矩形的判定（课堂PPT）

1、第十八章第十八章 平行四边形平行四边形18.2.2 18.2.2 矩形的判定矩形的判定平行四平行四边形的边形的性质：性质：边边平行四边形的对边平行四边形的对边平行平行；平行四边形的对边平行四边形的对边相等相等；角角平行四边形的对角平行四边形的对角相等相等；平行四边形的邻角平行四边形的邻角互补互补；对角线对角线平行四边形的对角线平行四边形的对角线互相平分互相平分； 温故知新温故知新平行四平行四边形的边形的判定：判定：边边两组对边分别两组对边分别平行平行的四边形；的四边形；两组对边分别两组对边分别相等相等的四边形；的四边形；角角两组对角分别两组对角分别相等相等的四边形；的四边形；对角线对角线对角线

2、对角线互相平分互相平分的四边形；的四边形；一组对边一组对边平行平行且且相等相等的四边形；的四边形；平行四边形的判定定理：平行四边形的判定定理：2022-3-14复习回顾复习回顾四边形四边形平行平行四边形四边形两组对边两组对边分别平行分别平行一个角一个角是直角是直角矩形矩形四边形集合四边形集合平行四边形集合平行四边形集合矩形集合矩形集合定义：有一个角是定义：有一个角是直角直角的的平行四边形平行四边形叫做矩形。叫做矩形。2022-3-15边边对角线对角线角角ABCDO矩形对边矩形对边平行平行且且相等相等；矩形的四个角都是矩形的四个角都是直角直角；矩形的对角线矩形的对角线平分平分且且相等相等；直角三

3、角形的性质定理：直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 2022-3-16你知道如何判定一个平行四边形是矩形吗？你知道如何判定一个平行四边形是矩形吗？矩形的定义：矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。有一个角是直角的平行四边形是矩形。你还有其它的判定方法吗？你还有其它的判定方法吗？ABCDA=900四边形四边形ABCD是矩形是矩形2022-3-17如果四边形如果四边形ABCDABCD的对角线的对角线AC=BD,AC=BD,这样的四边形是不是矩形这样的四边形是不是矩形? ?ABCDAC=BDABCDAC=BD都不是矩形都不是矩形20

4、22-3-18O如果一个平行四边形的对角线变成相等呢？如果一个平行四边形的对角线变成相等呢？ABCD将AC同时向两边拉长，使AC=BDOABCD现在的 ABCD会是一个什么图形？ 2022-3-19情境一情境一：工人师傅为了检：工人师傅为了检验验两组对边相等两组对边相等的四边形窗的四边形窗框是否成矩形，一种方法是框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对量一量这个四边形的两条对角线长度，如果角线长度，如果对角线长相对角线长相等等，则窗框一定是矩形，你，则窗框一定是矩形，你知道为什么吗？知道为什么吗？猜想猜想：对角线相等的平行四边形是矩形：对角线相等的平行四边形是矩形 。2022-3-11

5、0命题命题：对角线相等的平行四边形是矩形。：对角线相等的平行四边形是矩形。已知：平行四边形已知：平行四边形ABCD，AC=BD。求证：四边形求证：四边形ABCD是矩形。是矩形。ABCD证明证明: AB=CD, BC=BC, AC=BD ABC DCB（SSS） AB/CD ABC+DCB=180 ABC=DCB=90 又又 四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形四边形四边形ABCD是矩形是矩形 ABC=DCB2022-3-111对角线相等的平行四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形 。矩形的判定方法：矩形的判定方法：几何语言：几何语言：四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形 AC

6、=BD四边形四边形ABCD是矩形是矩形（对角线相等且互相平分的四边形是矩形。对角线相等且互相平分的四边形是矩形。）ABCDO（或（或OA=OC=OB=OD）2022-3-112有一个角是直角有一个角是直角有两个角是直角有两个角是直角 的的 四边形四边形是矩形吗？是矩形吗？有三个角是直角有三个角是直角ABDC(有一个角是直角)ABDC(有二个角是直角)ABDC(有三个角是直角)2022-3-113情境一情境一：李芳同学用：李芳同学用“边边直角、边直角、边直角、边直角、边直角、边直角、边”这样四步，画出了这样四步，画出了一个四边形，她说这就是一个一个四边形，她说这就是一个矩形，她的判断对吗？为什么

7、？矩形，她的判断对吗？为什么？猜想猜想：有三个角是直角的四边形是矩形：有三个角是直角的四边形是矩形 。你能证明上述结论吗？你能证明上述结论吗？2022-3-114已知：在四边形已知：在四边形ABCDABCD中，中，A=B=C=90A=B=C=90求证：四边形求证：四边形ABCDABCD是矩形。是矩形。A AB BC CD D证明：证明： A=B=90A=B=90 A+B=180A+B=180ADBCADBC同理可证：同理可证：ABCDABCD四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形又又 A=90A=90四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形2022-3-115矩形的判定方法：矩形

