数形结合思想在高中解题中的应用

1、摘要 数形结合是高中数学中的一种重要而又实用的思想和方法，一方面它展现了“数”与“形”两种信息的转化及其优势互补与整合的简单美，为高中的一些数学问题开辟了一种更简捷的新解题途径；另一方面它还将抽象思维与形象思维完美地结合起来，对学生的创新意识和创造思维起着积极的促进作用。基于以上数形结合思想的优势，文章主要介绍了什么是数形结合思想，数形结合思想在高中解题中的几点应用以及解题中存在的几种误区。关键词：数形结合 高中数学 解题误区Abstract The number shape union is in the high school mathematics is a kind of import

2、ant and practical ideas and methods, on one hand it shows the number and shape of two kinds of information transformation and integration of complementary advantages and simple beauty, some mathematical problems for senior high school opened up a more simple way of solving problem; on the other hand

3、 it also the abstract thinking and the thinking in images combine perfectly, the students innovative consciousness and creative thinking plays a positive role in promoting. Based on the above the number shape union thought advantage, the article mainly introduces what is the number shape union thoug

4、ht, the number shape union thought in solving problems in senior high school a few applications and problem solving in the presence of the kinds of errors.Key words: Combination of number and shape The high school mathematicsThe problem-solving misunderstandings目录摘要IAbstractII第一章 引言1第二章 数形结合思想的提出22.

5、1案例导入22.2 数形结合思想的提出4第三章 数形结合思想的概述53.1数形结合思想的内涵53.2数形结合的基本原则53.3数形结合的三条途径63.3.1 以形助数63.3.2 以数助形63.3.3 数形互助73.4 几种常见代数式的几何联想8第四章 数形结合思想的应用举例114.1集合问题114.1.1 借助于数轴114.1.2借助韦恩图124.2函数问题134.2.1求函数定义域134.2.2求函数值域144.2.3求函数的最值154.2.4求函数单调区间154.2.5比较数的大小164.2.6确定函数中参数范围174.3三角函数问题184.4方程与不等式问题194.4.1方程根的分布1

6、94.4.2方程的根与参数的关系204.4.3不等式问题214.4.3.1求不等式的解集214.4.3.2求参数的取值范围214.4.3.3证明不等式224.5数列问题234.6复数问题254.7解析几何问题254.8立体几何问题26第五章 数形结合的解题误区28结束语32致谢33参考文献34第一章 引言 在中学数学中，学生对于纯粹数的问题习惯从数的角度出发来思考问题，而对于纯粹形的知识习惯从形的角度出发来思考问题，但对于一些比较复杂的纯粹数问题或纯粹形问题，如果此时学生还用习惯性的思维去分析它们，那解决问题的思维就会处于非常被动的地位，思考问题的方向就会被局限起来，那该怎么办呢？在学习了数形

7、结合思想后，我们能否走出这种困境，利用数形结合来解决这些难题呢？故本文首先带领大家一起去欣赏数学中数形结合的美，然后再向大家概述一下数形结合思想的相关知识，并一路详细地介绍数形结合思想在“以形助数”和“以数辅形”这两大方面的具体应用，最后还点出了运用数形结合方法解题时存在的误区，以此更好地引导大家去掌握好数形结合思想。第二章 数形结合思想的提出2.1案例导入 在高中数学解析几何这一模块中，处理问题的方法常有代数法和几何法，代数法是从“数”的角度解决问题，几何法是从“形”的角度解决问题，这两种方法相辅相成，相得益彰。1现举案例如下：案例：证明自然数的三次幂和公式分析:由证明的思路可知要证明本题也

8、可以通过从到的个式子的累加来解决。证法一： 将以上所有等式的左边相加，右边相加，有 化简， 图2.1证法二：如图2.1所示，在第1行排列1个边长为1的正方形，在第2行排列2个边长为2的正方形，以此类推，在第行排列个边长为的正方形,然后将点与点连接并延长交的延长线于点，得到直角三角形，图中所有正方形的面积之和为.容易证明所有正方形的面积之和等于直角三角形的面积，即 所以 点评：证法一是一种常规的解法，也就是我们中学常说的代数法，主要是由“数”的相关信息入手，利用公式对所要证明的公式进行相应的变换，充分展现了推理过程的逻辑化与严谨化，但这种解题方法也存在一些缺点，例如对于普通学生就很难把解题思路与

