课件教程信号第3章

1、第3章连续时间系统的时域分析ss-chap3-201812018/6/83.1 系统的数学模型及其分类3.2 系统的性质3.3 线性时不变系统的微分方程表示及其经典求解3.4 零输入响应与零状态响应3.5 冲激响应与阶跃响应3.6 线性时不变系统的卷积分析3.7 用对连续时间系统的时域分析第3章连续时间系统的时域分析学习目标：1.理解具有线性时不变性（LTI）的连续时间系统的数学模型- 线性常系数非齐次微分方程及其求解（a）响应与强迫响应（齐次解与特解）（b）起始条件与初始条件2. 熟练应用冲激响应h(t)分析LTI连续时间系统（a）h(t)与LTI连续系统的因果性；（b）h(t)与LTI连续

2、系统的性；（c）h(t)与LTI连续系统的零状态响应与零输入响应（d）级联、并联LTI系统的分析ss-chap3-201822018/6/83.1系统的数学模型及其分类1系统的数学模型数学模型是系统基本特性的数学抽象，它是以数学表表征系统的特性的。dvC (t)d2v (t)dv (t)i(t) = CLCC+ RCC+ vC (t) = x(t)dt2dtdt微分方程一阶微分方程ss-chap3-201832018/6/83.1系统的数学模型及其分类RR+Li(t) vL(t)i(t) Lv (t)Lr-v (t) = L di(t) + ri(t)(t) = L diL (t) = L d

3、i(t)vLLdtdtdt对于同一式的数学模型。，在不同条件之下，可以得到不同形ss-chap3-201842018/6/83.1系统的数学模型及其分类v(t)F(t) = L di(t)F = ma = m dv(t)vLdtdtvL (t)mLFv(t)i(t)对于不同的，可能有相同形式的数学模型。ss-chap3-201852018/6/8m3.1系统的数学模型及其分类该系统可建立如下两种数学模型：LC+x(t)-Ri(t)（1）-输入输出方程（一个微分方程）-状态方程（两个一阶微分方程组）（2）对于同一，而且在相同的工作条件之下，数学模型也不唯一。ss-chap3-201862018/

4、6/83.1系统的数学模型及其分类例：的储蓄与业务描述：以购房业务为例：每月等额均还方式的每月还款额总额为P，时间N月利率为I，计算每设，月的还款额R。设第n-1末欠款额为yn-1，第n末欠款额为yn，则它们之间的为yn = yn-1 - R + I yn-1ss-chap3-201872018/6/83.1系统的数学模型及其分类2系统的分类(按数学模型的差异)1）连续时间系统微分方程离散时间系统差分方程2） 线性系统线性微分方程非线性系统非线性微分方程3） 时变系统变系数微分方程时不变系统常系数微分方程线性时不变系统；线性时变系统；非线性时不变系统；非线性时变系统4）集总参分布参-常微分方程

5、-偏微分方程5）因果系统-非因果系统-6）不系统-系统-ss-chap3-201882018/6/83.1系统的数学模型及其分类本课程 研究的是：线性、时不变、集总参数的连续时间系统-常系数线性微分方程线性元件线性、时不变的离散时间系统-常系数线性差分方程ss-chap3-201892018/6/83.2系统的性质1. 线性特性叠加性（superposition property）与均匀性（homogeneity）x1 (t) ® y1 (t), x2 (t) ® y2 (t)(1) 叠加性若：则：x1 (t) + x2 (t) ® y1 (t) + y2 (t)

6、ss-chap3-2018102018/6/83.2系统的性质(2) 均匀性(齐次性)若： x(t) ® y(t)则： kx(t) ® ky(t)将叠加性与均匀性结合起来，有x1(t) ® y1(t),x2 (t) ® y2 (t)若：则： k1 x1 (t) + k2 x2 (t) ® k1 y1 (t) + k2 y2 (t)ss-chap3-2018112018/6/83.2系统的性质若： x(t) ® y(t)则： x(t - t0 ) ® y(t - t0 )y(t)2. 时不变特性x(t)EEttTx(t-t0)

