1314年初三寒假讲义修改

1、目录CONTENTS第一节三角形基础复习第二节全等三角形第三节三角形相似的复习第四节三角形综合复习第五节四边形的复习第六节图形全等的综合第七节图形相似的综合第八节圆及有关概念第九节垂径定理计算、直径所对圆周角特征第十节与圆有关的位置第十一节 圆的计算第十二节 图形的综合与总复习第一节 三角形基础复习【本节进步目标】对三角形的概念、分类达到【识记】级别对三角形三边、三角定理达到【初级理解】级别对等腰、直角、等边三角形达到【高级理解】级别对全等三角形达到【高级运用】级别第一关三角形的概念、分类【识记】1.三角形概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形2.三角形分类：按边

2、分类：ì等边三角形ìï等腰三角形í三角形ïî只有两边相等的等腰三角形不等腰三角形íïïî按角分类：ìï直角三角形三角形ïíïïîì锐角三角形斜三角形íî钝角三角形 第二关三角形三边、三角定理 【初级理解】过关指南：1.三角形三边：在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。2.三角形三角定理：三角形内角和为 180 度。目标题目示例：1.如果三角形的两边长分别为 3 和 5,则

3、周长 L 的取值范围是()A.6<L<15B.6<L<16C.11<L<13D.10<L<162.三角形的三个内角之比为 135，那么这个三角形的最大内角为；过关练习：1.如图，P 是ABC 内一点,说明 PA+PB+PC> 1 (AB+BC+AC).2APBC2.如图，C 岛在 A 岛的北偏东 50°方向，B 岛在 A 岛的北偏东 80°方向，C 岛在 B 岛的北偏西 40°方向。从 C 岛看 A、B 两岛的视角ACB 是多少度？过关试题:1.如图（1）， DABC 中，AD 是角平分线， AE BC 于点

4、E。（1）若ÐC = 80°, ÐB = 50°, 求ÐDAE的度数（2） 若ÐC > ÐB，试说明ÐDAE = 1（ÐC - ÐB）2（3） 如图（2）若将点A在AD上移动到A 处，A E BC于点E。此时ÐDAE变成ÐDA E，（2）中的结论还正确吗？为什么？第三关等腰、直角、等边三角形【高级理解】过关指南：ìì性质ì等边对等角ïïíî三线合一ï腰与底边不等的等腰三角形ï

5、37;ïì等角对等边ï判定íïï1. 等腰三角形íïïî定义îì性质ì三边相等ïíïî三角相等ï等边三角形ïíïïì有一个角等于60°的等腰ï判定íïî三边都相等（或三角都相等）的三角形ïîîì三边- -勾股定理 - -应用2. 直角三角形ï直角三角形的性质- -应用&

6、#237;ï直角三角形的判定- -应用î3. 等边三角形三条边都相等，三个角都相等且都为 60 度。等腰三角形目标题目示例：1.在ABC 中，AB=AC，1= 1 ABC，2= 1 ACB，BD 与 CE 相交于点 O，如图，2BOC 的大小与A 的大小有什么2？（1）若1= 1 ABC，2= 1 ACB，则BOC 与A 大小如何？33（2）若1= 1 ABC，2= 1 ACB，则BOC 与A 大小如何？nn2.如图，等腰三角形 ABC 中，AB=AC，一腰上的中线 BD 将这个等腰三角形周长分成 15 和6 两部分，求这个三角形的腰长及底边长3.如图，P 是等边三角形 A

7、BC 内的一点，连结 PA、PB、PC， 以 BP 为BQ=BP，连结 CQPBQ=60°，且（1）观察并猜想 AP 与 CQ 之间的大小，并证明你的结论（2）若 PA：PB：PC=3：4：5，连结 PQ，试PQC 的形状，并说明理由过关练习：1.如图 9 所示，ABC 是等腰直角三角形，ACB90°，AD 是 BC 边上的中线，过 C 作 AD的垂线，交 AB 于点E，交 AD 于点 F，求证：ADCBDE2.已知1=2，CD=DE，EF/AB，求证：EF=AC直角三角形目标题目示例：1.如图，有两个长度相同的滑梯（即 BC=EF），左边滑梯的高度 AC 与右边滑梯水平方

