选修2-2——-综合法和分析法

1、2 . 2直接证明与间接证明2 . 2.1综合法和分析法盗紀血曰凸探餐启舂夯戛国玉教.材助试<1. 问题导航(1) 什么是综合法，什么是分析法？两种证明方法的特点是什么？(2) 综合法的推理过程是什么？(3) 综合法与分析法有什么区别和联系？2. 例题导读通过P85例1的学习，应学会利用综合法证明数学问题的思路和方法及推理步骤通过 P87例2和P88例3的学习，学会分析法证明数学问题的思路、方法和推理模式.1 .综合法定义推证过程特点利用已知条件和某些数学定| P? Q1 t Q1? Q2 t顺推 证法 或由 因导 果法义、公理、定理等，经过一系 列的推理论证，最后推导出所 要证明的结论

2、成立，这种证明 方法叫做综合法Q2? Q3 T> Qn? Q(P表示已知条件、已有的定义、公 理、定理等，Q表示所要证明的结论)2分析法定义推证过程特点从要证明的结论出发，逐步寻求使它Q?P1 t P1?P2 t成立的充分条件，直至最后，把要证 明的结论归结为判定一个明显成立 的条件(已知条件、定理定义、公理 等)为止，这种证明方法叫做分析法tP2?P3 T得到一个明显 成立的条件逆推证法或执果 索因法1判断(正确的打“V”，错误的打“X”)(1) 综合法是执果索因的逆推证法.()(2) 综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件.()(3) 分析法就是从结论推向已知.()(4) 所有证明

3、的数学问题均可使用分析法证明.()答案：(1)X (2) V (3) X (4) X2. 综合法是()A 执果索因的逆推证法B 由因导果的顺推证法 C.因果分别互推的两头凑法D .原命题的证明方法答案：B3. 要证明，a+ a+ 7< a + 3 + ,a+ 4(a> 0)可选择的方法有多种，其中最合理的是 ( )A .综合法B .类比法C.分析法D .归纳法答案：C4命题“函数f(x)= x xln x在区间(0, 1)上是增函数”的证明过程“对函数 f(x) = x xln x 求导，得 f' x) = In x,当 x (0, 1)时，f 'x)= In x&

4、gt;0,故函数 f(x)在区间(0 , 1)上是 增函数”应用了 的证明方法.解析：本命题的证明，利用已知条件和导数与函数单调性的关系证得了结论，应用了综合法的证明方法.答案：综合法互动探究前刮剖析1 综合法是一种直接证明的方法，是由已知推出正确结论的推理过程它的基本思路是“由因导果”，由“已知”看“可知”， 逐步推向“未知”，即从数学题的已知条件出发， 经过逐步的逻辑推理， 最后推出待证的问题. 其逐步推理，实际上是寻找“已知”的必要条 件，综合法又叫顺推证法，或者由因导果法，是数学中最常用的证明方法.2 分析法是数学中常用的一种直接证明方法它是从未知到已知(从结论到题设)的逻辑推理，简单

5、地说，分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件分析法又叫“逆推证法”或“执果索因法”.3综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法，是解决数学问题的常用的 思维方法.一般来说，分析法解题方向明确，利于寻求解题思路；而综合法解题条理清晰，宜于表 述.因此在解决问题时， 通常以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程.4综合法、分析法的区别综合法分析法推理方向顺推，由因导果逆推，执果索因解题思路探路较难，易生枝节:容易探路，利于思考表述形式形式简洁，条理清晰叙述烦琐，易出错思路的侧 重点侧重于已知条件提供的信息侧重于结论提供的信息探究案讲练圧动综合法1 订.； (1)

6、在锐角三角形中，求证： sin A+ sin B+ sin C>cos A+ cos B + cos C.nn证明在锐角三角形中，A+ B>2,A>2 B.nnp<2 b<a<2 ,又在0 n内正弦函数是单调递增函数,2n'si n A>si n b = cos B,2 B即 sin A>cosB.同理 sin B>cos C,ABCD 中，/ B = Z C由 + + ，得 sin A+ sin B + sin C>cos A + cos B + cos C. sin C>cos A.如图，在四棱锥=90 °