7、y(t-t0)EEtt0T+t0tt0ss-chap3-2018122018/6/83.2系统的性质例3.2-1下列系统是线性的还是非线性的，是时不变的还是时变的。(1) y(t) = x(-t)tòt )dty(t) =(2)x(-¥x1 (t) 与解: (1)设两输入信号分别为y1 (t) = Tx1 (t) = x1 (-t)x2 (t)，输出信号分别为y2 (t) = Tx2 (t) = x2 (-t)a) 设 x3 (t) = x1 (t) + x2 (t)，则 y3 (t) = Tx3 (t) = x3 (-t) = x1 (-t) + x2 (-t) = y1

8、 (t) + y2 (t)b)设 x4 (t) = Ax1(t),则 y4 (t) = Tx4 (t) = x4 (-t) = Ax1 (-t) = A y1 (t)所以该系统是线性系统。ss-chap3-2018132018/6/83.2系统的性质c) 设x5 (t) = x1(t - t0 )则 y5 (t) = Tx5 (t) = x5 (-t) = x1 (-t - t0 )y1 (t - t0 ) = x1 (-(t - t0 ) = x1 (-t + t0 ) ¹ y5 (t)而所以该系统是时变系统。因此，综合上述两点，该系统为线性时变系统。（2）按题意有ttò

9、òt )dt ,t ) dty (t) = Tx(t) =y (t) = Tx(t) =x (x(111222-¥ -¥ a) 设 x3 (t) = x1 (t) + x2 (t)，t2 (t )dt则 y3 (t) = Tx3 (t) =-¥ = y1 (t) + y2 (t)ss-chap3-2018142018/6/83.2系统的性质b)设 x4 (t) = Ax1(t),t-¥ t-¥ òt )dtòt )dt =则 y (t) = Tx (t) = Ax (x (Ay (t)44411所以该系统是线性系统

10、。c) 设x5 (t) = x1(t - t0 )t-¥ t-¥ òt )dtòt - t )dt则 y (t) = Tx (t) =x(x (55510t -t0t - t= mò-¥ x (m)dm = y (t - t ) 0110所以该系统是时不变系统。因此，综合上述两点，该系统为线性时不变系统。ss-chap3-2018152018/6/83.2系统的性质3. 微分与特性设系统的起始状态为零，若： x(t) ® y(t)由于lim y(t) - y(t - Dt) = dy(t)x(t) - x(t - Dt)Dt

11、dx(t)dt=limDt ®0DtdtDt ®0则：dx(t) ® dy(t) ,ttòòt )dt ®y(t )dtx(dtdtx(t)-¥-¥y(t)dy(t)dx(t)ttòy(t )dtòt )dtx(dtdt-¥-¥ss-chap3-2018162018/6/83.2系统的性质4. 因果性如果 t < t0的激励信号等于零，系统的响应信号在t < t0也等于零，这样的系统称为因果系统。激励是产生响应的，响应是激励引起的后果。因果信号：将 t ³

12、; 0时接入系统的信号（即在 t < 0为零的信号） 称为因果信号。5.性如果系统的激励信号是有限幅度大小的信号（有界信号），系统的响应信号也是有界信号，这样的系统称为又称BIBO系统，这种。ss-chap3-2018172018/6/83.2 系统的性质例3.2-2下列系统是否是因果系统，是否是t系统òt )dt(1) y(t) = x(-t)y(t) =(2)x(-¥解: (1)明显地y(-1) = y(t) |t =-1 = Tx(t) = x(-t) |t =-1 = x(1)所以该系统是非因果系统。因为：| y(t) |=| Tx(t) |=| x(-t)|

13、 所以该系统是系统。(2) 由于输出y(t)在t=t0时的值只依赖于输入信号x(t)在t £ t0时的值。如果x(t) = u(t)，则t所以该系统是因果系统。t-¥t )dtu(t )dt = tu(t) ¾t¾®¥¾®所以该系统是不òòy(t) =¥x(-¥系统。ss-chap3-2018182018/6/83.3线性时不变系统的微分方程表示及其经典求解3.3.1 线性时不变系统分析概述Ø 输入、输出分析法：着眼于系统的输出和输入数学模型：一个n 阶微（差）分方

14、程，；特点：适合于单输入、单输；不适用于从内部去观察系统的各种。Ø 状态变量分析法： 不仅得到系统的输出信号，还获得系统内部状态的信息（多用于系统）；数学模型： 状态方程（n个一阶微（差）分方程组）和输出方程（一组代数方程）；特点：适合于多输入、多输；可以推广到非线性系统和时变系统。ss-chap3-2018192018/6/8输入输出方程和状态方程系统数学模型的表述3.3.1 线性时不变系统分析概述Ø 时域分析法：直接分析时间变量的函数，不经过任何变换，在时域中直接求解方程获得响应；特点：比较复杂（尤其是）Ø 变换域分析法：将信号和系统模型的时间函数变换成某变换

