高三一轮复习教案30_直线、平面平行的判定与性质

1、直线、平面平行的判定与性质【2014高考会这样考】1考查空间平行关系的判定及性质有关命题的判定；2解答题中证明或探索空间的平行关系.【复习备考要这样做】1熟练掌握线面平行、面面平行的判定定理和性质，会把空间问题转化 为平面问题，解答过程的叙述步骤要完整，避免因条件书写不全而失分；2学会应用“化归思想”进行“线线问题、线面问题、面面问题”的互相转化，牢记解决问题的根源在“定理”.知识点梳理1 .直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形arjVZ /L A条件a A a= ?a? a, b? a, a / ba / aa / a, a?aA 3=b结论a /ab / aa A a= ?a /

2、 b2.面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形£7条件a A B= ?a? 3 , b? 3 , a A b=P , a / a, b / aall 3, aA y= a ,3A y= ba / 3, a? 3结论a / 3a/ 3a / ba / a难点正本疑点清源1 .证明线面平行是高考中常见的问题，常用的方法就是证明这条线与平面内的某条直线平行但一定要说明一条直线在平面外，一条直线在平面内.2 .在判定和证明直线与平面的位置关系时，除熟练运用判定定理和性质定理外，切不可丢弃定义，因为定义既可作判定定理使用，亦可作性质定理使用.3 辅助线（面）是解（证）线面平行的关键为了能利用

3、线面平行的判定定理及性质定理，往往需要作辅助线 （面 ）基础自测1. 已知不重合的直线 a, b和平面a,若a/ab? a贝a/b；若a/ab/ a贝a/b；若a/bb? a贝a/a；若a/ba/ a贝b/a 或 b? a.上面命题中正确的是（填序号 ）答案 解析 若a / a, b? a,贝U a , b平行或异面；若a/ a, b/ a,贝U a , b平行、相交、 异面都有可能； 若a / b , b? a,则a / a或a? a2. 已知a、B是不同的两个平面，直线 a? a ,直线b? 3,命题p： a与b没有公共点；命题q： a/3 ,贝U P是q的条件.答案 必要不充分解析 a与

4、b没有公共点，不能推出a/ 3而a/3时，a与b 一定没有公共点，即pD? /q , q? p，二p是q的必要不充分条件.3. 已知平面a/平面3直线a? a,有下列命题：a与3内的所有直线平行；a与3内无数条直线平行；a与3内的任意一条直线都不垂直.其中真命题的序号是 .答案 解析 因为 a/3 a? a 所以 a/ 3 在平面 3内存在无数条直线与直线 a 平行 但不 是所有直线都与直线 a平行，故命题 为真命题,命题 为假命题.在平面 3内存在无 数条直线与直线 a 垂直 故命题 为假命题.4. （2011浙江）若直线I不平行于平面 a,且l?a,则（）A . a内的所有直线与I异面B

5、. a内不存在与I平行的直线C. a内存在唯一的直线与I平行D . a内的直线与I都相交答案 B解析 由题意知，直线I与平面a相交，则直线I与平面a内的直线只有相交和异面两 种位置关系，因而只有选项B是正确的.5. （2012四川）下列命题正确的是（）A 若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C .若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D .若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行答案 C解析利用线面位置关系的判定和性质解答.A错误，如圆锥的任意两条母线与底面所成的角相等，但两条母线相交

6、；B错误， ABC的三个顶点中，A、B在a的同侧，而点C在a的另一侧，且 AB平行于 a,此时可有A、B、C三点到平面a的距离相等，但两平面相交；D错误，如教室中两个相邻墙面都与地面垂直，但这两个面相交，故选C.题型分类题型一直线与平面平行的判定与性质例 1】 正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于 AB，在AE、BD上各有一点P、Q,且AP = DQ.求证：PQ/ 平面 BCE.思维启迪：证明直线与平面平行可以利用直线与平面平行的判定定理，也可利用面面平行的性质.证明方法一如图所示.作 PM / AB 交 BE 于 M , 作QN / AB交BC于N , 连接MN.正方形 ABCD和正

7、方形 ABEF有公共边 AB, / AE= BD.又 AP= DQ , PE = QB ,又 PM / AB / QN ,.PM_ PE_ QB _ QN'AB = AE= BD = DC， PM _ QN'AB = DC， PM綊QN,即四边形PMNQ为平行四边形, PQ / MN .又MN?平面BCE, PQ?平面BCE, PQ / 平面 BCE.方法二 如图，连接AQ,并延长交BC延长线于/ AE = BD ,AP= DQ , PE = BQ , apDQPEBQ ,又 AD / BK , DQAQBQQK, AP AQ PE = QK , PQ /EK.又PQ?平面BC