7、 , AB= 4, CD = 1,点 M 在 PB 上，且 PB= 4PM , PB 与平面 ABC 成 30° 角.求证: CM /平面FAD; 平面PAB丄平面 PAD.证明以C为原点，以CD、CB、CP所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系(图略).由/ PBC= 30°,|PC|= 2，得 |BC|= 2 3, |PB|= 4，不难得到 D(1 , 0 , 0) , B(0 , 2 3, 0) , A(4 , 2：3 , 0) , P(0 , 0 , 2) , M 0 , -2, 2 .31设 CM = xDP + yDA ,贝U x= 4 , y= 4.C

8、M , DP , dA共面.CM?平面 PAD , /-CM /平面 PAD.作BE丄PA于点E(图略)，E(2 ,3 , 1) , BE = (2 , - ,；3,1).BE DA = 0, /.BE 丄 DA.又 BE丄 PA, /-BEX平面 PAD ,平面PAB丄平面PAD.厂| *桂讯i* f利用综合法证明数学问题的三个步骤分析条件仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系选择方向与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法转化条件把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言,主要是文字、符号、图 组织过程形三种语言之间的转化，组织过程时要有严密的逻

9、辑，简洁的语言，清晰的思路适当调整解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当 回顾反思的修饰，反思总结解题方法的选取1. (1)求证：当 x R 时，/>3x 3.证明： x (3x 3) = X 3x+ 33 23=x-2 +4，3 2门又,:x R ,. x0，3 23 x 2 + 4>o,即 x2 (3x 3)>0,'x2>3x 3.m为常数，且n> 2），求证:(2)设数列an的前n项和为 3,且(3 m)Sn+ 2man= m + 3(n N*).其中 m 3. 求证：an是等比数列；3 若数列an的公比 q = f(m)，数

10、列bn满足 bi = ai, bn = f(bn-1)( n N , 1为等差数列.bn证明：由(3 m)Sn + 2man= m + 3，得(3 m)Sn+1+ 2man+1= m+ 3.两式相减，得(3 + m)an +1= 2man, m3,an+ 1an2mm+ 3an是等比数列. t(3 m)Sn + 2man= m + 3, (3 m)ai + 2mai= m+ 3, a= 1.2mbi = ai = 1, q= f(m)=,m + 3当门 N且n>2时,3bn= 2f(bn l)=3 2bni2 bn i + 3bnbn i+ 3bn= 3bn i,i i _ibn bn

11、i 3ii b；是首项为i，公差为i的等差数列.分析法1：二；若 a>0，求证：-.a + /a+ 3<, a+1 + a + 2.证明要证a + ；a+ 3< 'a+ 1+ . a+ 2, 只需证(打'a + ,"a + 3)2<("/a + 1 +r；a + 2)2, 即证 2a + 3 + 2 . a (a+ 3)<2a+ 3+ 2、(a + 1)( a+ 2),只需证 2 J；a (a+ 3) <2 ;： (a+ 1)( a + 2),只需证 I.：a (a+ 3) < v (a + 1)( a+ 2),只需

12、证 a?+ 3a<a?+ 3a+ 2,只需证0<2,因为0<2显然成立，所以a+、.： a+ 3<: a+ 1 + : a + 2成立.厂盘桂料佛分析法证明数学问题的范围、方法、技巧曲于一电条件复貳跡论输单的讹耶先常用 球件缶*而对千X 件育单、绪论复余的谏 .阴*宿用井桥建"分析法诅明患跖姥从舉述明的结论出笈.诬 寺尋求它卓立脚充甘秦件.抵后潘到的左分 .察畔覺£妙【戍已证)的宜子用分析览证明戟学诰星M.i崔走愴当地用 奸“鼻辽” 虫需试"甲址'等坷淆BtKWitnn2. (1)已知 a,卩均为锐角，且 a+ 芦"2，(

13、1+ tan a )(1 + tan 卩)=2,求证：a+ 3= "4.n证明：要证a+ 3= 4，由于a, 3均为锐角，所以只需证 tan( a+ 3)= 1 ,tan a+ tan 3即证=1,1 tan atan 3只需证 tan a+ tan 3+ tan atan 3= 1,-(1 + tan a)(1 + tan 3) = 2,'tan a+ tan 3+ tan a tan 3= 1 成立，n t a+ 3= 4 得证.已知 ABC的三个内角A、B、C成等差数列，求证：(a + b)1+ (b+ c)1 = 3(a+ b +证明：要证(a+ b) 1 + (b+

