高中数学知识点精讲——极限和导数

1、第十二章极限和导数类似地lim f (x)表示x小x0-第十四章极限与导数基本导裁公式1cy = o2(xny = nxnl3(sin= COST4(cos= sinT5f12(tanx) = = sec xcos*工6= . ,= _ CSC2TSill T7(sec j) = seca?tan t8(CSCT)J = CSC xcotx9(h 4)f = 210tt(cxy =12(b)'= FlnaS中起 >0严尹 113(arcsinx)1vl k14yjr15(arcUnx) -1 + x21b的I*护一、基础知识1 .极限定义：(1)若数列Un满足，对任意给定的正数

2、£，总存在正数 m,当n>m且n N时，恒有|u n-A|< £成立(A为常数)，则称A为数列Un当n趋向于无穷大时的极限,记为帆心収")，另外lim f (x) =A表示x大于xo且趋向于xo时f(x)极限为A,称右极限。 Xq+于 X0且趋向于 X0时f(x)的左极限。2极限的四则运算：如果lim f(x)=a,lim g(x)=b ,那么 lim f(x)± g(x)=a± b,X >XdX/x。X_；xlim f(x) ?g(x)=ab,limf(x)a(b = 0).Xfg(x)b3. 连续：如果函数f(x)在x=x

3、o处有定义，且lim f(x)存在，并且lim f(x)=f(xo)，则称f(x)在x=xoXlx处连续。4. 最大值最小值定理：如果f(x)是闭区间a,b上的连续函数，那么f(x)在a,b上有最大值和最小值。5. 导数：若函数f(x)在x0附近有定义，当自变量 x在xo处取得一个增量 x时(4 x充分小)，因 变量y也随之取得增量 y( y=f(x o+A x)-f(x o).若lim -存在，则称f(x)在x。处可导，此极限lAx值称为f(x)在点xo处的导数(或变化率)，记作f' (xo)或y' X = X。或dy ,即 dXx。f'(x0) =lim f(x)

4、- f(x°)。由定义知f(x)在点xo连续是f(x)在xo可导的必要条件。若 f(x)在 xFX_Xo区间I上有定义，且在每一点可导，则称它在此敬意上可导。导数的几何意义是：f(x)在点xo处导数f'(xo)等于曲线y=f(x)在点P(xo,f(x o)处切线的斜率。6 几个常用函数的导数： (1) (c)'=0 (c为常数)；(2) (xa)' = axa，( a为任意常数)；(3)XXXX1(sin x)'= cosx; (4) (cosx)'=sin x ;(5) (ax)' = ax|n a ；(6) (ex)' =

5、ex； (7) (log a x)' log a x ；x1(8) (ln x)'x7 .导数的运算法则：若u(x),v(x) 在x处可导，且u(x)丰0,则(1) u(x)二 v(x)' = u'(x)二 v'(x) ； (2) u(x)v(x)' = u'(x)v(x)u(x)v'(x) ； (3) cu(x)' = c u'(x)(c 为常数)；(4)丄、严；(5)回u(x)v'(x)2-u'(x)v(x)。u(x) u2(x)u(x)u2(x)&复合函数求导法： 设函数y=f(u),

6、u=: (x)，已知:(x)在x处可导，f(u)在对应的点u(u= (x)处可导，则复合函数y=f(x)在点X处可导，且(f : (X) )'= f'L (x)b '(x).9. 导数与函数的性质：(1)若f(x)在区间I上可导，则f(x)在I上连续；(2)若对一切x (a,b) 有 f'(x) .0,则 f(x)在(a,b)单调递增；(3 )若对一切 x (a,b)有 f'(x) : 0 ,则 f(x)在(a,b)单 调递减。10. 极值的必要条件：若函数 f(x)在X0处可导，且在X0处取得极值，则 f'(xo)=o.11. 极值的第一充分条

