩擦及空气

10、阻力，也不计绳与滑轮的质量，取g=10m/s2，求：（1）战士甲释放前对滑轮的水平拉力F；（2）战士乙滑动过程中的最大速度（3）假设战士乙可视为质点，当他下滑到最低点时突然松手，此时速度成水平方向，那么他能否安全落在B点正下方h3=8m的山谷对岸地面上？解：设乙静止时AP间距离为h，则由几何关系得d2h12(Lh1)2 解得 h11.8msin= d/(Lh1) =40/41 cos= h1/(Lh1)=9/41对滑轮受力分析如图，则有FTFTcosmg FTsinF解得：Fmg=480N（2）乙在滑动过程中机械能守恒，滑到绳的中点位置最低，速度最大。此时APB三点构成两个全等的直角三角形。P

11、与AB的距离为 h2由机械能守恒有: mg(h2h1)解得 （3）战士乙下滑到最低点时突然松手，做平抛运动，有：x=vmt y=h3h2=gt2/2 联立可得：x=4m可见，战士乙能安全落在山谷对岸地面上。【变式训练4】如图所示、四分之一圆轨道OA与水平轨道AB相切，它们与另一水平轨道CD在同一竖直面内，圆轨道OA的半径R=0.45m，水平轨道AB长S13m，OA与AB均光滑。一滑块从O点由静止释放，当滑块经过A点时，静止在CD上的小车在F=1.6N的水平恒力作用下启动，运动一段时间后撤去F。当小车在CD上运动了S23.28m时速度v=2.4m/s，此时滑块恰好落入小车中。已知小车质量M=0.

12、2kg，与CD间的动摩擦因数0.4。（取g=10m/）求（1）恒力F的作用时间t（2）AB与CD的高度差h。解：（1）设小车在轨道CD上加速的距离为s,由动能定理得 设小车在轨道CD上做加带运动时的加速度为，由牛顿运动定律得 建立式，代入数据得 （2）设小车在轨道CD上做加速运动的末速度为，撤去力F后小车做减速运动时的加速度为减速时间为，由牛顿运动定律得 设滑块的质量为m,运动到A点的速度为，由动能定理得设滑块由A点运动到B点的时间为，由运动学公式得 设滑块做平抛运动的时间为则 由平抛规律得 联立以上各式，代入数据得 【例3】某校物理兴趣小组决定举行遥控赛车比赛。比赛路径如图所示，赛车从起点A

13、出发，沿水平直线轨道运动L后，由B点进入半径为R的光滑竖直圆轨道，离开竖直圆轨道后继续在光滑平直轨道上运动到C点，并能越过壕沟。已知赛车质量m=0.1kg，通电后以额定功率P=1.5W工作，进入竖直轨道前受到阻力恒为0.3N，随后在运动中受到的阻力均可不记。图中L=10.00m，R=0.32m，h=1.25m，S=1.50m。问：要使赛车完成比赛，电动机至少工作多长时间？（取）【解析】本题考查平抛、圆周运动和功能关系。设赛车越过壕沟需要的最小速度为v1，由平抛运动的规律 解得 设赛车恰好越过圆轨道，对应圆轨道最高点的速度为v2，最低点的速度为v3，由牛顿第二定律及机械能守恒定律 解得 m/s通

14、过分析比较，赛车要完成比赛，在进入圆轨道前的速度最小应该是m/s设电动机工作时间至少为t，根据功能原理 由此可得 t=2.53s【变式训练5】为了研究过山车的原理，物理兴趣小组提出了下列设想：取一个与水平方向夹角为370，长为L=2.0m的粗造的倾斜轨道AB，通过水平轨道BC与竖直圆轨道相连，出口为水平轨道DE，整个轨道除AB段以外都是光滑的。其中AB与BC轨道以微小圆弧相接，如图所示。一个小物块以初速度v0=4.0m/s从某一高处水平抛出，到A点时速度方向恰沿AB方向，并沿倾斜轨道滑下。已知物块与倾斜轨道的动摩擦因数=0.50。（取g=10m/s2， sin370=0.6，cos370=0.