8、E，EK?平面BCE, PQ / 平面 BCE.方法三 如图，在平面 ABEF内，过点P作连接QM. PM / 平面 BCE,又/平面ABEF n平面BCE = BE, PM / BE, AP AM PE = MB,又 AE= BD ,AP= DQ , PE = BQ , AP DQ PE = BQ,AM DQ MB = QB, MQ / AD,又 AD / BC, MQ / BC, MQ / 平面 BCE,又 PM n MQ = M, BEn BC = B,平面PMQ /平面BCE，又 PQ?平面PMQ . PQ / 平面 BCE.探究提高判断或证明线面平行的常用方法：（1）利用线面平行的定

9、义（无公共点）；（2）利7 / 16用线面平行的判定定理(a? a b? a a/ b? a / a; (3)利用面面平行的性质定理(a匕a? a? a/ 3； (4)利用面面平行的性质 (all 3, a?3, a / a? a /变止川堀1如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD是菱形， / BAD = 60° AB= 2, PA = 1 , RA丄平面 ABCD , E 是 PC 的中点, F是AB的中点.求证：BE /平面PDF.证明 取PD中点为M，连接ME , MF , E是PC的中点, ME是厶PCD的中位线,1 ME 綊2CD./ F是AB的中点且四边形 ABC

10、D是菱形，AB綊CD , ME綊FB, 四边形MEBF是平行四边形， BE/ MF./ BE?平面 PDF , MF?平面 PDF , BE /平面 PDF.题型二平面与平面平行的判定与性质 【例2】 如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，E, F , G , H分别是AB , AC ,A1B1 , A1C1的中点，求证：(1) B, C, H , G四点共面；(2) 平面 EFA1 / 平面 BCHG .思维启迪：要证四点共面，只需证 GH / BC;要证面面平行，可证一个Pc.C平面内的两条相交直线和另一个平面平行.证明 (1) / GH是厶A1B1C1的中位线， GH / B1C1.又

11、B1C1 / BC , GH / BC, B, C, H , G四点共面.(2) / E、F 分别为 AB、AC 的中点， EF / BC,/ EF?平面 BCHG , BC?平面 BCHG , EF / 平面 BCHG .T A1G 綊 EB,T AiE?平面 BCHG , GB?平面 BCHG.二 AiE/ 平面 BCHG.T AiEA EF = E, 平面 EFAi /平面 BCHG.探究提高 证明面面平行的方法：(1) 面面平行的定义；(2) 面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这 两个平面平行；(3) 利用垂直于同一条直线的两个平面平行；(4) 两

12、个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5) 利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化.&式*疥, 证明：若一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线平行于两个平面的 交线.解 已知：直线a /平面 a直线a /平面3, aA 3= b.求证：a / b.证明：如图所示，过直线 a作平面y 3分别交平面a, 3于直线m, n(m, n不同于交线b)，由直线与平面平行的性质定理，得a / m, a / n,由平行线的传递性，得 m/ n,由于n? a, m? a,故n/平面a.又n? 3, aA 3= b,故 n/ b.又 a/ n ,故 a/ b.题型三平行关系的

13、综合应用【例3】如图所示，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱 AB和CD ,试问截面在什么位置时其截面面积最大？思维启迪：利用线面平行的性质可以得到线线平行，可以先确定截面形状，再建立目标函数求最值.解 TAB /平面 EFGH ,平面EFGH与平面 ABC和平面 ABD分别交于 FG、EH. AB / FG , AB / EH ,FG / EH,同理可证 EF / GH ,截面EFGH是平行四边形.9 / 16设AB= a, CD = b, / FGH = a（a即为异面直线 AB和CD所成的角或其补角）.又设FG = x, GH = y,则由平面几何知识可得G Lc B=X - _

14、y- bBGBC，两式相加得x+b= i, a bby=a(a x),S?efgh = FG GH sin ab=x 孑(a x) sin a=bsin ax(a x)./ x>0, a x>0 且 x+ (ax) = a 为定值,当且仅当x= a x时,bsin a亍 x(a x)=absin a4，此时即当截面EFGH的顶点E、F、G、H为棱AD、AC、BC、BD的中点时截面面积最大.探究提高 利用线面平行的性质， 可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中,常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决.变戈训练工 如图，在正方体ABCD AiBiCiDi中，0为

15、底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设 Q是CC1上的点，问：当点 Q在什么位置时，平面 D1BQ/平面PAO?解 当Q为CC1的中点时，平面 D1BQ /平面PAO.证明如下： Q为CC1的中点，P为DD1的中点， QB / PA. P、O 分别为 DD1、DB 的中点， D1B / PO.又 D1 B?平面 PAO , PO?平面 PAO,QB?平面 FAO, PA?平面 FAO,- D1B /平面 FAO, QB /平面 FAO,又 D1B n QB= B, D1B、QB?平面 D1BQ,平面D1BQ /平面FAO.典例：（12分）如图所示，在正方体 中占I 八、立体几何中的探索性问题

