离散时间随机过程的功率谱密度PPT课件

1、2021/3/912.3 离散时间随机过程的功率谱密度离散时间随机过程的功率谱密度 前面讨论连续时间随机过程的功率谱密度及其相前面讨论连续时间随机过程的功率谱密度及其相关性质，并得出重要的关系式关性质，并得出重要的关系式:(:(维纳维纳辛钦公式辛钦公式) ) 随着快速傅里叶变化随着快速傅里叶变化( (FFT) )算法出现以及数字信算法出现以及数字信号处理号处理( (DSP) )芯片的飞速发展，对离散时间随机过程芯片的飞速发展，对离散时间随机过程的研究就显得非常重要。的研究就显得非常重要。2021/3/92一一 离散时间随机过程的功率谱密度离散时间随机过程的功率谱密度1 平稳平稳离散离散时间随机

2、过程的相关函数时间随机过程的相关函数 设设X(n)为为广义平稳广义平稳离散离散时间随机过程，或简时间随机过程，或简称为广义平稳随机序列，具有零均值。称为广义平稳随机序列，具有零均值。 X(n)可以可以看作对连续时间随机过程进行采样得到的信号，看作对连续时间随机过程进行采样得到的信号，采样间隔采样间隔 ，即，即 。 X(n)自相关函数为自相关函数为: :)()()(mTnTXnTXEmRX简写为：简写为： )()()(mnXnXEmRXsT( )( )|st nTX nX t2021/3/932 平稳平稳离散离散时间随机过程的功率谱密度时间随机过程的功率谱密度 序列序列 的傅里叶变换存在的的傅里

3、叶变换存在的充要条件充要条件是是满足绝对可和条件：即满足绝对可和条件：即 定义定义 的功率谱密度为序列的功率谱密度为序列 的傅的傅里叶变换，并记为里叶变换，并记为 )(mRX( )XmRm )(nX)(mRX)(XS( )( )jm TXXmSRm e1( )( )2jm TXXRSed2021/3/94是频率为是频率为 的周期性连续函数，其周期为的周期性连续函数，其周期为 T是随机序列相邻各值的时间间隔。是随机序列相邻各值的时间间隔。22qT 奈奎斯特频率奈奎斯特频率 )(XS因为因为 为周期函数，周期为为周期函数，周期为)( XS2qdeSmRTjmXqXqq)(21)(在在 时时0m1(

4、 )(0)( )2qqXXqE X nRSd2021/3/953 谱分解谱分解 z变换定义变换定义 在离散时间系统的分析中，常把广义平稳离在离散时间系统的分析中，常把广义平稳离散时间随机过程的功率谱密度定义为散时间随机过程的功率谱密度定义为 的的z变变换换，并记为，并记为 ，即，即 )(mRX zSX mmXXzmRzS)(式中式中,()( )j Tj TXXzeSeS11( )( )2mXXDRmSz zdzj 式中，式中，D为在为在 的收敛域内环绕的收敛域内环绕z平面原点逆平面原点逆时针旋转的一条闭合围线。时针旋转的一条闭合围线。 zSX 为为 的逆的逆z变换变换)(mRX zSX 202

5、1/3/96 性质：性质： 1( )()XXSzSz（因为（因为 ）)()(mRmRXX 谱分解定理谱分解定理 设设X(n)是广义平稳实离散随机过程，具有有是广义平稳实离散随机过程，具有有理功率谱密度函数理功率谱密度函数 。则。则 可分解为：可分解为： zSX zSX )()(1zBzBzSX)()()()()(11MMzzzzCzB)()()()()(1111111MMzzzzCzB其中其中包含了包含了单位圆之内单位圆之内的全部零点和极点的全部零点和极点包含了包含了单位圆之外单位圆之外的全部零点和极点的全部零点和极点2021/3/97例例 设设 ，求，求 和和( ),1mXRmaa( )XS

6、z( )XS解解10221111( )(1)1()(1)(1)(1)(1)()()mmmmXmmSzaza zazzazazzazaazaaaazazaazz将将 代人上式，即可求得代人上式，即可求得j Tze11( )2cosXaaSaaT2021/3/98连续时间连续时间平稳随机过程平稳随机过程 离散时间离散时间 平稳随机过程平稳随机过程自相关函数自相关函数功率谱密度功率谱密度功率谱密度功率谱密度自相关函数自相关函数( )X t( )X n( )cR( )R m( )S( )cSFTDFT2021/3/99连续时间连续时间确知信号确知信号离散时间离散时间确知信号确知信号( )S t( )S