9、公式联想到一起，再如代数法的解题过程较繁琐冗长等；相反，证法二则比代数法新颖、简单，它不但巧妙地将数转化为几何图形，还利用图形的性质高效地解决问题，显得直观、简捷，这便是数学中另外的一种方法几何法。 从这个案例的两种不同解法中，我们发现恰当地选择数学方法能够使问题的顺利解决起到事半功倍的效果，特别是这个案例中所涉及的思想方法，它把数学所研究的两大对象“数”与“形”的特点展现得淋漓尽致、别有千秋，因此，如果能将这种思想应用与数学解题中，将会开拓思维，简化问题。2.2 数形结合思想的提出 由2.1的案例我们看到了一些“数”的问题可以转化为“形”的问题来研究，并且从“形”的角度能够将复杂、抽象的问题

10、简单化、形象化，从而更直观、更快捷地解决问题，这也就是我们数学中的一种重要思想数形结合思想。通过数形结合思想，人们将纯粹数的知识与纯粹形的知识联系起来，产生了数学的另一新分支解析几何，从而将数形结合思想推到了一个更高的发展阶段。同时由于图形具有直观性与形象性的特点，人们还把数形结合思想应用于生活中各方面的问题解决，如概率问题，还有经济的最优化决策、原料的最少消耗、路程的最短路等等问题。 那么什么是数形结合思想？它的基本原则又是什么？它有几种转换途径?在接下来的第三章我们将对此做深入的学习。第三章 数形结合思想的概述3.1数形结合思想的内涵 数学是研究现实世界的数量关系和空间形式的一门科学，数与

11、形是事物的两个方面，正是基于对数与形的抽象研究才产生了数学这门学科，才使人们能够从不同侧面认识事物，把数量关系的研究转化为图形性质的研究，或者把图形性质的研究转化为数量关系的研究，这种解决问题过程中“数”与“形”相互转化的研究策略就是数形结合思想。数形结合思想就是要使抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来。理解并掌握数形结合的方法，能够增强学生的数学素质，提高分析问题和解决问题的能力。解析几何就是数形结合的典范。我国著名数学家华罗庚教授曾写过一首描写数形结合的诗：数形本是两相依，焉能分作两边飞。数缺形时少直觉，形缺数时难入微。数形结合百般好，隔裂分家万事休。切莫忘，几

12、何代数统一体，永远联系莫分离。4 利用数形结合研究数学问题时，常可以由以下三个途径转换：由数思形、以形思数、数形互助。3.2数形结合的基本原则（1）等价性原则：是指“数”的代数性质与“形”的几何性质的转换必须是等价的，即问题的形与数所反映的数量关系应具有一致性，若图形关系所考虑不周或作图不准确，将对所讨论的问题产生影响，可能将造成解题失误。（2）双向性原则：是指既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索。代数表达及运算比几何图形及结构有其自身固有的优越性，能克服几何方法的许多局限性。（3）简单性原则：是指数形转换时尽可能使作图简单合理，既使几何作图优美，又使代数运算简洁、明了。3.3数形结

13、合的三条途径3.3.1 以形助数 所谓以形助数，即根据给出的“数”的结构特点，画出与之相应的几何图形，用几何方法解决代数问题。例1.函数的一个单调区间是（ ）A B C D分析：只要画出的图像（图3.1），就可以得到要选的选项。图3.1例2.对，记，函数的最小值是（ ）分析：画出函数和的图像（图3.2),由的定义可得， 则图3.2 3.3.2 以数助形 所谓以数助形，即用代数方法研究几何问题。例3.在中，所对的边分别为a,b,c，且,P为的内切圆上的动点，求点P到顶点A,B,C的距离的平方和的最大值与最小值。解：由运用正弦定理，有，因为，所以,由此可知是直角三角形.由,以及，可得如图，设的内切