15、8）（1）要使小物块不离开轨道，并从水平轨道DE滑出，则竖直圆轨道的半径应满足什么条件？（2）为了让小物块不离开轨道，并且能够滑回倾斜轨道AB，则竖直圆轨道的半径应满足什么条件？（3）按问（2）的要求，小物块进入轨道后最多可以有多少次通过圆轨道上距水平轨道高为0.01m的某一点？参考答案：（1）R0.66m （2）R1.65m （3）8次提示：问（3）中，第一次冲上圆轨道的高度取最大值H=1.65m，第一次滑回倾斜轨道的高度设为h1，滑回倾斜轨道的高度设为h1/，由动能定理有： mg(Hh1) mg h1cot370=0 mg(h1h1/) mg h1cot370=0 由得h1=3H/5 由得

16、h1/= h1/3 综合得h1/= H /5 同理h2/= h1/ /5=（1/5）2 H 以此类推hn/=（1/5）n H h (式中h=0.01m) 可见，n最多只能取3，因此，总次数最多为N=1+2n+1=8(次)【变式训练6】某兴趣小组设计了如图所示的玩具轨道中，其中“2008”四个等高数字用内壁光滑的薄壁细圆管弯成，固定在竖直平面内（所示数字均由圆或半圆组成，圆半径比细管的内径大得多）底端与水平地面相切。弹射装置将一个小物体（可视为质点）以m/s的水平初速度由a点弹出，从b点进入轨道，依次经过“8002”后从p点水平抛出。小物体与地面ab段间的动摩擦因数不计其它机械能损失。已知ab段

17、长L1.5m，数字“0”原半径R=0.2m，小物体质量m=0.01kg，g=10m/s2。求：（1）小物体从p点抛出后的水平射程。（2）小物体经过数字“0”的最高点时管道对小物体的作用力的大小和方向。解：（1）设小物体运动到p点时的速度大小为，对小物体由a运动到p过程应用动能定理得小物体自p点做平抛运动，设运动时间为t，水平射程为s，则 联立式，代入数据解得 m （2）设在数字“0”的最高点时的管道对小物体的作用力大小为F，取竖直向上为正方向 联立式，代入数据解得 N 方向竖直向下【变式训练7】过山车是游乐场中常见的设施。下图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成

18、，B、C、D分别是三个圆形轨道的最低点，B、C间距与C、D间距相等，半径、。一个质量为kg的小球（视为质点），从轨道的左侧A点以的初速度沿轨道向右运动，A、B间距m。小球与水平轨道间的动摩擦因数，圆形轨道是光滑的。假设水平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠。重力加速度取，计算结果保留小数点后一位数字。试求 （1）小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作用力的大小； （2）如果小球恰能通过第二圆形轨道，B、C间距应是多少； （3）在满足（2）的条件下，如果要使小球不能脱离轨道，在第三个圆形轨道的设计中，半径应满足的条件；小球最终停留点与起点的距离。解析：（1）设小于经过第一个圆轨道的最高点

19、时的速度为v1根据动能定理 小球在最高点受到重力mg和轨道对它的作用力F，根据牛顿第二定律 由得 （2）设小球在第二个圆轨道的最高点的速度为v2，由题意 由得 （3）要保证小球不脱离轨道，可分两种情况进行讨论：I轨道半径较小时，小球恰能通过第三个圆轨道，设在最高点的速度为v3，应满足 由得 II轨道半径较大时，小球上升的最大高度为R3，根据动能定理 解得 为了保证圆轨道不重叠，R3最大值应满足 解得 R3=27.9m综合I、II，要使小球不脱离轨道，则第三个圆轨道的半径须满足下面的条件 或 当时，小球最终焦停留点与起始点A的距离为L，则 当时，小球最终焦停留点与起始点A的距离为L，则 强化闯关

20、：1.如图，ABC和ABD为两个光滑固定轨道，A、B、E在同一水平面，C、D、E在同一竖直线上，D点距水平面的高度h，C点高度为2h，一滑块从A点以初速度分别沿两轨道滑行到C或D处后水平抛出。（1）求滑块落到水平面时，落点与E点间的距离和.（2）为实现，应满足什么条件？解析：（1）根据机械能守恒，根据平抛运动规律：， ,综合得，（2）为实现，即，得但滑块从A点以初速度分别沿两轨道滑行到C或D处后水平抛出，要求，所以。本题考查根据机械能守恒和平抛运动规律以及用数学工具处理物理问题的能力。难度：难。2.如图，ABD为竖直平面内的光滑绝缘轨道，其中AB段是水平的，BD段为半径R=0.2m的半圆，两段