14、 c)1 = 3(a+ b+ c) 1, 只需证丄+丄=3一,a+ b b+ c a+ b+ ca+ b+ c a+ b+ cc a即证+= 3，也就是证+= 1.a+ b b+ ca + b b+ c只需证 c(b+ c) + a(a+ b) = (a+ b)(b + c),需证 c2 + a2= ac+ b2,需证 b2= c2 + a2 2ac cos 60°，需证 B= 60 °.A、B、C成等差数列，B = 60°,.'(.a+ b) 1+ (b+ c)1= 3(a + b + c) 1.综合法与分析法的综合应用1"点 设f(x) =

15、ax2 + bx+ c(a丰0)，若函数f(x+ 1)与f(x)的图象关于y轴对称，求证：f x+ ；为偶函数.1证明法一：要证fx+ 2为偶函数，只需证明其图象的对称轴为y轴，即只需证-2a - 2= 0,只需证a = b.由已知，得抛物线f(x+ 1)的对称轴x= 2a 1与抛物线f(x)的对称轴x= 2a关于y轴 对称，b彳b_2 1= 2a .于是得a = b.1f x+2为偶函数.1法二：记 F(x)= f x + 2 ,欲证F(x)为偶函数，只需证 F( x) = F(x),即只需证f x +1 = f x + 2 ,由已知，函数f(x+ 1)与f(x)的图象关于y轴对称，而函数f

16、(x)与f( x)的图象也是关于y轴对称的，'f( x)= f(x+ 1).1 1 1'f x+ 2 = f x 2 = f x2 +11=f x+ 2 ,1f x+2为偶函数.厂| *桂滋i* f一方面从问题的已知条件出发，经逻辑推演导出中途结果，另一方面从问题的结论出发，回溯到中途，即导出同一个中途结果，从而沟通思路使问题得到解决.、电.眼赊训拣a + bb + cc+ a3. (1)若a, b, c是不全相等的正数，求证：lg厂+ 厂+ 厂>lg a+ lg b+ lg c.、a+ bb + c c+ a证明：要证 lg §+ lg 2+ lg 2 >

17、;lg a + lg b + lg c ,只需证lga+ b b+ c c+ a2 2 2a + b b+ cc+ aa + b .>lg(abc)，只需证 一L>abc.因为 一, ab>0,b+ c2> bc>0,c+ a a+ b b + cc+ aa + b b+ c,ca>0,且上述二式中的等号不全成立，所以一匸 >abc.因此lg + lg厂c+ a+ lg_>lg a+ lg b + lg c.(2)在某两个正数x, y之间插入一个数 a，使x, a, y成等差数列，插入两数b, c,使x, b, c, y 成等比数列，求证：(a+

18、 1)2> (b+ 1)(c+1).2a = x+ y,证明：由已知得 b2= cx,c2= by,b2c2* C，y= b， 前b2 c2即 x + y= c + b，b2 c2 从而2a = +匸.c b要证(a + 1)2> (b+ 1)(c+ 1),只需证 a + 1 - (b+ 1)( c+1)成立.(b+ 1) + ( c+ 1)只需证a + 12即可.壬b2 c2也就是证 2a>b+ c.而2a = 一+,c bb2 c2则只需证一+ > b + c成立即可，c b即证 b3+ c3= (b+ c)(b2 bc+ c2) > (b+ c)bc,即证

19、b2+ c2 bc> bc,即证(b c)2> 0成立，上式显然成立，-1规范解答综合法在几何证明中的应用V (本题满分12分)如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD为菱形，OA丄平面ABCD , E为OA的中点，F为BC的中点，(a+ 1)2> (b + 1)(c+ 1).平面BDO丄平面 ACO;(2)EF /平面 OCD.证明因为OA丄平面ABCD ,BD?平面 ABCD，所以 0A丄BD.2分因为底面ABCD是菱形，所以 AC丄BD ,又OA A AC = A，所以BD丄平面ACO.4分又因为BD?平面BDO，所以平面 BDO丄平面ACO.6分(2)取OD的中点M

20、，连接EM , CM ,1贝U ME / AD, ME = 2AD.7 分因为ABCD是菱形，所以 AD / BC, AD = BC,因为F为BC的中点，8分1所以 CF / AD, CF = 2AD,所以 ME / CF, ME = CF ,10 分所以四边形EFCM是平行四边形，所以 EF / MC.又因为EF?平面OCD, MC?平面 OCD.所以EF /平面OCD.12分规范与警示(1) 在 处易忽略“菱形”这一条件的运用导致无法证明面面垂直在处往往不能正确的构造出平行四边形导致无法得到线线平行，最后导致第(2)问结论无法证出.(2) 几何证明的前提是熟练地应用各个判定定理及性质定理，