7、件：设f(x)在X0处连续，在Xo邻域(Xo- S ,X o+ S )内可导，(1)若当X (XS ,x 0)时 f '(X)一 0 ,当 x (x o,x 0+ S )时 f '(X)一 0 ,贝y f(x)在 X0处取得极小值；(2)若当 x (x o-S , xo)时f' (x)亠0，当x (x 0,X o+ S )时f '(x)虫0，贝y f(x)在xo处取得极大值。12. 极值的第二充分条件：设 f(x)在X0的某领域(xo- S ,X o+ S )内一阶可导，在X=X0处二阶可导，且 f'(Xo) =0, f''(Xo) =

8、0。(1 )若 f''(Xo) 0，则 f(x)在 xo 处取得极小值；(2)若 f''(Xo) ： 0 ,则f(x)在Xo处取得极大值。13. 罗尔中值定理：若函数f(x)在a,b上连续，在(a,b)上可导，且f(a)=f(b)，则存在E (a,b), 使 f'( ) =0.证明 若当 x (a,b) , f(x)三f(a)，则对任意 x (a,b) ,f'(x)=0.若当 x (a,b)时，f(x)工3f(a)，因为f(x)在a,b上连续，所以f(x)在a,b上有最大值和最小值，必有一个不等于f(a),不妨设最大值 m>f(a)且f(c

9、)=m，则c (a,b)，且f(c)为最大值，故f'(c)二0 ,综上得证。14 . Lagrange中值 定理：若f(x)在a,b上连续，在(a,b)上可导，则存在E (a,b),使f' (©_ f (b) _ f (a)b a证明令 F(x)=f(x)- f (b) 一 f (a) (x _a),则 F(x)在a,b上连续，在(a,b)上可导，且 F(a)=F(b), b a所以由13知存在E (a,b)使F')=0,艮卩f'()二f (b八f(a).b -a15曲线凸性的充分条件：设函数f(x)在开区间I内具有二阶导数，(1)如果对任意x I,

10、f''(x) . 0, 则曲线y=f(x)在I内是下凸的；(2)如果对任意x I, f''(x) : 0 ,则y=f(x)在I内是上凸的。通 常称上凸函数为凸函数，下凸函数为凹函数。16 .琴生不等式：设a 1, a 2,a n R, a 1+ a 2+ a n=1。( 1)若f(x)是a,b上的凸函数，贝UX1,x 2,x n a,b 有 f(a 1X1+82X2+anXn) < af(x 1)+a 2f(x 2)+ +anf(x n).、极限1、数列极限：11 s 恥(1)公式：lim C 二 C (C 为常数)；lim p = 0 (p>0);

11、 m 1 qn 1q =npn_aci不存在 1 q >或q = -(2)运算法则:若数列 曲和 江？的极限都存在，则和bn?的和、差、积、商的极限等于 CaJ和的极限的和、差、积、商例题：将直线 h : x y -1 =0、l2: nx y -n = 0、l3: x ny -n = 0 ( n N , n _ 2 )围成的三角形面积记为Sn，则 nim：S 二 已知p和q是两个不相等的正整数，且1 1I1蔦，-1则lim丄宀 11 -n1415习题：Hm込9二F n(2n +1)设0<a<b，则4bnlim nn、：an -bn1# 若 lim (1_a)n =2，贝U a

12、 =卄：n a1 lim1等于n ：2n(、n2 1 - . n2 -1)f 11 数列22 '的前n项和为Sn,则lim Sn =.j4n2 _1 Jfa 已知数列laj的首项ai = 0，其前n项的和为 & ,且Sn 1二2Sn ai，则lim n函数极限(1)公式:lim C = Cx_ 0(C为常数)a <1lim ax =和不存在1xim"(P>0);lim a* = <1不存在a 1a = 1a c1 或a=16#(2)运算法则:f (x)和若函数f (x)和g (x)的极限都存在，贝U函数f(X)和g (x)的和、差、积、商的极限等于g