15、域的函数，如连续信号和连续时作叶变换、拉斯变换、而离散信号和离散时间系统则做z变换等特点：简单方便（微分、差分方程变为代数方程； 卷积计算化为乘法计算）ss-chap3-2018202018/6/8时域分析法和变换域分析法3.3.2线性时不变系统数学模型的建立对于较复杂的连续时间系统，只要依据电个约束特性，就可列出微分方程。的以下两（1）元件特性约束：即表征元件特性的式，如电容、电感、电阻各自电压与电流的；LRiR (t )iC (t)CiL (t)+v (t)v (t)v (t)RCL(t) = L diL (t)1CtòvvR (t) = RiR (t)t )dt(t) =vi(

16、LdtCC-¥（2）如拓扑约束：由结构决定的电压、电流约束，电压定律（KVL）和电流定律（KCL）等。ss-chap3-2018212018/6/83.3.2线性时不变系统数学模型的建立例3.3-2：如下图所示互感耦合电路，x(t)为电压源激励信号， 试列写求电流i2(t)的微分方程式。MR·+x(t)-LRi1(t)解 ：对于初、次级回路分别应用KVL，可以得到一对微分方程式L di1 (t) + Ri (t) - M di2 (t) = x(t)1dtdt(t) - M di1 (t) = 0L di2 (t) + Ri2dtdtss-chap3-2018222018/

17、6/8·Li2(t)3.3.2线性时不变系统数学模型的建立L di1 (t) + Ri (t) - M di2 (t) = x(t)(1)1dtdt(t) - M di1 (t) = 0L di2 (t) + Ri(2)2dtdtd2i (t)d2i (t)di (t)dx(t)对式（1）两边求导得： L1+ R 1- M= 2dt 2(3)dt 2dtdi2 (t) +dtdi1 (t) =LR i(t)由式（2）得：(4)2dtMdtMd2i (t)d2i (t)LRdi (t)= 2+1 2dt对式（4）两边求导得：(5)dt 2dt 2MM将式（4）、（5）代入式（3）并整理

18、得：ss-chap3-2018232018/6/83.3.2线性时不变系统数学模型的建立将其推广到一般情况，对于一个线性时不变连续时间系统，其与响应信号 y(t) 之间的，可以用下列形式的激励信号x(t)微分方程式来描述dn-1 y(t)dtn-1dn y(t)dy(t)+ an-1+L + a1+ a0 y(t) =andtndtdm-1x(t)dm x(t)dx(t)(3.3-1)+ bm-1+L + b1+ b0 x(t)bmdtm-1dtmdt式中，系数ai , bj 均为式(3.3-1)为一个常系数n阶线性常微分方程。ss-chap3-2018242018/6/83.3.3微分方程的

19、经典求解可知，式(3.3-1)的微分根据常系数线性微分方程的求解齐次解（homogeneous solution） yh (t)和特解方程的(particular solution) yp (t)两部分组成。即y(t) = yh (t) + yp (t)齐次解应满足(3.3-2)dn-1 y(t)dtn-1dn y(t)dy(t)+ an-1+ . + a1+ a0 y(t) = 0andtndt特征方程为a aa+ . + a a + an-+ a= 0n1n-1n10ss-chap3-2018252018/6/83.3.3微分方程的经典求解（1）特征根为单根，微分方程的齐次y (t) =

20、A ea1t + A ea2t + . + A eanth12nA1, A2 ,L , An这里是由初始条件决定的系数。a ± jb 时，则所对应的齐次（2）特征根为共轭复数A e(a + jb )t+ A e(a - jb )t，且可以化eat Acos b t + B sin b t12（3）特征根有重根，假设a1 是特征方程的k重根，那么，在齐次解中，相应于a1 的部分将有K项( Atk-1 + A tk-2 + . + At + A )ea1tk -112kss-chap3-2018262018/6/83.3.3微分方程的经典求解例3.3-4 ： 求下列微分方程的齐次解。d3