14、圆圆心为，切点分别为D,E,F，则,但上式中，所以内切圆半径，如图3.3建立坐标系，则内切圆方程为：，设圆上动点P的坐标为，则=因为P在内切圆上，所以图3.3，点评：此题的首要任务就是根据已知条件把三角形确定下来，注意到有三角函数，于是联想到三角形的正弦定理，从而推出三角形是直角三角形并求出其余两边，接着我们又很容易由距离及直角三角形联想到直角坐标系的建立，通过直角坐标系把直角三角形坐标化，同时我们注意到P点是直角三角形内切圆上的动点，那么就必须通过内切圆来确定出P点的轨迹，把以上所有相关信息坐标化，用代数方法建立函数关系，问题迎刃而解，但若用几何的方法去解决，我们会发现一时很难以入手，假如从

15、三角形三边大小关系入手，由于这里涉及到多个三角形，对于等号的同时成立讨论起来则会显得十分吃力，反而把问题复杂化。因此，这道题恰当地方法是采用代数法，它会省去很多的麻烦。3.3.3 数形互助 所谓数形互助，即数形相互结合，使问题变得直观、简明。例4.在x轴上找到一点，使得它到点和到点的距离之和最短。解：如图3.4，将点表示在坐标平面上，将点关于轴的对称点，连接B交轴于点，点为所求。设，将和代入，得 点P是直线和x轴的交点，所以当时， 点评：本题如果直接用代数的方法来解的话，图3.4设，那么 很显然这个式子的最大值仅用代数方法是很难求的，还是要变形为，理解为平面上的点与，的距离之和，利用数形结合的

16、方法在坐标平面内利用几何的对称性，解决起来就会非常容易。3.4 几种常见代数式的几何联想（1)形如（或其变形，如）可看成两点间的距离。5例5.平面内动点满足，则点的轨迹是（ ）。分析：该题如果采用化简将浪费很多时间，而利用方程表示的几何意义，则很容易知道点满足椭圆的定义，所以点的轨迹应该是椭圆。答案：椭圆。(2) 形如可看成数轴上（或与坐标轴平行）的两点间的距离。例6.解不等式。分析：该不等式的常规解法是对进行讨论，以去绝对值（如解法一）；但如果能利用绝对值的几何意义来分析就更简单了（解法二），如图3.5所示,数轴上与对应的点分别是、，那么不等式的解集就是数轴上到,两点的距离之和大于的点所对应

17、的实数。解法一：当时，原不等式化为，解得即不等式组的解集为.当时，原不等式化为，即，矛盾，所以不等式组的解集为.当时，原不等式化为，解得，所以不等式组的解集为综上所述，原不等式的解集为。解法二：如图3.5，数对应于数轴上的点、，数对应于数轴上的点、，在上的点到、两点的距离之和都是不大于，而在、的点到、两点的距离之和都是大于，所以原不等式的解集为。点评：对于类似的不等式求解，我们一般都是从绝对值的几何意义来入手思考的，也就是运用数形结合的方法来更直观地剖析问题的本质，使问题的解决更简单化、快捷化。对于该例题，还有一些变式，如“若不等式的解集为R，求的取值范围”，也可仿照例题来解决。图3.5(3)

18、 形如（或）可联想到点到直线的距离。例7.方程所表示的曲线是（ ）分析：原方程可化为，而可看成点到直线的距离，根据双曲线的第二定义可知，该方程表示的曲线是是双曲线。答案：双曲线。（4） 形如可看成点与点连线的斜率。9例8.已知点满足，求的最大值。图3.6分析：该题是线性规划的变形，可当成动点与定点的连线的斜率。解：如图3.6所示，动点落在内部（不包括边界），的几何意义是点和点连线的斜率。，由图可知，由图可知，即.第四章 数形结合思想的应用举例4.1集合问题集合是高中数学知识的基础，也体现了高中数学不同于初中数学的理念，并且集合知识无论在内在关系（交集、并集、补集等）上，还是在外在表达式（如）上