8、向的长度 DF 相等，则ABC+DFE=2.若直角三角形的三边长分别为 2，4，x，则 x 的可能值有()(A)1 个(B)2 个(C)3 个(D)4 个3.中民道路交通管理条例规定：“小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70 千米/时” 一辆小汽车在一条城市街道上由西向东行驶（），在距离路边 25 米处有“车速检测仪 O”， 测得该车从北偏西 60°的 A 点行驶到北偏西 30°的 B 点，所用时间为 15 秒（1）试求该车从 A 点到 B 的平均速度；（2）试说明该车是否超过限速过关练习：1.已知 AC 平分BAD，CEAB，B+D=180°，求证：AE=AD

9、+BE2.在 RtABC 中，C90°，三边长分别为 4，5，x，求 x2.3.如图，已知：在ABC 中，ÐC=90°，M 是 BC 的中点，MDAB 于 D，求证：AD2=AC2+BD2.ADBCM第二节：三角形基础复习全等三角形【本关进步目标】利用角平分线构造全等三角形达到【高级运用】级别利用中点构造全等三角形达到【高级运用】级别中点之倍长中线法构造全等三角形达到【高级理解】级别第一关利用角平分线构造全等三角形【高级运用】全等三角形相关基本定理【识记】过关指南：Tips:本关卡涉及到的相关定理三角形内角和定理、外角定理、角平分线定理、以及轴对称图形的性质。通过

10、填空的方式，帮助你回忆相关定理的内容。通过角平分线定理，引出轴对称图形的性质。目标题目示例：1.在 ABC 中，经过点 B 的直线 L(L 不与直线 AB 重合)与直线 BC 的夹角等于ABC ,分别过点 C,点 A 作直线 L 的垂线，直线分别为点 D，点 E。（1）若ABC = 45° ，CD=1（如图），则 AE 的长为；（2）写出线段 AE,CD 之间的数量，并加以证明；（3）若直线 CE,AB 交于点F， CF = 5 ,CD=4，求 BD 的值。EF6过关练习：1.三角形内角和定理 2.三角形外角定理 3.三角形角平分线定理 4.角是轴对称图形，它的对称轴是 全等三角形相

11、关基本定理【高级理解】过关指南：Tips:通过对第一关涉及到的内角和定理、外角定理、角平分线相关基本定理的简单题目的解答，帮助你回顾和熟练使用这些基本定理，有助于第一关的达成。练使用内角和定理；练习 2 使用外角定理；练习 3 使用角平分线定理。目标题目示例：如图，已知ABC 中，ABC = 46° ,ACB = 62° ,延长 BC 至 E,使CE = AC ,延长CB 至 D ,使DB=AB,求DAE 的度数。过关练习：已知ABC 中，B = 60° ,C >A ,且(C )2 = (A)2 +(B)2 ,则ABC 的形状是 （1.）A.锐角三角形B.直

12、角三角形C.钝角三角形D.正角三角形2.如图，一副分别含有30° 和45° 角的两个直角三角形，拼成如下图形，其C = 90° ,B = 45° ,E = 30° ,则BFD 的度数是（ ）A15°B. 25°C. 30°D.10°3.如图，ABC 是等腰直角三角形，BD 平分ABC , DE BC 于点 E，且 BC =10cm ，则DCE的周长是cm.过关总结：几何基础定理的熟练应用是解题的关键1.凡是涉及角度的计算和等量代换，都要想到 2.看到“角平分线”字眼，就要想到 利用角平分线构造全等三角形【