21、 y(t) +d2 y(t) +dy(t) +=71612 y(t)x(t)dt3dt 2dt解：特征方程为a 3+ 7a 2 +16a +12 = 0(a + 2)2 (a + 3) = 0特征根a1 = a2齐次解a3 = -3= -2 （重根）y (t) = Ate-2t+ A e-2t + A e-3th123ss-chap3-2018272018/6/83.3.3微分方程的经典求解由此可见，齐次解的形式仅取决于特征方程根的性质，而与激励信号无关，所以齐次解有时称为固有解（naturalresponse ）（或称响应）。当然齐次解的系数A1 , A2 ,L , An与激励信号有关。微分

22、方程的特解是由输入信号产生的，所以也叫做强迫响应（forced response）。特解的形式与激励信号的形式有关。将激励信号代入微分方程式的右端，代入后右端的函数式称项。通常，由观项试选特解函数式，代入原方程后求得特解函数式中的待定系数，即可求出特解。ss-chap3-2018282018/6/83.3.3微分方程的经典求解几种典型激励信号对应的特解函数形式项特解B (E (t peatcos W0)t p-1B t p + B+ . + B t + Bp-1p10BeatB1 cos W0t + B2 sin W0ttsin W0t注：激励信号得到（与激励信号表相同），特解（强迫响应）的表

23、与项相同，故也与激励信号表相同；但响应与激励信号完全不同。ss-chap3-2018292018/6/83.3.3微分方程的经典求解d2 y(t) +例3-A ：求解微分方程dy(t) += dx(t) +44 y(t)2x(t)dt 2dtdt其中：x(t) = tu(t), y(0)=1, y¢(0)=-1a 2+ 4a + 4 = 0解： 特征方程为特征根a1 = a2 = -2y (t) = Ate-2t+ A e-2t齐次解项，即h12dx(t) + 2x(t) = dtu(t) + 2tu(t) = (2t +1)u(t)dtyp (t) = B1t + B2 ,dtt

24、> 0特解将特解代入微分方程 y¢p¢ (t) + 4 y¢p (t) + 4 yp (t) = 2t +1,t > 04B1 + 4B1t + 4B2 = 2t +1 Þ B1 = 1/ 2, B2 = -1/ 4即ss-chap3-2018302018/6/83.3.3微分方程的经典求解d2 y(t) +例3-A ：求解微分方程dy(t) += dx(t) +44 y(t)2x(t)dt 2dtdt其中：x(t) = tu(t), y(0)=1, y¢(0)=-1t- 1 ,解：特解y (t) =t > 0p24+ t2-

25、 1 ,4(t) = Ate-2t+ A e-2ty(t) = y (t) + yt > 0完全解hp12y(0) = A - 1 = 1,利用初始条件24y(0) = A - 2 A + 1 = -1,122A = 5 ,A = 1解得214+ 5 e-2t4+ t2- 1 )u(t) 4y(t) = (te-2t完全解ss-chap3-2018312018/6/83.3.3微分方程的经典求解例3.3-6：如下图所示电路，已知激励信号x(t)=cos2tu(t),两个电容上的初始电压均为零，求输出信号v2(t)的表。R1R2®1 ®®2+¯C1&

26、#175;C21W1W+-v1(t) +x(t)v2(t)1 F3-0.5F-解:（1）列写微分方程式为x(t) - v (t)dv1 (t) + v1 (t) - v2 (t)ì= C11节点：1Rdtdv2 (t)Rï12í节点2： ï v1 (t) - v2 (t) = Cïî2Rdt2ss-chap3-2018322018/6/83.3.3微分方程的经典求解d2v (t)dv (t) 2+ 72+ 6v2 (t) = 6 cos 2t u(t)dt 2dta 2+ 7a + 6 = 0（2）为求齐次解，写出特征方程a1 = -

27、1,a2 = -6特征根y (t) = A e-t+ A e-6t齐次解h12（3）查表，得特yp (t) = B1 sin 2t + B2 cos 2t,代入微分方程得t > 0y¢p¢ (t) + 7 y¢p (t) + 6 yp (t) = (2B1 -14B2 ) sin 2t + (14B1 + 2B2 ) cos 2t = 6 cos 2t比较上述方程两边系数，并求解得21 ,3B =B=125050ss-chap3-2018332018/6/83.3.3 微分方程的经典求解（4）完全+ 21 sin 2t +3(t) = A e-t+ A e-