7、 n采样采样香农采样定理香农采样定理2021/3/910平稳随机过程的采样定理平稳随机过程的采样定理其中，其中， 为采样周期，为采样周期， 为在为在 时对时对 的采样。的采样。sin()( )()()()()ccscsscsnncstnTs ts nTs nTSatnTtnT),(cc1/2scTf设设 为一确知、连续、带限的实信号，其为一确知、连续、带限的实信号，其频带范围频带范围 ，当采样周期，当采样周期 时时 即频率即频率 时，时， 可唯一由其可唯一由其抽样点抽样点 确定（恢复）。确定（恢复）。)(ts)(ts2(2)scccfff()ss nTnTt )(tssT()ss nT2021

8、/3/911连续时间连续时间确知信号确知信号离散时间离散时间确知信号确知信号( )S t( )S n采样采样香农采样定理香农采样定理)()(nTSnSsin()( )()()ccssncstnTs ts nTtnT2021/3/912连续时间连续时间平稳随机过程平稳随机过程离散时间离散时间平稳随机过程平稳随机过程( )X t( )X n 采样采样2021/3/9132 平稳平稳随机过程随机过程的采样定理的采样定理( )( )0XcXSS其其它它12sccTf)(tX)(tXsin()( )lim()NcsNnNctnX tX nTtn()sX nT 是均方意义下的极限（均方极限）：是均方意义下

9、的极限（均方极限）：若若 ，则表示，则表示 ， 即，在即，在 时，时，Y(t)和和X(t)的均方误差趋于零。的均方误差趋于零。( )lim( )NX tY t2lim( )( ) 0NE X tY tN lim2021/3/914 的带宽也是有限。的带宽也是有限。sin()( )()cXXsncnRRnTna()( ),( )j aj aXXXRaSeSe)(aRXsin()()()cXXsncnRaRnTan令令 ，则，则asin()( )()()cXXsncanRRnTaan 对对 ， 对对 应用香农采样定理应用香农采样定理 带宽有限，带宽有限， 是是带限确定信号带限确定信号，由香农，由香

10、农采样定理可知采样定理可知)(XR( )( )XXRS)(XS是确知函数，维纳是确知函数，维纳-辛钦定理：辛钦定理： )(XR2021/3/915sin()( )()NcsnNctnX tX nTtn令令lim( )( )()sin()()()0NcXsXssncEX tX tX mTtnRtmTRnTmTtn，则则这说明，这说明，( )( )X tX t)(mTX正交正交 又又 是是 的线性组合，的线性组合，sin()( )()NcsnNctnX tX nTtn)(mTXN正交正交( )( )X tX t)(tX2021/3/916即即 lim( )( )( )0NEX tX tX t(4)

11、又又 lim( )( )( )0NEX tX tX t(5)2lim( )( )lim( )( )( )lim( )( )( )0NNNEX tX tE X tX tX tE X tX tX t即即sin()( )lim( )lim()NcsNNnNctnX tX tX nTtn2021/3/9172lim( )( )0NEX tX tsin()( )lim()NcsNnNctnX tX nTtnsin()( )()cXXsncnRRnTnsin()()()cXXsncnRaRnTansin()( )()()cXXsncanRRnTaan lim( )( )( )0NEX tX tX t(4)

12、lim( )( )( )0NEX tX tX t(5)2021/3/918连续时间连续时间平稳随机过程平稳随机过程离散时间离散时间平稳随机过程平稳随机过程( )X t( )X nsin()( )lim()NcsNnNctnX tX nTtn采样采样( )()X nX nT自相关函数自相关函数功率谱密度功率谱密度功率谱密度功率谱密度自相关函数自相关函数( )cR( )R m( )S( )cSFTDFT2021/3/919三三 功率谱密度的采样定理功率谱密度的采样定理 若平稳连续时间实随机过程若平稳连续时间实随机过程 ，其自相关函数，其自相关函数和功率谱密度分别记为和功率谱密度分别记为 和和 ，对，对 采样后所采样后所得离散时间随机过程得离散时间随机过程 ， 的自相关函的自相关函数和功率谱密度分别记为数和功率谱密度分别记为 和和 ，则有，则有)(cR)(cS( )cXt( )()sX nX nT)(nX)(mR)(S( )( )()()()()( )|scscscscmTR mE X n X nmE XnT XnTmTR mTR1( )(2)cqqnssSSnTT( )cXt2021/3/920连续时间连续时间平稳随机过程平稳随机过程离散时间离散时间平稳随机过程平稳随机过程( )X t( )X n