21、轨道相切于B点，整个轨道处在竖直向下的匀强电场中，场强大小E=5.0103V/m。一不带电的绝缘小球甲，以速度0沿水平轨道向右运动，与静止在B点带正电的小球乙发生弹性碰撞。已知甲、乙两球的质量均为m=1.010-2kg，乙所带电荷量q=2.010-5C，g取10m/s2。(水平轨道足够长，甲、乙两球可视为质点，整个运动过程无电荷转移)（1） 甲乙两球碰撞后，乙恰能通过轨道的最高点D，求乙在轨道上的首次落点到B点的距离；（2）在满足(1)的条件下。求甲的速度0；（3）若甲仍以速度0向右运动，增大甲的质量，保持乙的质量不变，求乙在轨道上的首次落点到B点的距离范围。2解：（1）大乙恰能通过轨道最高点

22、的情况，设乙到达最高点速度为v0，乙离开D点到达水平轨道的时间为t，乙的落点到B点的距离为x，则 联立得 （2）设碰撞后甲、乙的速度分别为v甲、v乙，根据动量守恒定律的机械能守恒定律有联立得由动能定理，得联立得 （3）设甲的质量为M，碰撞后甲、乙的速度分别为，根据动量守恒定律和机械能守恒定律有 （10） （11） 联立（10）（11）得 （12）由（12）和，可得 （13）设乙球过D点时速度为，由动能定理得（14）联立（13）（14）得设乙在水平轨道上的落点距B点的距离为有联立（15）（16）得3如图所示，直线形挡板p1p2p3与半径为r的圆弧形挡板p3p4p5平滑连接并安装在水平台面b1b2

23、b3b4上，挡板与台面均固定不动。线圈c1c2c3的匝数为n，其端点c1、c3通过导线分别与电阻R1和平行板电容器相连，电容器两极板间的距离为d，电阻R1的阻值是线圈c1c2c3阻值的2倍，其余电阻不计，线圈c1c2c3内有一面积为S、方向垂直于线圈平面向上的匀强磁场，磁场的磁感应强度B随时间均匀增大。质量为m的小滑块带正电，电荷量始终保持为q,在水平台面上以初速度v0从p1位置出发，沿挡板运动并通过p5位置。若电容器两板间的电场为匀强电场，p1、p2在电场外，间距为l,其间小滑块与台面的动摩擦因数为，其余部分的摩擦不计，重力加速度为g，求：(1) 小滑块通过p2位置时的速度大小。(2) 电容

24、器两极板间电场强度的取值范围。(3)经过时间t,磁感应强度变化量的取值范围。3解：（1） 小滑块运动到位置时速度为v1，由动能定理有： v1= （2）由题意可知，电场方向如图，若小滑块能通过位置p，则小滑块可沿挡板运动且通过位置p5，设小滑块在位置p的速度为v，受到的挡板的弹力为N，匀强电场的电场强度为E，由动能定理有：= 当滑块在位置p时，由牛顿第二定律有：N+Eq=m 由题意有：N0 由以上三式可得：E E的取值范围：0 E （3）设线圈产生的电动势为E1，其电阻为R，平行板电容器两端的电压为U，t时间内磁感应强度的变化量为B，得：U=Ed 由法拉第电磁感应定律得E1=n由全电路的欧姆定律

25、得E1=I（R+2R） U=2RI经过时间t，磁感应强度变化量的取值范围：0 4如图所示，光滑绝缘的水平面右端B处连接一个竖直的半径为R的光滑半圆轨道，最高点C与该半圆的圆心在同一竖直线上，竖直线的左侧区域有水平向左的匀强电场，在离B距离为x的A点，有一带电量为q、质量为m的小滑块从静止开始释放，小滑块沿半圆轨道运动到C处后立即撤去左边的匀强电场，结果小滑块正好落回A点（小滑块可看作质点），求：（1）小滑块在水平轨道上运动时电场力所做的功；（2）x为何值时，完成上述运动电场力所做的功最少？并求出最小的功；（3）x为何值时，完成上述运动所选用的水平向左的匀强电场的电场强度最小？并求出最小的电场强