28、6tv (t) = y (t) + yt > 0（1）cos 2t,2hp125050R2R1+1W1W+-v1(t) +C1+C21 F3x(t)v2(t)-0.5F-由于已知电容C2上的初始电压为零，因而有v2(0) = 0,又因为电容C1上的初始电压也为零，于是流过R2，C2中的初始电流也为零，即 v2¢ (0) = 0 。A1 = -6 / 25,A2 = 9 / 5069+ 21 sin 2t +3v (t) = (-e-t+e-6tcos 2t)u(t)225505050ss-chap3-2018342018/6/83.3.4初始条件的确定为求系数A，我们利用了n个

29、条件。实际上，由于t = 0 时刻加入了激励，在激励的作用下，输出y(t)及其各阶导数 在t = 0时刻可能发生跳变而出现不连续。1. 起始状态与初始状态y(k ) (0- )y(k ) (0+ )起始状态：在激励接入之前的瞬的状态初始状态：在激励接入之后的瞬的状态由于用经典法求解微分方程时，是考虑了激励作用以后的解，时间范围是 0+ t <¥ y(k ) (0+ )来确定系数A，所以要利用y(k ) (0- )而不能直接利用ss-chap3-2018352018/6/83.3.4初始条件的确定2. 初始条件的确定可以利用系统内部储能的连续性，这时有i (0+ ) = i (0

30、- )v (0+ ) = v(0- )LLCCvC(0-)和iL(0-)值，然后由储能的连续性写出首先vC(0+)和iL(0+)，再根据元件约束特性与拓扑约束即可求得0+时刻其他电压、电流值。对于稍复杂的情况，跳变值往往不易直接求得，这时，可借助微分方程式两端各奇异。(冲激函数平衡法)函数系数平衡的作出ss-chap3-2018362018/6/83.3.4初始条件的确定例3.3-7：如图的电路中，若激励为系统起始无储能，试求i2(t)。阶跃信号，x(t) = u(t)，MR·+-LRx(t)i1(t)（1）由例4.3-2的微分方程式，将x(t) = u(t)代入，得d2i (t)d

31、i (t)du(t)= M d (t)(L2 - M+ 2RL2+ R2i (t) = M2 )22dt 2dtdt（2）求初始条件i (0- ) = 0,i' (0- ) = 0由题意知22ss-chap3-2018372018/6/8·Li2(t)3.3.4 初始条件的确定d2i (t)di (t)du(t)= M d (t)(L2 - M+ 2RL2dt+ R2i (t) = M2 )22dt 2dt包含d2i (t)Md (t)(L - M22)2dt 2包含di2 (t)Mu(t)- MML22dt(t)包含itu(t)2- ML22i (0+ ) = 0ì

32、;+-i2 (0 ) - i2 (0 ) = 02ïíiMM' (0+ ) - i ' (0- ) =i ' (0+ ) =ïî22- ML222- M 2L2ss-chap3-2018382018/6/83.3.4初始条件的确定（3）求齐次解，写出特征方程d2i (t)di (t)du(t)= M d (t)(L2 - M+ 2RL2+ R2i (t) = M2 )22dt 2dtdt(L2 - M 2 )a 2 + 2RLa + R2= 0RRaa求得两特征根为：= -= -,12L + ML - Mi(t) = A ea1t

33、 + A ea2t2h12（4）求特解yp(t)由于在 t > 0以后，微分方程右端为零，显然，其特解就是零。（5）求全响应i2(t)i (t) = i(t) = A ea1t + A ea2t22h12ss-chap3-2018392018/6/83.3.4 初始条件的确定Mi (0+ ) = 0,i' (0+ ) =求系数A 、A利用初始条件2212- M 2L2i (t) = i(t) = A ea1t + A ea2t22h120 = A1 + A2ìïMí= a A + aAïî L2 - M1122211A =A =

34、-,解之得：122R2R所以1(ea1t- ea2t )u(t)i (t) =22Rss-chap3-2018402018/6/83.3.4初始条件的确定dy2 (t) +d2 x(t)dy(t)dx(t)+ 2 y(t) =+ 4例3.3-8 已知微分方程为3dt 2dt 2dtdty(t)x(t) = u(t),y(0- ) = 2,y' (0- ) = 3求y (t) = A e-2t + A e-t解：齐次解h12dd (t)dy2 (t) +dy(t)+ 4d (t)+ 2 y(t) =3dt 2dtdtyp (t) = 0,t > 0（因为方程右端等于0）特解 y(t

