解决椭圆部分问题的新思路——化椭为圆

1、解决椭圆部分问题的新思路化椭为圆山西大学附中 刘嘉信一、 概念与基本的推导化椭为圆，顾名思义，就是把椭圆变成圆。那如何实现这一点呢？这里我们以中心在坐标系原点O点，长轴在X轴上的椭圆为例，看看如何将椭圆变成一个圆（在本文中默认a>b>0）：椭圆的标准方程为：将（1）式中左右两边同时乘以可得：我们可以设，代入（2）式消去y就有：这时，我们可以发现，（3）式中的形式就是xoz坐标系里面的一个以坐标原点为圆心、以a为半径的一个圆。这时我们就把一个xoy坐标系里面的椭圆成功的变成了一个xoz坐标系里面的一个比较特殊的圆。实际上，我们可以发现，这个方法的本质就是把y轴人为地拉长为原来的倍，变

2、成xoz坐标系。二、 应用无论什么理论，有实际的应用才有价值，那么那么这个方法到底有什么用处呢？我们知道，一般情况下，解决椭圆与直线关系等的问题时，我们需要联立、求解或者用韦达定理求解出或者是，较为繁琐，计算量较大，原因就是椭圆的几何性质太少，没有办法直接作出判断。但是，在我们把椭圆变成圆以后，我们就可以利用圆的一些性质来解决一些问题。1、 判断直线与椭圆的位置关系。比如我们已知一条直线L：我们还知道一个椭圆C：我们可以用上面的方法，设，代入（1）、（2）式得到：这时候，我们就可以看出来：（3）式是xoz坐标系里面的一条直线，而（4）式是xoz坐标系里面的一个圆心为（0,0）、半径为a的一个圆

3、。这样我们就可以用点线距离和半径的关系来判断椭圆C和直线L的位置关系。设d为（0,0）到（3）表示的直线L的距离，则有：既然知道了一个圆圆心与一条直线的距离和这个圆的半径，那么二者的位置关系就十分好判断了。2、 弦中点问题弦中点问题是我起的一个名字。在椭圆中这类问题可以用化椭为圆的方法来解决。由于从xoy坐标系变成xoz坐标系以后，原来的弦的中点仍然是中点，所以我们就可以连接圆心（即坐标原点）和这个中点，制造出一个垂直（弦的垂直平分线）。下面我举个例子：【例1】已知椭圆C的标准方程为：，求该椭圆所有的斜率为2的弦的中点的轨迹方程。【解析】我们用上面的方法就可以把椭圆变成：。由于我们是要在xoz

4、坐标系里面做工作，所以必须把直线也变进来。设这些弦所在的直线的方程为：，把y代换成z就有：。我们知道，圆里面弦的中点与圆心（这里是坐标原点）的连线与这条弦所在直线垂直，所以，很明显就有这些中点一定分布在直线上面，即。因为弦的中点一定在椭圆内部，所以我们只需再加上范围即可。不必再用原来的代入消元求解的方法，十分简洁。【例2】已知椭圆C的标准方程为：，P、Q为椭圆C上的两点，直线OP、OQ的斜率的乘积为。求|OP|+|OQ|。【解析】设P，Q 我们可以按照上面的方法把C的方程变成，于是在xoz坐标系里面，有：，。因为OP、OQ过原点，所以，；变成xoz坐标系后，因为、，所以、。又因为，所以有，即在xoz坐标系中，OPOQ，所以。所以：三、 注意对于这种方法，我们必须注意两点：1、 对于大多数给定某一个角度的题目，这个方法并不适用，因为角经过对y轴的拉伸之后就变了，失去了原来的集