19、，都暗含着图形的意味。运用数形结合思想解决集合问题，实际上是将抽象的数学关系转化为具体的、形象的图形问题，帮助学生更直观地认识集合和集合之间的包含、交叉等关系。在解题过程中，数轴和韦恩图则是最常用的两种图形表达。24.1.1 借助于数轴 高中阶段，我们经常借助于数轴来表示集合间的包含关系，或用数轴进行集合的相关运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。例9.若集合，则集合 ( ）A B C D图4.1分析：此题主要考察了交集的运算，运用数轴将集合,表示出来，（如图4.1），故选。例10.已知集合，（1）若,求的范围；（2）若,求的范围。分析：先在数轴上表示出集合的范围，要使，由包含于的关系可知

20、集合应该覆盖集合，然后根据对应端点的关系进行限制；若，则分为两种情况，第一种是，即，第二种是，这时集合应该覆盖集合，并进行对应端点的限制。图4.2 解：（1）如图4.2，此时显然，即，由于，则方程组的解集为，所以的值不可能存在。（2）如图4.2，由于，若，则若，则，解得综上两种情况，可知当时，点评：此题利用数轴来讨论集合之间的包含关系，生动直观，特别是集合端点的大小关系，借助数轴上的集合更是清楚直观，把枯燥的数字问题转化为形象的图形问题，更有利于思考问题的思维拓展，鲜明地展现出以形助数的优势。4.1.2借助韦恩图 利用韦恩图法解决集合之间的关系问题，一般用圆来表示集合，两圆相交则表示两集合有公

21、共元素，两圆相离则表示两个集合没有公共元素。利用韦恩图法能直观地解答有关集合之间的关系问题。例11.有名学生，每人至少参加一个活动小组，参加数理化小组的人数分别为，同时参加数理小组的人，同时参加数化小组的人，同时参加理化小组的人，问同时参加数理化小组的有多少人？图4.3分析：我们可用圆、分别表示参加数理化小组的人数（图4.3），则三圆的公共部分正好表示同时参加数理化小组的人数，两圆重合的部分表示同时参加某两小组的人数，然后再根据韦恩图各部分的关系列出等式。解：设参加数、理、化小组的人员分别为集合A、B、C，n表示集合的元素个数，则, ,因为所以即同时参加数理化小组的有一人。4.2函数问题4.2

22、.1求函数定义域 面对求函数的定义域问题，有些人常常是顾此失彼，所以在看到题目后，首先应该把所有使函数有意义的条件列出，待求出所有满足条件的解后用相应的图形表示出来，再逐一判断，这样才能尽量避免失误，得出正确的答案。例12.求函数的定义域.分析：若要解决该函数的定义域，图4.4则有，要解决此类不等式的解集，需要借助图像，如上图4.4，由图像可以看出，若要，只需或，再由，得出该函数的定义域即为：。解：函数的定义域为，作出二次函数的图像（图4.4），观察可知在或上，函数，或又因为，所以函数的定义域为。点评：本题虽然是求定义域，但实际上是考察二次函数图像的理解程度，学会已知函数值范围来确定自变量的范

23、围，学生可以通过对应的二次函数图像来直观地判断出自变量的范围，但随着学生做题熟练程度的增强，二次不等式的求解已不用再画图，而是多见于画数轴来选择出取值范围。4.2.2求函数值域 对于一些给了定义域求值域的函数，若只采用代数的方法思考问题，往往会太过于抽象或无从下手，但如果根据函数的定义，引入图像，使所求的问题具体化、一目了然化，则起到事半功倍的效果。例13.求函数的值域。分析：就自变量的范围讨论去掉绝对值，将函数表示为分段函数，画出分段函数的图像，由图像即可得到的范围。解：函数等价于分段函数画出分段函数的图像（图4.5 ），观察图像可知图4.5的值域为。点评：由于此题涉及到绝对值，按照常规的解

24、法我们一般是先去掉绝对值号，也就是分零点讨论，然后再结合不同的情况对相应的函数范围进行求解，最后把各种情况的值域合并起来就是所求函数的值域。但这种解法由于要对每种情况下的函数值域进行讨论，工作显得重复、单调，所以不如用数形结合思想，把分段函数用图像表示出来，这样值域就比较直观化、形象化，从而把抽象问题直观地获解，在数学学习中我们要多注意这种数学思想的应用。4.2.3求函数的最值例14.求函数的最小值。分析:由可联想到两点间的距离公式，则该题等价于求动点图4.6到点，的距离之和的最小值。解：如图4.6，该式子可看做点到点，的距离之和，设AB与x轴交于C，则当点P到点C重合时，y最小，4.2.4求