13、高级理解】过关指南：Tips：本关卡三道练习题分别对应角平分线构造全等三角形的三种，是对的直接应用：练应用角平分线定理，做垂线构造全等；练习 2 取对称点构造全等；练习 3 延长角平分线的垂线，构造等腰三角形的高线两侧全等。目标题目示例：如图：在ABC 中，C = 90° , AD 是BAC 的角平分线，DE AB 于 E , F 在 AC 上，BD = DF ;求证：(1) CF = EB(2) AB = AF +2EB过关练习：1.如图，在 RtABC 中，C = 90° , BC = AC , AD 平分BAC 交 BC 于 D 。求证：AB = AC +CD2. 在

14、ABC 中， AB > AC , AD 是BAC 的角平分线， P 是 AD 上任一点。求证： ABAC PBPC过关总结：请你在下面的表格中画出基本图形，并写出全等的证明过程1.角平分线所在的直线是角的对称轴，在角平分线的两侧总是可以创造出有位置的一对三角形。2.构造全等三角形的三种;第一关过关检测：Tips：到目前为止，你已经完成了第一关内容的学习，从的讲解中，相信你收获了许多知识，也完成了许多习题。接下来，我们做一个小测试，如果你能正确的、快速的、独立的完成下面的测试题，说明你顺利通过了第一关！过关条件:前三个小关卡练习题目正确率不低于 80%；本次过关检测正确率 100%过关试题

15、:1. ABC 中， AD 是 ABC 的角平分线，且 AC +CD = AB 求证：C = 2B2. ABC 中， B 的平分线 BD 与C 的外角平分线 CE 交于点 P 。求证： 点 P 到三边AB BC CA 所在的直线的距离相等。第二关利用中点构造全等三角形【高级运用】目标题目示例：如图，D 是 ABC 中 AB 边的中点， BCE 和 ACF 都是等边三角形，M、N 分别是 CE、CF的中点(1) 求证： DMN 是等边三角形(2) 连接 EF，Q 是 EF 的中点， CP EF 于点 P，求证：DP=DQ.利用中位线解题【高级理解】过关指南：Tips:本关卡题目是对中位线性质定理

16、的简单应用，利用中点创造中位线帮助解题，通过了本关卡，有助于你完成第二关。练连接对角线，直接应用中位线性质定理；练习 2 是有两个中点作为已知条件，需要另取一个中点，创造中位线解题。目标题目示例：，四边形 ABCD 中，E、F 分别为 AD、BC 的中点，AD 与 CD 不平行，AD 与 BC也不平行，求证：AB+CD>2EF过关练习：Exercise1四边形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是边 AB、BC、CD、DA 的中点，若四边形 EFGH 为矩形，则对角线 AC 与 BD 的位置是 Exercise2如图(1)，在四边形 ABCD 中 AB = CD , E , F 分别是

17、BC , AD 的中点，连接 EF 并延长，分别与BA , CD 的延长线交于点 M ,点 D ,则BME =CNE （不需证明），（温馨 Tips：在图(1)中，连接 BD , 取 BD 的中点 H , 连接 HE , HF , 从而 1=2 ， 再利用平行线性质， 可证得BME =CNE .）1：如图(2)，在四边形 ADBC 中， AB 与CD 相交于点O , AB = CD , E , F 分别是 BC , AD的中点，连接 EF ,分别交 DC , AB 于点M , N , OMN 的形状，直接写出结论。2：如图(3)，在 ABC 中， AC > AB , D 在 AC 上，

18、AB = CD , E , F 分别是 BC , AD 的中点，连接 EF 并延长，与 BA 的延长线交于点G ,若EFC = 60° ,连接GD , AGD 的形状并证明。中点之中位线法构造全等三角形【高级理解】过关指南:Tips:本关卡涉及中位线的相关知识，利用中点构造中位线是解决复杂的利用中点构造全等问题的一个子，通过了本关卡，有助于你完成第二关。练是有两个重点作为已知条件，需要另取一个中点，创造中位线解题。练习 2 与练本质相同，但图形位置发生变化，图形特征比较不易观察。目标题目示例：已知 AE、BD 相交于点 C，AC=AD,BC=BE,F、G、H 分别是 DC、CE、AB

