角分垂等腰归

1、录入：XYF第四节 角分垂 等腰归解题方法技巧从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与另一边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线所在直线又成为底边上的中线和高所在直线，可以利用等腰三角形“三线合一”的性质（若题目条件中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段止于角的另一边）证题. 另外，利用所作的垂直还能构造一对全等的直角三角形.图1-4-1如图1-4-1，12，DEOE于E，若延长DE交OB于F，则OED OEF，有DEEFDF，ODOF，ODFOFD等结论.例1 如图1-4-2，已知ABC中CD平分ACB，ADCD，DEBC交AB于E. 求证：EAEB.图1-4-2 【

2、条件分析】由条件CD平分ACB，ADCD，想到12，ADC90°，可考虑延长AD交BC于点F，构造两个全等的直角三角形求解. 由DEBC想到利用平行线分线段成比例定理证题. 【思路建立】欲证EAEB，由DEBC想到只需证出点D是某条线段的中点即可. 于是延长AD交BC于点F，由已知条件CD平分ACB，ADCD，易得ADC FDC，得出ADDF，利用平行线分线段成比例定理得解. 【证明】如图1-4-2，延长AD交BC于点F.CD平分ACB，12. 又ADCD，CD CD，ADC FDC，AD FD.又DEBC，EAEB.思考：如果将条件DEBC换成EAEB，证题结论换成DEBC，应怎样

3、证明？提示：作出如例1同样的辅助线，证出点D是AF的中点，根据三角形中位线定理得证.方法技巧 当遇到与角平分线垂直的线段时，一定要把这条线段延长后与角的另一条边相交，构造等腰三角形和两个全等的直角三角形.发散思维1. 如图1-4-3，已知在ABC中，AD平分BAC，BDAD，BEAE. 求证：DEAC.图1-4-32. 已知：在ABC中，AB5，AC3，D是BC中点，AE是BAC的平分线，且CEAE于E，连接DE. 求DE的长.例2 已知：如图1-4-4，在ABC中，AD平分BAC，AD AB，CMAD交AD的延长线于M. 求证：AM (ABAC) .图1-4-4 【条件分析】由AD平分BAC

4、，CMAD，想到BAD CAD，AMC90°，可考虑通过补形法构造等腰三角形求解. 由AD AB可得ABC ADB. 【思路建立】由于已知条件中出现了与角平分线AD所在直线垂直的线段CM，所以可据此构造等腰三角形解决问题. 具体思路有： （1）作ABD关于直线AD对称的AED（如图1-4-5），证明DM EC后使用等量代换可得结论； （2）将要证明的结论转化为2AM ABAC，作出ACM关于直线CM对称的FCM后证明DFCF（如图1-4-6）；（3）作ACM关于直线AD对称的ANM（如图1-4-7），证明BP BN后使用等量代换可得结论.【证法1】如图1-4-5，作ABD关于直线AD

5、对称的AED，则AEABAD，BADBADEAED.取DC中点N，连接MN并延长交AC于F.在RtDMC中，DNMNCN，所以NMDNDMADBADE，所以MFDE，所以AMAF，所以DMEFFCEC.故AM ADDM (ABAE) EC (ABAC).图1-4-5【证法2】如图1-4-6，作ACM关于直线CM对称的FCM. 因为FCM ACM，所以FCAM，FCAC，AF2AM. 而B FCD，又B ADB FDC，即FCD FDC，所以FCFD.故2AMAFADDFABCFABAC.所以AM (ABAC) .图1-4-6【证法3】如图1-4-7，延长CM交AB延长线于点N，作MPBC交BN

6、于点P. 因为CMAD，12，所以ANAC，NMCM.又因为MPBC，AB AD，所以BPPNBN，5346. 所以AP AM，所以(ABAC) (ABAN) (ABAPPN) (ABAPBP) (ABBPAP) ×2 AP AP AM，即AM (ABAC) .图1-4-7规律总结但三角形中存在与角平分线垂直的线段时，首先考虑到用垂直关系（延长与角平分线垂直的线段），构造出全等的直角三角形，进而得出线段或角的相等关系，以便进行等线段或等角的转化.名师点拨证法1应用了翻折法构造等腰三角形；证法2也是应用了翻折法，构造出2AM，只需证明2AM ABAC即可；证法3通过补形法构造等腰三角形

7、.发散思维3. 已知：如图1-4-8，BAD CAD，ABAC，CDAD于点D，H是BC的中点. 求证：DH (AB-AC) .图1-4-8附：发散思维答案与解析1. 条件分析：已知条件中有AD平分BAC，BDAD，可延长BD与AC的延长线相交. 构造两个全等的直角三角形，由BEAE可得到点E为AB的中点. 思路建立：欲证DEAC，由BEAE想到构造三角形中位线证明结论，所以延长BD交AC的延长线于点F，只需证明点D是BF的中点即可.证明：如图1-4-9，延长BD交AB的延长线于点F，AD平分BAC，BAD FAD.ADB ADF 90°，ADAD，ABD AFD，BDDF.BEAE

8、，DEAC.图1-4-92. 条件分析：由条件AE是BAC的平分线，CEAE于点E，可延长CE与AB相交，构造两个全等的直角三角形. 思路建立：欲求DE的长，又知点D为BC的中点，可联想证DE为某三角形的中位线即可，由已知AE是BAC的平分线，且CEAE，可通过延长CE交AB于F，通过证明ACE AFE得出E是CF的中点，AFAC3，进而求得BF的长，于是可求出DE的长.解：延长CE交AB于F，如图1-4-10，AE是BAC的平分线，CAE FAE.又AEC AEF 90°，AEAE，AEC AEF，CEEF，AFAC3.又D为BC的中点，DE为CBF的中位线. DEBF.又BFAB-AF5-32，DE ×21.图1-4-103. 条件分析：由BAD CAD，CDAD，可想到通过延长CD与AB相交，构造两个全等的直角三角形，由点H是BC的中点想到利用三角形中位线定理求解. 思路建立：欲证DH (AB-AC)可考虑证明DH为某三角形的中位线，利用中位线定理和相关线段的转化进行求证. 已知BAD CAD，CDAD，故延长CD交AB于点E，可证得AED ACD，则A