25、函数单调区间 函数的单调性是函数的一条重要性质，也是高考中的热点问题之一。在解决有关问题时，我们常需要先确定函数的单调性及单调区间，数形结合是确定函数单调性常用的数学思想，函数的单调区间形象直观地反映在函数的图像中。例15.确定函数的单调区间。解：画出函数的草图（图4.7），由图像可知，函数的单调递增区间为，函数的单调递减区间为。 图4.8图4.7点评：对于函数的单调区间问题，我们也可以运用导数的相关知识来解决，这是用单纯数的角度来思考问题，但有时由于所涉及的函数是一些常见的函数，例如一次函数，反比例函数，二次函数等，这些函数的图像我们是很熟悉的，可以直接判断出函数的单调区间，因此就没有必要再

26、去用导数来判断函数的单调性，那样只会重复一些没多大意义的工作量。 4.2.5比较数的大小 一些数值大小的比较，我们可转化为对应函数的函数值，利用它们图像的直观性进行比较。8 例16.试判断，三个数之间的大小顺序。分析：如图4.8，这三个数可以看成三个函数：，在时，所对应的函数值。在同一坐标系内作出这三个函数的图像，从图像可以直观地看出当时，所对应的位置，从而可得出结论：。答案：点评：对于数大小的比较我们一般有作差法和作商法，但有些数很难用这两种方法来很快地比较大小，例如指数式、对数式，注意到这些式子都有对应的函数，所以我们可以通过建立相应的函数，然后再判断出相同自变量下函数值的大小或相同函数值

27、下自变量的大小，或者借助函数所经过的公共点来比较大小，这样就直观、快捷地判断出相应式子的大小关系了。4.2.6确定函数中参数范围例16.设对于任意实数，函数总有意义，求实数的取值范围。8 图4.10图4.9解法一：函数总有意义，则，即在上总成立。设，即当时，总成立，依抛物线的特征，将其定位，有，如图4.9所示。 解得.解法二：对于不等式，因为，所以，不等式可化为因为只要的最大值即可，设，的图像如图4.10所示，可知的最大值为10，故得最大值为4，则点评：解法一抓住了抛物线的特征，由实数的不等式组，将抛物线定位，再求解范围。另外，由于涉及到一元二次方程根的分布，所以又提供了一次数形结合的机会。解

28、法二将实数从不等式中分离出来后，对后便函数中换元后，利用典型函数图像直观地求最大值，求得的范围，体现数形结合的思想，也不失为一个好办法。4.3三角函数问题 数形结合思想体现在三角函数中是利用三角函数图像、单位圆中的三角函数线来求三角函数的定义域、单调区间、解不等式、比较大小等。对于前两方面的应用主要是利用三角函数的图像，相对于后两方面比较简单，故下面重点举例介绍数形结合思想如何利用三角函数线来解决比较大小及不等式证明的问题。例17.，从小到大的顺序是（ ）。分析：这些角都不是特殊角，求出值来再比较行不通，注意到，相差较大，容易利用单位圆上的三角函数线区分它们各自函数值的大小。设，（如图4.11

29、 所示），可知。答案：。 图4.12图4.11例18.已知，求证。分析：对于本题中给出的三个量，可用作差法比较出与的大小，但是与的比较就较困难了。若想到借助三角函数线来比较，就比较容易。证明：如图4.12，在单位圆中作，过点作切线交于，连结，作于点，记扇形的面积为，显然由三角形的面积可知有下列不等式存在：，即，即，也就是说。4.4方程与不等式问题 在利用数形结合思想来处理不等式时最主要的是要把握一个思想，就是哪一部分图像在上面，则在这部分图像所对应得区间上，在上面的图像的函数值就要大于在下面的图像的函数值；另一种情况则反之。对于方程的话正好是两个图像相交的问题。此外，还可以利用数形结合来解决高