21、注意各个定理的应用格式，掌握常见的辅助线的作法，寻找好定理所需的条件，如本例中构造平行四边形说明线线平行.同时证明时要注意应用题中的条件，注意隐含条件的挖掘，如果漏掉某一条件或对某一条件挖掘不深则会导致题目无法证明.1 关于综合法和分析法的说法错误的是()A 综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法B 综合法又叫顺推证法或由因导果法C.综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法D 分析法又叫逆推证法或执果索因法解析：选C.由综合法、分析法的定义可知，C错误.2. 在厶 ABC 中，tan A tan B>1，则 ABC 是()A 锐角三角形B 直角三角形C.钝角三角形D 不确定解析：

22、选 A. '-'tan A tan B>1 ,.tan A>0, tan B>0,tan A + tan B :A、B 为锐角，又 tan(A + B) =<0,1 tan Ata n Bnn'A + B>2, C<- , A/ABC是锐角三角形，故选 A.3. 已知函数f(x) = ax2 + bx+ c的图象过点(一1, 3)和(1, 1)，若0<c<1,则实数a的取 值范围是3= a b + c, 解析：将 x= 1, y= 3 和 x= 1, y= 1 代入 y = ax2 + bx+ c 中，得1 = a+ b

23、+ c,'b = 1 , a+ c= 2，又0<c<1 ,.°0<2 a<1, 1<a<2.答案：(1, 2)4. 设 a>0 , b>0,证明.ab.a + br证明：要证一> ,ab,只需证a + b>2 . ab,即证 a+ b 2、; ab0,只需证（.a b）2> 0,a+ b.上式显然成立，故 2.ab成立.训练案仙能提升A.基础达标1 .命题“对于任意角0, cos4 9 Sin4 0 = cos 2 B ”的证明过程为："cos4 0 sin4 0 =（cos2 B sin2 0 ）（

24、cos2 0 + sin2 0 ）= cos2 0 sin20= cos 2 0”，其应用了（）A 分析法B .综合法C.综合法、分析法综合使用D 类比法解析：选B.从证明过程来看，是从已知条件入手，经过推导得出结论，符合综合法的 证明思路.2.欲证2 .3V .67成立，只需证()A . (2引2 V ( 6 7)2B. (2 6)2< ( ,3 . 7)2C. (.2+7)2< ( .6 + .3)2D . (2. 3 . 6)2< ( . 7)2解析：选C.A中，2 3<0, 6 7<0,平方后不等价；B、D与A情况一样；只有C 项，2 -. 3< 6

25、 ,7? ,2 + ,7< ,6+ ,3? ( ,2 + , 7)2<( ,3+ . 6)2.3.函数f（x）=|log3x|在区间a, b上的值域为0, 1，则b a的最小值为（）A. 2 1%解析：B. 121 1 选D.由函数f(x) = |log3x|在区间a, b上的值域为0, 1,则a = 3, 1W bw 3;或？2<a< 1, b= 3,故b a的最小值为3，故选D.4. 已知a, b, c为三条不同的直线， 且a?平面M, b?平面N, MQ N= c.有下列命题： 若a不垂直于c,则a与b 一定不垂直；若 a / b，则必有a/ c;若a丄b, a丄

26、c,则 必有平面 M丄平面N.其中正确的是（）A .B .C.D .x15.已知函数f(x) = 2a,解析：选B.由线线平行、线线垂直的判定和性质，可知只有正确.2abb £(0 ,z), A f+r ,B=f(.ab) ,C=f7+b，则 A,B, C的大小关系为()B. AWCW BD. C W BW A a + b2A . AW BW CC. BW CW A解析：选 A. a>0, b>0,5 1,a+ b皿 w ab. a + b又 f(x)= 2为减函数,.fa+ b22ab w fC.ab) < 右，故选A.6. 在不等边三角形中，a为最大边，要想得到

27、 A为钝角的结论，对三边 a, b, c应满足的条件是a2b2+ c2(填“” “彗”或“w” ).答案：7. 若抛物线y= 4x2上的点P到直线y= 4x 5的距离最短，则点P的坐标为 .解析：设点P在直线y= 4x+ m上，将y= 4x+ m代入y= 4x2,得4* 4x m= 0，令 =0，得 m= 1. 4x2 4x+ 1 = 0,.x= 2, y= 1.1答案：刁1&正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，在正方体的表面上与点 A距离为爭的点集形 成一条曲线，这条曲线的长度为 .解析：这条曲线在面 ADD 1A1上的一段是以 A为圆心，¥为半径，2为圆心角的一