13、 (x)的极限的和、差、积、商x 141习题： lim =; lim( )=.I x2+3x-4“2 4-x2 2+x2 2 已知 Hmax-rx.7 , lim 匚=5，且 b-0,则 lim 巴 bx cbx +c °cx + a°cx +ax + bsin x 2 lim( 2 tan x) =.x2 cos x3、函数的连续性：函数f (x)在X = X。处连续的充要条件是lim f(X)二f化).xd习题：已知函数f(x)二2x 3la(X")在x=0处连续，则a二 )#2x + 3 x 式 1已知f(x2 , x=1 ，下面结论正确的是(A ) f (

14、X)在X= 1处连续(B) f (1)= 57(C) lim f(x)=2(D) lim f(x)=2x_I x y 若lim(旦一丄p) =1，则常数a,b的值分别为I 1 _x 1 -x三、导数1、导数的概念：(1) 导数的定义：函数y = f (x)在x= x0处的导数 口灯=1叫.(2) 导数的几何意义：曲线y=f(x)上点(xfd。)处的切线的斜率为f/(xo).因此曲线y = f(x)在点(Xo,f(x。)处的切线方程为 y - f (x。)= f/(x°)(x-X。).(3) 导数的物理意义：若质点运动的位移函数为 S=s(t),则t = t0时质点运动的瞬时速度是 s

15、'(t0).例题：若啊心 ；学f(xo) =1，则f '(xo)等于.1 1 若曲线y 在点(a, a勺处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18,则a= 如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为 S t S 0=0，则导函数t的图像大致为> *4匸1- I丿1.11Jr'ai.4J(TTfdf；丸氐QD.1 3已知曲线f (x)x3433(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程;(2)求曲线过点P(2, 4)的切线方程8# 求抛物线y - -x2上的点到直线4x 3y -8 = 0距离的最小值. 习题：若

16、讥f(xo - x) 一 "Xo)才，则f '(x0)等于一t 一12运动曲线方程为S 2 2t，则t=3时的速度是2、导数的运算：(1)常见函数的导数：C'=0 ； (xn)= nxnJL ； (si nx=cosx; (cosx)，- -si nx.11(In x)' (loga x)' loga e ；xx(2)导数的四则运算法则：/ xxxx(e ) e ; (a ) a ln a IIIu(x)±v(x) =u(x)±v(x);u(x)v(x)社u'(x)v(x) u(x)v'(x).C u(x) =C u

17、'(x);u(x) _ u'(x)v(x) -u(x)v'(x)(3)复合函数的求导法则：然后将已知函数对中间变量求导v (x)(v(x)= 0).首先，选定中间变量，分解复合关系，说明函数关系y=f(m), p=f(x);(y',中间变量对自变量求导(x);最后求y'“'x ,并将中间变量代回为自变量的函数习题：若f (x)=等比数列玄f中，6=2， a8 = 4，求下列函数的导数： (1)y"n 阿(x> 1)、导数的应用：ax4 +bx2 + c满足厂(1) = 2，则 f 1-1) =f x =x(x-3)(x-a2)HI

18、(x-a8)，则 f 0 二4_ x(2) y=ln.Jx2 +1(1)求函数的单调性： 用导数求函数单调区间的一般步骤为：求f (x) ； f (x)>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；f (x)<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间例题： 函数f(x) =x2e»的单调递增区间为k 2 已知函数f (x)二ln(1 x)x x (k _ 0)，求f ( x)的单调区间.211 若函数 f (x)x3ax2 (a-1)x + 1在区间(1 , 4)内为减函数，在区间(6, +8)上32为增函数，试求实数a的取值范围.已知函数f (x) =3ax4 -2(3a

19、 1)x2 4x在-1,1上是增函数，求 a的取值范围32习题： 函数f (x) =x -15x -33x 6的单调减区间为 若f(x)二ax3 x恰有三个单调区间，则a的取值范围是 . 已知a>0,函数f (x) =x3- ax在1, +8)上是单调增函数，则a的最大值是 .1 3 1 2 求函数f (x) x (1 a)x ax b (a, b R )的单调性.32 是否存在这样的k值，使函数f (x)二k2x4xkx2 2x 1在(1,2)上递减，在(2,32+ 8)上递增(2)求函数的极值： 求导数f(X);求方程f (x)=0的根;用函数的导数为 0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f (x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x)在这个根处取