26、度。解：（1）小滑块从半圆弧轨道做平抛运动又回到A点，设小滑块在C点的速度为v0，则从C点运动到A点所用的时间为t，在水平方向x=v0t 竖直方向上 解式有对质点从A到C，由动能定理有解得 （2）要使电场力F做功最少，确定x的取值，知，只要质点在C点速度最小，则功WF就最小。若质点恰好能通过C点，其在C点最小速度为v，由牛顿第二定律有，则 由式有，解得x=2R时，WF最小，最小的功。（3）由式，即因，,由极值不等式有：当时，即x=4R时，最小的力qE=mg，E=mg/q5.如图所示为放置在竖直平面内游戏滑轨的模拟装置，滑轨由四部分粗细均匀的金属杆组成，其中倾斜直轨AB与水平直轨CD长均为L3m

27、，圆弧形轨道APD和BQC均光滑，BQC的半径为r1m，APD的半径为R，AB、CD与两圆弧形轨道相切，O2A、O1B与竖直方向的夹角均为q37。现有一质量为m1kg的小球穿在滑轨上，以Ek0的初动能从B点开始沿AB向上运动，小球与两段直轨道间的动摩擦因数均为，设小球经过轨道连接处均无能量损失。（g10m/s2，sin370.6，cos370.8，sin18.5=0.32，cos18.5=0.95，tan18.5=，cot18.5=3）求：（1）要使小球完成一周运动回到B点，初动能EK0至少多大？（2）在满足（1）的条件下，小球第二次到达D点时的动能；（3）在满足（1）的条件下，小球在CD段上

28、运动的总路程。拓展：（4）若Ek0=31J,而其他条件不变，则小球第二次到达D点时的动能EkD=？在CD段上运动的总路程SCD=？（5）若Ek0=13J,而其他条件不变，则小球能否完成一周运动回到B点？小球第二次到达D点时的动能EkD=？在CD段上运动的总路程SCD=？（6）若小球与CD段直轨道间的动摩擦因数均为/，其他条件不变，则要使小球完成一周运动回到B点，初动能EK0至少多大？（7）若CD段直轨道也是光滑的，其他条件不变，则当Ek0=31J时，小球在AB段直轨道运动的总路程SAB=？5解：（1）如图所示，由几何关系，有：R+Rcos= r+rcos+Lsin 解得：R=2m 由功能关系可

29、知，要使小球完成一周运动回到B点，必须同时满足两个条件，能过轨道最高点M的条件是：Ek0-mgLsin+ R(1-cos) -mgLcos=EkM0 初动能足以沿途克服摩擦发热损耗，即：Ek0mgLcos+mgL 由得：Ek030J 由得：Ek018J综合可得：小球初动能Ek0min=30J（2）在满足（1）的条件下，小球第一次到达B点时的动能EKb1=Ek0min-mgL(1+cos)=12J 设此后小球能冲上AB段直轨道的最大距离为x，则EKb1=mgx(sin+cos) 解得：x=m3m 所以，小球第二次到达D点时的动能 12.6J （3）由于 所以，在满足（1）的条件下，小球在CD段上

30、运动的总路程S总3Ls 其中 解得：s0.78m 故S总3Ls9.78m 拓展：由以上分析和计算可知，（4）若Ek0=31J，则小球能做完整的一周运动，并且可得 EbK1=13J，x=1.5m，EkK2=5J，EkD2=13J，在CD段直轨道上通过的总路程s总=9.9m。 （5）若Ek0=13J，则小球不能做完整的一周运动。而是沿BA段直轨道冲上x=1.5m后便返回。同理可得，EkD2=13J，在CD段直轨道上通过的总路程s总=6.9m。 （6）若小球与CD段直轨道间的动摩擦因数改为/=3/4，而其他条件不变，则小球能做完整的一周运动的条件是：Ek0=mgLcos+/mgL=30.5J(7)