8、的判定方法：有三个角是直角的四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形 。ABCD A=B=C=90 四边形四边形ABCD是矩形是矩形几何语言：几何语言：2022-3-116你能你能归纳矩形的几种判定方法吗？归纳矩形的几种判定方法吗？有一个角是直角的平行四边形是矩形。有一个角是直角的平行四边形是矩形。对角线相等的平行四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形 。（对角线相等且互相平分的四边形是矩形。对角线相等且互相平分的四边形是矩形。）有三个角是直角的四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形 。方法方法1：方法方法2：方法方法3：ABCDO例例1：ABCD的对角线的对角线AC与与BD相交于点相交于

9、点O，（1）若）若AC=BD，则，则ABCD是是 形；形；（2）若）若ABC是直角，则是直角，则ABCD是是 形；形；1. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）. A 对角线相等对角线相等 B 对边相等对边相等 C 对角相等对角相等 D 对角线互相平分对角线互相平分2. 下面说法中正确的是下面说法中正确的是 （ ）. A 有一个角是直角的四边形是矩形有一个角是直角的四边形是矩形. B 两条对角线相等的四边形是矩形两条对角线相等的四边形是矩形. C 两条对角线互相垂直的四边形是矩形两条对角线互相垂直的四边形是矩形. D 四个角都是直角的四边形是矩形

10、四个角都是直角的四边形是矩形. 矩形的一组邻边长分别是矩形的一组邻边长分别是3cm和和4cm，则它的对角，则它的对角线长是线长是 cm. 一一. 选择选择: 二二. 填空填空: A D5课内练习课内练习二二.判断题判断题 对角线相等的四边形是矩形。对角线相等的四边形是矩形。 对角线互相平分且相等的四边形是矩形。对角线互相平分且相等的四边形是矩形。 有一个角是直角的四边形是矩形。有一个角是直角的四边形是矩形。 四个角都是直角的四边形是矩形。四个角都是直角的四边形是矩形。 四个角都相等的四边形是矩形。四个角都相等的四边形是矩形。 对角线相等且有一个角是直角的四边形是对角线相等且有一个角是直角的四边

11、形是矩形。矩形。 对角线相等且互相垂直的四边形是矩形。对角线相等且互相垂直的四边形是矩形。2022-3-120例例2：如图，：如图，M为平行四边形为平行四边形ABCD边边AD的中点，且的中点，且MB=MC，求证：四边形求证：四边形ABCD是矩形。是矩形。ABCDM 要判定一个四要判定一个四边形是矩形，通常边形是矩形，通常先判定它是平行四先判定它是平行四边形，再根据平行边形，再根据平行四边形构成矩形的四边形构成矩形的条件，判定有一个条件，判定有一个角是直角或者对角角是直角或者对角线相等。线相等。2022-3-121例例3：平行四边形平行四边形ABCD,E是是CD的中点的中点, ABE是等边三角形

12、是等边三角形,求证求证:四边形四边形ABCD是矩形。是矩形。DABCE2022-3-122例例4：已知，如图矩形：已知，如图矩形ABCD的对角线的对角线AC、BD相交于点相交于点O，且，且E、F、G、H分分别是别是AO、BO、CO、DO的中点，的中点，求证：四边形求证：四边形EFGH是矩形是矩形 已知：如图已知：如图,矩形矩形ABCD的对角线的对角线AC、BD相相交于点交于点O，E、F、G 、 H分别是分别是AO 、BO 、 CO 、 DO上的一点上的一点 ,且且AE=BF=CG=DH.求证求证:四边形四边形EFGH是矩形是矩形变式一变式一:BCDEFGHOA2022-3-124例例5： 如果

13、平行四边形四个内角的平分线能够围成一个四边形，那如果平行四边形四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形是矩形么这个四边形是矩形已知：如图，已知：如图， ABCD的四个内角的平的四个内角的平分线分别相交于分线分别相交于E、F、G、H，求证：四边形求证：四边形 EFGH为矩形为矩形BGC=90同理可证同理可证AFB=AED=90四边形四边形EFGH是矩形是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形)证明：证明：ABCDABCBCD=180BG平分平分ABC，CG平分平分BCD 2022-3-125书本：书本：P55：1、2、3848471.27344 342022-3

14、-1262. 已知：平行四边形已知：平行四边形ABCD的的AC、BD对角线相对角线相交于交于O，三角形，三角形AOB是等边三角形，是等边三角形，AB=4cm,求这个平行四边形的面积。求这个平行四边形的面积。ABCOD16 327.71()cm2022-3-1274、已知、已知MNPQ，同旁内角的平分线，同旁内角的平分线AB、BC和和AD、CD分别相交于点分别相交于点B、D （1）猜想）猜想AC和和BD间的关系是间的关系是_； （2）试用理由说明你的猜想）试用理由说明你的猜想相等且互相等且互相平分相平分2022-3-1285、在平行四边形、在平行四边形ABCD中中,对角线对角线AC BD相交于相交于O,E