35、) = y (t) = A e-2t + A e-tt > 0h12ss-chap3-2018412018/6/83.3.4初始条件的确定dy2 (t) +dy(t)3+ 2 y(t) = d ¢解：d (t)(t) + 4dt 2包含dtd ¢(t)d2 y(t)+d (t)dt 2dy(t)3 dy(t)包含包含d (t) +u(t)3d (t) +3u(t)dtdty(t)包含包含u(t)2u(t)= 32 y(t)ìï y' (0+ ) - y' (0- ) = 1ì亦即íîÞy(0+

36、 ) = A + A所以í12+-ïî y(0 ) - y(0 ) = 1¢y (0 ) = -+2 A - A = 412A = -7ìy' (0+ ) = y' (0- ) +1 = 4y(0+ ) = y(0- ) +1 = 3即1í= 10î A2 y(t) = (-7e-2t +10e-t )u(t)ss-chap3-2018422018/6/83.4零输入响应与零状态响应1零输入响应与零状态响应经典法求解系统的完全响应可分为：完全响应=响应+强迫响应y(t) = yh (t) + yp (t)系统

37、的完全响应也可分为：完全响应=零输入响应+零状态响应y(t) = yzi (t) + yzs (t)ss-chap3-2018432018/6/83.4零输入响应与零状态响应yzi (t)：当激励信号 x(t) = 0时，由起始状零输入响应态y(k ) (0- )所产生的响应。由于激励信号x(t) = 0，所以系统的起始时刻产生y(k) (0+ ) = y(k) (0- )跳变。所以ny (t) = å Aeakt零输入响应应的形式，即zizikk =1其中系数A由起始条件 y(k ) (0- )来确定。zikss-chap3-2018442018/6/83.4零输入响应与零状态响应

38、零状态响应 yzs (t) ：当起始状态y(k) (0- ) = 0 时，由激励信号x(t) 所产生的响应。n(t) = å Aeakt+ y零状态响应的形式为：y(t)zszskpk =1由跳变量y(k) (0+ ) = y(k) (0+ ) - y(k) (0- )其中系数A来确定。zszsky(k) (t)y(k ) (0+ )y(k ) (0- )(k ) (0- )：确定全响应的系数：确定零输入响应的系数y(k ) (0+ )：确定零状态响应的系数zst0+ss-chap3-2018452018/6/8y(k ) (0+ )y(k ) (0- )y(k) (0+ ) = y

39、(k) (0+ ) - yzs0-3.4 零输入响应与零状态响应nny(t) = å A+ å Aeakteakt+ y(3.4 - 3)(t)zikzskp1k =412431k =144424443零状态响应零输入响应n= å（A+ A)eakt +(3.4 - 4)y(t)pzikzsk1k =144424443响应强迫响应例3.4-1 已知系统的微分方程为dy(t) + 3y(t) = 3u(t)dty(0- ) = 3且，应、强迫响应、零输入响应、零2状态响应和全响应。ss-chap3-2018462018/6/83.4零输入响应与零状态响应：起始条件，

40、确定零输入响应的系数，y(0- ) = 3y(0- )解：2y(0+ ) ：初始条件，确定全响应的系数，y(0+ ) = y(0- ) = 32+yzs (0 )：跳变量，确定零状态响应的系数,1）求全响应y(t)+yzs (0 ) = 0-3t特征根为 a = -3，所以 ， yh (t) = Aeyp (t) = 1而y(t) = Ae-3t +1这样，全响应为由初始条件 y(0+ ) = 3 / 2可求出系数 A= 1/ 2 ，所以y(t) = 1 e-3t +1 2(t ³ 0)y (t) = 1 e-3t ,(t) = 1 (t ³ 0)yhp2ss-chap3-

41、2018472018/6/83.4零输入响应与零状态响应y (t) = A e-3t2）求零输入响应y (t)ziziziy(0- ) = 33=可求出系数A，所以由起始条件22ziy (t) = 3 e-3t(t ³ 0)zi23）求零状态响应yzs(t)y (t) = y(t) - y (t) = 1 e-3t+1- 3 e-3t2= -e-3t+1(t ³ 0)zszi2+1e-3ty (t) = A或：zszs+yzs (0 ) = 0可求出系数Azs= 1，所以(t ³ 0)由跳变量-3tyzs (t) = -e+1ss-chap3-2018482018