30、次不等式的问题，即我们平时所说的穿针引线法，方便快捷。但这些简单的判断都是建立在比较准确的图形上的，所以能准确地画出图像是解题的关键。处理方程问题时，把方程的根的问题看做两个函数图像的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。74.4.1方程根的分布例19.求方程解的个数。图4.13解：函数,的图像很容易能画出（图4.13），可以看出当和时这两个函数不可能有三个交点，而当时有三个交点。显然方程的解的个数即时这两个函数，的图像交点的个数，据数形结合知它们交点的个数是3，故原方程有3个不同的解。点评：此题如果用其它一般的求方程的方法来

31、求是不适宜的，例如通过移项，两边同乘，除同一个数，平方，开方，积分，微分等常用的解方程的方法将无济于事。根据函数的性质进行分段的讨论又将很复杂，而且很容易就出错，甚至得不出正确的结果。但是用了数形结合的方法却清晰、快速、准确地求出了答案。例20.已知，则方程的实根的个数（ ）。图4.14分析：判断方程的根的个数就是判断图像与的交点的个数，画出两个函数图像（图4.14），易知两图像只有两个交点，故方程有2个实根。点评：解题过程中遇到复杂函数（如指数、对数、根式、三角）讨论方程解得个数，其基本解题路径是先把方程两边的代数式看做是两个熟悉函数的表达式，然后在同一坐标系中做出两个函数的图像，图像的交点

32、即为方程解得个数。4.4.2方程的根与参数的关系例21.设，关于的一元二次方程有两实根，且，求的取值范围。分析：此题告诉我们方程有两个根，所以可考虑解出两根，再把两根带入求解不等式即可。显然这样的思路想来简单，但求解却是非常困难的事情，所以我们不得不考虑其他办法。若我们令:，那么问题就可转化为二次函数与轴应有两个交点，而交点的位置一个在内、一个在内，由图4.15可列出图像应满足的条件并求解：或 图4.154.4.3不等式问题不等式是高中数学的重要内容，而利用数形结合法能快速地求出不等式的解集，解决不等式含参问题，以及证明一些较复杂的不等式。104.4.3.1求不等式的解集例22.解不等式。解法

33、一（常规解法）：原不等式等价于或解（1）得，解（2)得综上所述，原不等式的解集为或。解法二（数形结合法）：令，则不等式的解就是使的图像在的上方的那段对应的横坐标。图4.16如图4.16，不等式的解集为，而可由解得，故不等式的解集为。点评：本题若按常规的代数解法需要分多种情况讨论，过程比较繁琐并且容易产生遗漏现象，但在解法二中我们采用的是用数形结合和的方法，把不等号的两边分别构造成两个函数，然后利用图像来找出所要满足不等关系的自变量范围，这样得出答案非常直观、简洁。4.4.3.2求参数的取值范围例23.若不等式的解集是，则实数的取值范围是（ ）。 分析：令，则的图像是以为圆心，为半径的圆的上半部

34、分，包括点，不包括点，的图像是斜率为的直线，由已知的解集是，即要求半圆在直线的上方，由图4.17可知，所以选。图4.18图4.17点评：本题也可以从与这两种情况来讨论，前一种情况显然成立，对于后一种情况，可等价于，这里由于开口向上，判别式大于0，则需要限制，最后是无解，综合两种情况得出。对比例题的解法，它要求学生有较强的分类讨论能力及数形结合的能力，同是从形的角度思考问题，例题的数形结合就显得直观，并且易懂。4.4.3.3证明不等式例24.，求证：。分析：初看此题，似乎毫无思绪，仔细观察不等式左侧，我们可以将其看做是四个距离的和，从而将不等式问题转化成几何问题，利用数形结合思想便可以轻松求证了