16、ABCD A1 B1C1D1 中，E 是棱 DD 1 的B11 / 16# / 16/ EBM为BE和图(b)(1)求直线BE和平面ABBiAi所成的角的正弦值；在棱CiDi上是否存在一点 F，使BiF /平面AiBE?证明你的结论.审题视角(i)可过E作平面ABBiAi的垂线、作线面角；(2)先探求出点F，再进行证明BiF /平面AiBE.注意解题的方向性.规范解答解 如图所示，取AAi的中点M，连接EM , BM.因为E是DD i的中点，四边形 ADDiAi为正方形，所以 EM / AD.2分又在正方体 ABCD AiBiCiDi中，AD丄平面ABBiAi,所以EM丄平面ABBiAi,从而

17、BM为直线BE在平面ABBiAi上的射影,平面ABBiAi所成的角.4分图(a)设正方体的棱长为 2,则 EM = AD = 2, BE=22 + 22 + i2 = 3.EM 2 八于是，在 Rt BEM 中，sin/ EBM =-, 5 分BE 32即直线BE和平面ABBiAi所成的角的正弦值为 §.6分在棱CiDi上存在点F，使BiF /平面AiBE.事实上，如图(b)所示，分别取 CiDi和CD的中点F, G,连接BiF,EG, BG, CDi, FG.因AiDi/ BiCi / BC,且AiDi = BC,所以四边形 Ai BCD i是平行四边形，因此 DiC / AiB.

18、又E, G分别为DiD, CD的中点，所以 EG/ DiC，从而 EG / AiB.这说明Ai, B, G, E四点共面.所以 BG?平面AiBE.8分因四边形CiCDD i与BiBCCi皆为正方形，F, G分别为CiDi和CD的中点,所以 FG / CiC / BiB,且 FG = CiC = BiB,所以 BiF / BG, 10 分而 BiF?平面 AiBE, BG?平面 AiBE,故 BiF / 平面 AiBE.12 分答题模板对于探索类问题，书写步骤的格式有两种：一种：第一步：探求出点的位置.第二步：证明符合要求.第三步：给出明确答案.第四步：反思回顾查看关键点，易错点和答题规范.另

19、一种：从结论出发，“要使什么成立”，“只需使什么成立”，寻求使结论成立的充分条件，类似于分析法.温馨提醒 （i）本题属立体几何中的综合题，重点考查推理能力和计算能力.第问常见错误是无法作出平面 ABBiAi的垂线，以致无法确定线面角.（3）第（2）问为探索性问题， 找不到解决问题的切入口，入手较难.（4）书写格式混乱，不条理，思路不清晰.思想方法感悟提高方法与技巧1 平行问题的转化关系世歳集专看践卅面，冷面才面谨航f2 直线与平面平行的主要判定方法（i）定义法；（2）判定定理；（3）面与面平行的性质.3.平面与平面平行的主要判定方法（i）定义法；（2）判定定理；（3）推论；（4）a丄a，a丄价

20、a/ 3-失误与防范i. 在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.2 .在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”.解题中注意符号语言的规范应用.13 / 16练出高分A组专项基础训练（时间：35分钟，满分：57分）一、选择题（每小题5分，共20分）1. 若直线m?平面a,则条件甲：“直线I / a”是条件乙：“ I/ m”的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分

21、也不必要条件答案 D2. 已知直线a, b, c及平面a, 3,下列条件中，能使 a/ b成立的是（）A . a / a, b? aB . a / a, b / aC. a / c, b/ cD . a/ a, aA 3= b答案 C解析 由平行公理知 C正确，A中a与b可能异面.B中a, b可能相交或异面，D中a,b可能异面.3. 在梯形ABCD中，AB / CD , AB?平面a, CD?平面a,则直线CD与平面a内的直线的位置关系只能是（）A .平行B .平行和异面C .平行和相交D .异面和相交答案 BAB / CD、解析/ AB? a ? CD / a,CD?a CD和平面a内的直线

22、没有公共点.4.设 m、n 表:示/不同直线，a、3表示不冋平面，则下列结论中正确的是A .若m /a,m /n,则n/aB .若m?a,n?3, m /3,n / a,贝9 a/ 3C .若all3,m /a , m /n ,则 n/3D .若all3,m /a, n /m ,n? 3 贝U n /3答案D解析D 中,易知m /3或m? 3,若 m? B,又 n / m, n? 3, / n / 3,若m / 3过m作平面 丫交平面3于直线p,则m / p,又n / m,. n / p，又n?3, p? 3/ n /3二、填空题（每小题5分，共15分）5. 过三棱柱ABC AiBiCi的任意