31、若CD段直轨道也是光滑的，而其他条件不变，则当Ek0=31J时，小球能做完整的一周运动，并且小球最终将在过B点的水平线以下部分轨道往复运动，设小球在AB段直轨道上通过的总路程为s总/，则Ek0=mg s总/cos 解得：s总/11.6m.6如图所示，质量为m、带电量为+q的小球由一段长为L的绝缘细线系于点，空间存在竖直向上的匀强电场E（且）和竖直方向上磁感应强度为B的匀强磁场。今小球在水平面内作图示方向的匀速圆周运动，其中细线与竖直方向的夹角为。求：OEV（1）匀强磁场的方向如何？（2）细线中的张力及小球运动的速率各是多大？（3）若在图示的位置突然将匀强磁场撤去，小球将做何种运动？细线中的张力

32、多大？解：（1）小球做匀速圆周运动所需的向心力由洛仑兹力来提供，根据左手定则，匀强磁场的方向竖直向下。（2）由于带电小球受到的电场力与重力平衡，洛仑兹力在水平面内，这时细线中的张力应为零。（3分）有：，得。（3）若在图示的位置突然将匀强磁场撤去的瞬间，小球的速度大小方向不变。小球将以O点为圆心，L为半径开始做匀速圆周运动，其轨道平面如图所示。EOVTEqmg细线中的张力为T，有：。OmgBVF洛EqE7如图所示，水平传送带沿顺时针匀速转动，在传送带上的P点放一质量m=1kg的静止小物块。小物块随传送带运动到A点后水平抛出，恰好无碰撞的沿圆弧切线从B点进入竖直光滑圆弧轨道运动。B、C为圆弧的两端

33、点，其连线水平。小物块离开C点后恰能无碰撞的沿固定斜面向上运动，经0.8s通过D点。已知小物块与传送带间的动摩擦因数1=0.3，圆弧半径R=1.0m，圆弧对应的圆心角=1060，轨道最低点为O，A点距水平面的高度h=0.8m，小物块与斜面间的动摩擦因数2=1/3，重力加速度g取10m/s2，sin370=0.6，cos370=0.8，试求：（1）小物块离开A点的水平初速度v1；（2）若传送带的速度为5m/s，则PA间的距离是多大？（3）小物块经过O点时对轨道的压力以及斜面上CD间的距离。解：（1）对小物块，由A到B在竖直方向有在B点 代入数据解得 v1=3m/s（2）小物块在传送带上加速过程：

34、1mg=ma1 PA间的距离（3）小物块由B到O，根据机械能守恒定律得 其中小物块在O点由牛顿第二定律得代入数据解得FN=43N由牛顿第三定律知，小物块对轨道的压力为FN/、=43N小物块沿斜面上滑，由牛顿第二定律得代入数据解得a2=10m/s2小物块沿斜面下滑，由牛顿第二定律的代入数据解得a3=6m/s2由机械能守恒定律知vC=vB=5m/s，小物块由C上升到最高点历时小物块由最高点回到D点历时t2=0.8s0.5s=0.3s故 代入数据解得CD间的距离sCD=0.98m8 如图所示，水平桌面上有一轻弹簧，左端固定在A点，弹簧处于自然状态时其右端位于B点。水平桌面右侧有一竖直放置的光滑轨道M

35、NP，其形状为半径R=0.8 m的圆环剪去了左上角135的圆弧，MN为其竖直直径，P点到桌面的竖直距离也是R。用质量m1=0.4kg的物块将弹簧缓慢压缩到C点，释放后弹簧恢复原长时物块恰停止在B点。用同种材料、质量为m2=0.2kg的物块将弹簧也缓慢压缩到C点释放，物块过B点（B点弹簧原长位置）后做匀减速直线运动，其位移与时间的关系为，物块从桌面右边缘D点飞离桌面后，由P点沿圆轨道切线落入圆轨道。g =10 m/s2，求：（1）BP间的水平距离； （2）判断m2能否沿圆轨道到达M点；（3）释放后m2运动过程中克服摩擦力做的功. 8解：（1）设物块块由D点以初速做平抛，落到P点时其竖直速度为， 得 平抛用时为t，水平位移为s， 在桌面上过B点后初速BD间位移为，则BP水平间距为 （2）若物块能沿轨道到达M