35、。证明，如图4.18，建立直角坐标系，其中,，在中，,，同理在中，由+即可得到欲证不等式，与，与同时共线时取等号，即此时点为正方形的中心。点评：利用数形结合处理不等式问题时，可以将不等式通过转化，放在三角形中，利用三角形三边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来证明不等式，从而使问题直观易解。4.5数列问题数列可看成是以为自变量的函数，其里面蕴含着许多数形结合的思想，学会用数形结合的思想来解决数列问题不仅使解题过程直观简洁，而且还有利于培养学生思维的灵活性、直觉性，优化学生的思维。在利用数形结合思想解决数列的有关问题时，我们可借助相应的函数图象来解决：等差数列的通项是关于的函数，即

36、，其图像是同一直线上一群离散的点，若它的公差，则是常数函数，若它的公差，则是关于的“一次函数”；等差数列的前项和公式是关于的“二次函数”，其对应点在同一抛物线上，此抛物线一定过原点，而点在直线上；等比数列的通项公式及前项和公式，其图像是指数型函数曲线。例25.若数列为等差数列，求。图4.20图4.19分析：如图4.19，不妨设，根据等差数列关于的图像是一条直线上均匀排开的一群孤立的点，故三点，共线，。解：不妨设，由于等差数列可看成是自然数的一次函数，点是该直线上的一群孤立的点，故三点，共线，有，即，得，即。点评：本题也可以从等差数列的通项公式入手，通过列方程组解出首项与公差，然后再代入公式求出

37、，但如果采用例题的解法，则解题思维显得创新，并且把等差数列通项公式的本质：一次函数，挖掘出来，充分利用斜率来列出各个式子的关系。例26.设等差数列的前项和为，已知，若公差，问，中的哪一个数值最大，并说明理由。分析：设等差数列的首项为，令，则是抛物线的图像（图4.20)上的点。又，故抛物线顶点的横坐标满足由于，离最近的整数点为6，则最大。点评：数列是一种特殊的函数，数列的通项公式及前项和公式可以看做是关于正整数的函数。例27.已知数列成等差数列，成等比数列，公比且，试比较与的大小。解:等差数列的图像为直线，等比数列的图像为指数函数，是开口向上的凹函数，由于直线与指数函数相交于和，所以直线的中点应

38、在指数函数的中点的上方，从而，当且仅当，为常数列时等号成立。4.6复数问题例28.已知复数的模为，则的最大值为（ ）。 解：如图4.21，表示圆心在原点，半径为的圆，由复数加减法的三角形法则和模的定义知：点评：本题运用“数形结合法”，把复数的性质与复平面上的向量表示、代数运算的几何意义等都表达得淋漓尽致，体现了数形结合的生动活泼。一般地，复图4.21数问题可以利用复数的几何意义而将问题变成几何问题，也可利用复数的代数形式、三角形式、复数性质求解。例如，本题也可这样求解：，所以 4.7解析几何问题 在前面所提及的各类应用问题中，我们往往是将一些数的计算问题转化为图形问题以辅助求解，而解析几何问题

39、却恰恰相反。数形结合是解决此类问题的基本思想，在应用时要将图像与相关定义与性质结合起来，因此要求对圆、椭圆、双曲线、抛物线等图形的性质与几何意义理解。同时每年的高考中解析几何是必出的题目，因此，数形结合思想在本处的应用具有重要的实际意义。虽然，在解此类题时，有时没画出图形来，但在进行的过程中是离不开图像的，或在草纸或在脑中进行。例29.已知圆，为圆上的任一点，求（1） 的最大值与最小值；（2） 的最大值与最小值。分析：由易联想到其几何意义是点与点所确定的直线的斜率，而由又可联想到“目标函数”，可视为动图4.22直线截距的最值问题。解：（1）如图4.22，设，由得,的最大、最小值分别为过点的圆的

40、两条切线的斜率。将整理为， 解得的最大值为，最小值为。（2） 令，则可视为一组平行直线系，当直线与圆有公共点时，的范围可求，最值必是直线与圆相切时取得， 解得，的最大值为，最小值为4.8立体几何问题 与解析几何问题一样，我们也是从“以数辅形”来解决立体几何问题，因为大多数几何问题用纯图形知识求解（如几何法），较麻烦、困难，但若恰当地转化成数的问题，则显得较为简单（如向量法、向量坐标法)，下面就举一个例子进行说明。例30.在正方体中，、分别是、的中点，求证：面.证明（几何法）：如图4.23，连结, 面是在面上的阴影又是正方形 又、分别是、的中点 图4.23 进而由三垂线定理知：. 同理可证面证明