23、两条棱的中点作直线，其中与平面ABBiAi平行的直线共有条.答案 6解析 过三棱柱ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线，记AC, BC, A1C1, B1C1的中点分别为 E, F, E1, F1,则直线 EF, E1F1, EE1, FF1, E1F, EF1 均与平面 ABB1A1平行，故符合题意的直线共 6条.6. 如图所示，ABCD A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下 底面的棱 A1B1、B1C1的中点，P是上底面的棱 AD上的一点，AP = 3 过P、M、N的平面交上底面于 PQ, Q在CD上，贝U PQ =.答案232a解析 I平面ABCD /平面A1B1C1

24、D1, MN / PQ.t M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中点，AP =号,a2a _2 2CQ = 3，从而 DP = DQ = 3, - PQ = a.7. 如图所示，在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是 棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则 M满足条件 时，有MN /平面 B1BDD1.答案 M 线段HFD Q C解析 由题意，得HN /面B1BDD1, FH /面B1BDD1./ HN n FH = H , 面 NHF / 面 B1BDD1.当M在线段HF上运动时，有 MN /面B1BDD1.三、

25、解答题洪22分）8. （10分）如图，四边形 ABCD是平行四边形，点 P是平面ABCD外一点，MBM是PC的中点，在 DM上取一点 G,过G和AP作平面，交平面 BDM于GH.求证：PA / GH.证明如图，连接AC交BD于点0,连接M0 ,四边形ABCD是平行四边形， 0是AC的中点，又M是PC的中点， AP / 0M .则有FA/平面BMD .平面FAHG门平面BMD = GH , FA / GH .9. (12分)如图，已知平行四边形 ABCD中，BC= 6,正方形ADEF所在 平面与平面 ABCD垂直，G , H分别是DF , BE的中点.(1) 求证：GH /平面CDE ;(2)

26、若CD = 2, DB = 4.2，求四棱锥 FABCD的体积.(1)证明 方法一 / EF / AD , AD / BC, EF / BC.又EF = AD = BC, 四边形EFBC是平行四边形, H为FC的中点.又 G是FD的中点， HG / CD./ HG?平面 CDE , CD?平面 CDE, GH / 平面 CDE.方法二 连接EA, / ADEF是正方形， G是AE的中点.EAB 中，GH / AB.又 AB/ CD , GH / CD./ HG?平面 CDE , CD?平面 CDE, GH / 平面 CDE.解 /平面 ADEF丄平面ABCD，交线为 AD , 且FA丄AD ,

27、 FA丄平面ABCD.AD = BC = 6, FA = AD = 6.又 CD = 2, DB = 4 2, CD2+ DB2= BC2, / BD 丄CD.T S?abcd = CD BD = 8 2,1 1-VF ABCD = §S?ABCD FA =&："2 X 6= 16計2B组专项能力提升（时间：25分钟，满分：43分）一、选择题（每小题5分，共15分）1.设m, n是平面a内的两条不同直线；11，12是平面B内的两条相交直线，则all 3的一个充分而不必要条件是（）A . ml 3 且 111 aB . m l “ 且 n/ I2C. m / 3且 n

28、 /3D. m / 3且 n/ I2答案 B解析 对于选项A，不合题意；对于选项 B,由于11与12是相交直线，而且由I, m可得 J a,同理可得12/ a,故可得all 3,充分性成立，而由all 3不一定能得到h l m,它们也可以异面，故必要性不成立，故选B;对于选项 C,由于m, n不一定相交，故是必要非充分条件；对于选项D，由于n / 12可转化为n/ 3,同选项C,故不符合题意.综上选B.2 .下面四个正方体图形中，A, B为正方体的两个顶点， M , N, P分别为其所在棱的中点,能得出AB/平面MNP的图形是A .答案 ANB .C.D .19 / 1621 / 16解析 由线面平行的判定定理知图 可得出AB/平面MNP.# / 163.给出下列关于互不相同的直线I、m、n和平面a伙丫的三个命题: 若I与m为异面直线，I? a, m? 3,则a/ 3； 若 a/ 3 I? a m? 3 贝U I / m； 若 ad 3= I,盯尸 m,沪 a= n ,1 / y 贝V m / n.其中真命题的个数为A. 3B. 2C. 1D. 0答案 C解析 中当a与3不平行时，也能存在符合题意的I、m.中I与m也可能异面.I 丫中 3? I / m,同理I / n ,则m / n ,正确.3d = m、填空