19、 的中点。求证：(1)HF=HG(2)FHG =DAC过关练习 Exercise1：如何，在五边形 ABCDE 中， ABC =AED = 90° ,点 M 是 CD 的中点， BM = EM ,求证：BAC =EAD：利用分别是的中点，辅助线做法是 Exercise2在 ABC 中，D 为 AB 的中点，分别延长CA , CB 到点 E , F ,使 DE = DF ;过 E , F 分别作CA , CB的垂线，相交于点 P .求证：PAE =PBF：利用分别是的中点，辅助线做法是 关卡 2 中点之倍长中线法构造全等三角形【高级理解】过关指南:Tips:本关卡涉及倍长与中点有关的线

20、段的，利用中点倍长与中点有关的线段是解决复杂的利用中点构造全等的一个子，通过本关卡，有利于你完成第二关例题如图， AB = 5 AC = 3 BC 边上的中线 AD = 2 ,求 ABC 的面积。过关练习 Exercise1如图， ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 上的一点，且 BE = AC ,延长 BE 交 AC 于 F ,求证： AF = EF法 1：利用是的中点，辅助线做法是 法 2：利用是的中点，辅助线做法是 第二关 过关检测Tips 到目前为止，你已经完成了第二关内容的学习，下面进行一个小测试过关条件前三个小关卡练习题的正确率不低于 80%，本次过关通过率 10

21、0%过关试题如图，在 ABC 中， AB > AC , E 为 BC 边的中点， AD 是BAC 的平分线，过 E 作 AD 的平分线，交 AB 于 F ,交CA 的延长线于G .求证: BF = CG第四节：三角形综合复习【本关进步目标】对三角形中综合运用判定三角形相似达到【高级运用】级别对利用特殊角度判定三角形的相似达到【高级理解】级别对利用边的比例判定三角形相似达到【高级理解】级别对二次函数与相似三角形的综合计算达到【高级理解】级别第一关三角形中综合运用判定三角形相似【高级运用】过关指南：1.对三角形的基础性质了解并能达到高级理解的层次。2.对三角形相似的判定极其性质达到高级理解的

22、层次。目标题目示例：1.如图，已知 AD 是ABC 的中线，M 是边 AC 上的一动点，CM =nAM ，BM 交 AD 于 N 点。 如图，若n = 1 ，则 AN =。ND如图，若n = 2 ，则 AN =。ND如图，若n = 3 ，则 AN =。ND怎样的 猜想， AN 与n？并证明你的结论。ND时，恰有 AN= CM 当n =NDAM2.如图，在 RtABC 中，BAC= 90°，AB=3，AC=4，AD 是 BC 边上的高，点 E、F 分别是 AB 边和 AC 边上的动点，且EDF= 90°。（1）求 DEDF 的值；（2）设直线 DF 与直线 AB 相交于点 G

23、，EFG 能否成为等腰三角形？若能，请直接写出线段 BE 的长；若不能，请说明理由。AEFBDC3.如图，在ABC 中， ÐA = 90°，BC = 10，ABC 的面积为 25，点 D 为 AB 边上的任意一点（ D 不与 A 、B 重合），过点 D 作 DE BC ，交 AC 于点 E 设 DE = x ，以 DE 为折线将ADE翻折（使ADE 落在四边形 DBCE 所在的平面内），所得的A¢DE 与梯形 DBCE 重叠部分的面积记为 y （1）用 x 表示ADE 的面积；（2）求出0 < x £ 5 时 y 与 x 的函数式；（3）求出5 &

24、lt; x < 10 时 y 与 x 的函数式；（4）当 x 取， y 的值最大？最大值是多少？AADEA¢BCBC过关练习：1.如图，DE 是ABC 的中位线，M 是 DE 的中点，CM 的延长线交 AB 于点N，则S DMN S四边形 ANME = 2.如图，M 为线段 AB 的中点，AE 与 BD 交于点 C，DMEAB，且 DM 交 AC于 F，ME 交 BC 于 G（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；（2）连结 FG，如果45°，AB 4 2 ，AF3，求 FG 的长3.如图，已知矩形 ABCD 的边长 AB=2，BC=3，点 P 是 AD 边上