28、段36圆弧，在面A1B1C1D1上的一段是以A1为圆心，f为半径，亍为圆心角的一段圆弧，由正方 体的对称性知，这条曲线的长度为：3(6+ 2 j3)=答案：豊3 n6n9. A ABC的三边a, b, c的倒数成等差数列，求证：B.2 11证明：由条件得7= - + -，b a c'2c即b =.a+ c又 T cos B=a2+ c2 b2ac ，'cos B =a2 + c2 2ac 2a+ c2ac(a2+ c2)( a + c) 2 4a2c22ac (a + c)''a, b, c均为正数，'a2+ c2> 2ac,(a+ c)2>

29、 4ac,(a2 + J)(a+ c)2 4a2c2> 2ac 4ac 4a2c2=4a2c2>0,n即 cos B>0，又'0<B< n,J3<.1 110. 已知 x>0, y>0,求证：(x2+ y2)2>(x3+ y3)3.1 1证明：要证明(x2+ y2)2>(x3+ y3)3,只需证(x2+ y2)3>(x3 + y3)2,即证 x6 + 3x4y2 + 3x2y4 + y6>x6 + 2x3y3 + y6,即证 3x4y2 + 3x2y4>2x3y3.'x>0, y>0,.x

30、2y2>0，即证 3x2 + 3y2>2xy,3/+ 3y2>x2 + y2> 2xy,Sx2+ 3y2>2xy 成立，1 1故(x2+ y2)2>(x3 + y3)3.B.能力提升1. 若 2m + 4n<2 2，则点(m，n)必在()A .直线x+ y= 1的右上方B .直线x+ y= 1的左下方C.直线x+ 2y= 1的右上方D .直线x+ 2y = 1的左下方解析：选 D.由均值不等式得 2m + 4n>2 2m4n= 2 2叫2n, A2' 2m + 2n<2 . 2,5+ 2n<1 , 故选D.2. 过x2 + y

31、2= 10x内一点(5, 3)有n条弦，它们的长度构成等差数列，最小弦长为数列1 1 一首项a1，最大弦长为数列的末项an，若公差d 3,-，则n的取值范围是()A . 4B. 5 , 7C. (7，+m )D . (0 ,+ )解析：选B.A(5, 3),圆心0(5, 0)，最短弦为垂直 OA的弦， a1= 8，最长弦为直径,、 2 1 2 1 an= 10,公差 d=,w y,.5w nW 7.n 13 n 123. 函数y= a1 x(a>0且a* 1)的图象恒过定点 A,若点A在直线mx+ ny 1 = 0(m n>0)1 1上，则一+ -的最小值为m n解析：由函数y=

32、a1 x(a>0且a* 1)恒过定点 A(1, 1),点A在直线mx+ ny 1 = 0上，5 + n 1 = 0,即 m+ n = 1.又 m n>0,-m>0, n>0.m+n = m+冷+n=2+m +m2+黑=2+2=4当且仅当m= n=如取等号).答案：44. 设a>b>0, m>0,用分析法证明b<b+m成立的充分条件是 .a a + m解析：/ a>b>0, m>0.b b + m要证a< 成立,a a + mbb + m只需证一 a(a+ m)<a(a + m)成立即可.aa + m即证 ab+ bm

33、<ab+ am 成立,只需证 bm<am 成立，即证(b a)m<0成立即可,由已知可知上式显然成立.OA、OB,求证:答案：(b a)m<05. 如图所示，过抛物线y2= 2px(p>0)的顶点任作两条互相垂直的弦AB过x轴上的一个定点.证明：设 A(X1, yi), B(x2, y2),OA 丄 OB,yiy2X1X2=1,y2y2= xix2,'yi = 2pxi, y2= 2px2, ，4p2xiX2=(X1X2)2 ,.X1X2= 4p2.设直线AB与x轴的交点为M(m,0)，设直线 AB的方程为y yi = k(x xi)(k 0)，且k存在.yi令 y = o,得 X= ； + xi ,由yi= 2pxi, y2= 2px2，两式相减，得y2 yi= 2p(x2 xi),y2 yik=X2 Xi2py2+ yiyi yi (yi + y2) X + Xi+ X