42、/6/83.4零输入响应与零状态响应3 e-3t2+1 = 1 e-3t +1y(t) =-e-3t142432零状态响应零输入响应y(0- ) = 32= 3 e-3t - e-3t12 4243+(t ³ 0)1强迫响应响应假设：x(t) = 6u(t)，其余不变，求其解。由于x(t) = 6u(t)，其特解变为：yp(t) = 2。e-3t+ 2 = -2e-3t + 2y(t) = A零状态响应y(t):zszs 2zs 2因为起始状态不变：故其零输入响应不变，仍为：y (t) = 3 e-3t(t ³ 0)zi2(t) + y (t) = - 1 e-3t + 2

43、完全响应y(t):y(t) = yzs 2zi2ss-chap3-2018492018/6/83.4零输入响应与零状态响应2零输入线性与零状态线性常系数线性微分方程描述的系统在下面几点上是线性的（1） 响应的可分解性：系统响应可分状态响应。（2） 零状态响应线性：系统的零状态响应与各激励信号成零输入响应和零线性分特性。，且系统为时不变系统，所以零状态响应满足微积（3）零输入响应线性：系统的零输入响应与各起始状态成线性。ss-chap3-2018502018/6/83.4零输入响应与零状态响应2零输入线性与零状态线性线性时不变系统一定满足均匀性与叠加性及微特性。但这种线性时不变特性是在一定条件下

44、满足的。dy(t) + 2 y(t) = x(t)的微分方程为dtx (t) = e-t的全响应为y(0- ) = 2时，则系统对激励当起始状态1y (t) = e-2t+ e-t时，则可以求得全响应为1x (t) = 5e-t若把激励信号变为2-2t-ty2 (t) = -3e+ 5ey2 (t) ¹ 5 y1(t)因为系统的起始储能未变ss-chap3-2018512018/6/83.4零输入响应与零状态响应y (t) = 2e-2t + (-e-2t + e-t )零输入响应14243零状态响应1y (t) = 2e-2t + 5(-e-2t + e-t )零输入响应1 424

45、43零状态响应2比较可见，零状态响应满足线性系统的特性。若把 y(0- )也按照同样的比例放大，得y(0- ) = 10，则在激励x (t) = 5e-t 作用下，全响应为：2y (t) = 10e-2t + 5(-e-2t + e-t )零输入响应1 42443零状态响应3 这时 y3(t)与 y1(t) 满足线性系统的均匀性 ss-chap3-2018522018/6/8例题:Page 56： 3-2t<0, switch at “1”, t=0, S turn to “2”. Where L=1H, R=3W,C=0.5FFind current i(t), and determi

46、ne the zero input response and zero state response.vL (t) + vR (t) + vC (t) = x(t)+x(t)_i(0- ) = 0; v(0- ) = 5VCx(t)5L di(t) + 1 ò i(t)dt + Ri(t) = x(t)dt( )Ct0d2i t+ RC di(t) + i(t) = C dx(t)-5LCdt2dtdtss-chap3-2018532018/6/8例题:Page 56： 3-2d2i(t) +di(t)+ 2i(t) = -10d (t)ip (t) = 0, t > 03dt

47、2dt(1) Forced response:i (t) = C e-t + C e-2t , t > 0(2) Natural response:(3) Completed response:h12i(t) = i (t) = C e-t + C e-2t , t > 0h12i(0- ) = 0; v(0- ) = 5VCQi(0+ ) = i(0- ) = 0;v (0+ ) =v (0- ) = 5VCCLi¢(0+ ) = v(0+ ),v (0+ ) + v(0+ ) + v(0+ ) = -5LCLRÞ i(0+ ) = 0;i¢(0+ ) = -10Þ i(t) = 10e-2t -10e-t , t > 0ss-chap3-2018542018/6/8例题:Page 56： 3-2zero input response+i(0- ) = 0; v(0- ) = 5VCx(t)5x(t)_t0d2i(t)di(t)dx(t)+ RC+ i(t) = CLCdt2dtdti(0- ) =