25、的一动点（P 异于 A、D），Q 是 BC 边上的任意一点. 连 AQ、DQ，过 P 作 PEDQ 交 AQ 于 E，作 PFAQ 交 DQ 于F.（1）求证：APEADQ；（2）设 AP 的长为 x，试求PEF 的面积 SPEF 关于 x 的函数式，并求当 P 在何处时，SPEF 取得最大值?最大值为多少?第二关利用特殊角度判定三角形的相似【高级理解】过关指南：1.熟练掌握二次函数的图像性质及相似三角形判定的基础上，进一步理解二次函数于特殊三角形相似的计算，最终达到【高级理解】。2.熟练掌握二次函数的图像性质及相似三角形判定的基础上，进一步理解二次函数与等腰三角形相似的判定。目标题目示例：1

26、.已知：如图，二次函数图象的顶点坐标为 C（1，-2），直线 y=kx+m 的图象与该二次函数的图象交于 A、B 两点，其中 A 点坐标为（3，0），B 点在 y 轴上点 P 为线段 AB 上的一个动点（点 P 与点 A、B 不重合），过点 P 且垂直于 x 轴的直线与这个二次函数的图象交于点 E（1）求这个二次函数的式；（2）设点 P 的横坐标为 x，求线段 PE 的长（用含 x 的代数式表示）；（3）点 D 为直线 AB 与这个二次函数图象对称轴的交点，若以点 P、E、D 为顶点的三角形与AOB 相似，请求出 P 点的坐标2.如图，已知抛物线的顶点为 A（2,1），且经过原点 O，与 x

27、轴的另一个交点为 B。（1）求抛物线的式；（2）若点 C 在抛物线的对称轴上，点 D 在抛物线上，且以 O、C、D、B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求 D 点的坐标；（3）连接 OA、AB，如图 2，在 x 轴下方的抛物线上是否点 P，使得OBP 与OAB 相似？若，求出 P 点的坐标；若不，说明理由。过关练习：1.如图，已知抛物线经过 A（2，0），B（3，3）及原点 O，顶点为 C（1）求抛物线的式（2）若点 D 在抛物线上，点 E 在抛物线的对称轴上，且 A、O、D、E 为顶点的四边形是平行四边形，求点 D 的坐标（3）P 是抛物线上的第一象限内的动点，过点 P 作 PMx 轴，垂足

28、为 M，是否点 P，使得以 P、M、A 为顶点的三角形与BOC 相似？若，求出点 P 的坐标；若不，请说明理由2.二次函数 y=ax2+bx+c 的图像经过三点 A(-1，0)，B（3，0），C（0，-3）它的顶点为 M，且正比例函数 y=kx 的图像与二次函数的图像相交于 D、E 两点。（1）求该二次函数的式和顶点 M 的坐标；（2）试探究，抛物线的对称轴上是否点 P，使DPAC 为等腰三角形？如果，请直接写出点 P 的坐标；如果不，请说明理由。第三关利用边的比例判定三角形的相似【高级理解】过关指南：1.利用相似三角形的判定中对应边成比例的解决性。目标题目示例：1.如图，直线 y=-x+3

29、与 x 轴、y 轴分别相交于点 B、点 C，经过 B、C 两点的抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴的另一交点为 A，顶点为 P求该抛物线的式和 A 点的坐标；连接 AC，BP，求证：BCPOCA；在 x 轴上找一点 Q，使得以点 P、B、Q 为顶点的三角形与ABC 相似，请求出点 Q 的坐标过关练习：1.如图，在平面直角坐标系，二次函数 y = ax2 + bx + 30 的图像经过 A(3,0)，B(5,0)两点，顶点为 C。（1）求此二次函数的表达式及点 C 的坐标；（2）若（1）中的二次函数图像与 y 轴交于点 D，在 y 轴正半上有一点 P（0，n），并且以点 P、D、A 为顶点的三角形与以点