41、（向量法）：如图4.24，设正方体棱长为，并建立坐标系，则,， 即 ,图4.24 即面点评：从这两种解法看，利用空间向量的坐标运算，把原来较为复杂的纯几何逻辑推理转化成了现在较为简单的向量计算问题，大大节省了解题的时间，而在立体几何中，像这样的转化方法不胜枚举。 从以上各方面的应用看到数形结合思想具有如下特点：思路上的灵活，过程上的简便，方法上的多样化，它为我们提供了多条解决问题的通道，使学生灵活性、创造性的思维品质在其中得到了更大限度的发挥。因此，在高中数学解题中，我们要灵活地使用数形结合方法来思考、分析问题，从而提高解题的效率。 第五章 数形结合的解题误区当我们将一个数学问题转化为一个特定

42、的图形之后，我们便可创造性地分析问题的解法；代数演算的确切性可以帮助我们定量地探讨几何图形的位置及关系，当我们将一个几何问题代数化以后，我们便可抽象性地探索问题的解法。然而，在第二章我们也说过，数形转化的过程中必须遵循三条原则：等价性原则，双向性原则，简单性原则。如果违反了上述原则，常常会步入数形结合的误区。本章从以下五个方面阐述数形结合不当将会引起的错误。3误区一：“形”的不精确。几何图形的优点是具有直观性，但是构图不精确往往造成错觉性的误解。例31.求函数与在上交点的个数。分析：根据题意，考虑函数与在上交点的个数，因为函数是我们熟知的三角函数，所以我们常利用函数的图像解决问题，因此，如图所

43、示。误解：认为与在上有一个交点，因此根据对称性，函数与图5.1在上交点的个数为3个。正解：事实上，函数与在上并没有交点。因为根据，即，解得或，因此。故函数与在上的交点只有一个，即坐标原点。点评：本题所犯的错误时由于对正切函数与正弦函数的几何性质认识不清而导致作图不精确，从而出现无中生有的错误。从上面这个例子我们想到，运用“数形结合”解题时，既要利用图形的直观性观察，又要利用“数”的精确性，准确绘制图像，不要讲“数形结合”片面理解为“用纯粹图形解决数量问题”。只有数形结合且为补充才能求得正确的解答。误区二：形的不全面。对于某些数学问题所对应的图形可能不止一种，这时要根据不同情况分别进行讨论求解。

44、例32.过双曲线的右焦点作直线与曲线交于，两点，试用离心率及、两点的横坐标，表示弦。分析：求焦点弦长可用焦半径公式，注意到、两点的不同位置，就不会出现只考虑、的位置只在双曲线的右支上，而也可能分别在左右两支上的情形，如图1，当、同在双曲线的右支上时(图5.2），；当、分别在双曲线左、右两支上时（图5.3），。本题计算的性质由几何图形的性质而来，考虑到图形各种不同位置可能引起的不同结果，使得解答全面准确。y 图5.2图5.3误区三：数形结合逻辑循环。在运用数形结合法解决问题时，有些同学会习惯地将要证的熟悉结论当已知条件用，这时，数形结合就会出现逻辑循环，不仅解决不了问题，还制造出了错误。例33.

45、用解析法证明直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等。误解：如图，是任意直角三角形，设，,则斜边AB的中点的坐标是，。点评：本题犯了循环论证的错误。命题“直角三角形中斜边的中线长等于斜边长的一半”与本题要证的结论属于同一层次的等价命题，图5.4两个命题中的任何一个命题都是另一个命题的直接推论，用其中一个命题作依据来说明另一个正确，属于循环论证的推断错误。误解中坐标系的建立，看上去是考虑了直角三角形位置的一般情况，具有普遍意义，其实是不理解解析法，从形式上看进行了数量化的分析，但其中关键的等量关系还是由几何定理直接得出，使得证明中的数量化成为形式摆设，固而也不符合题目在方法上的要求。误区四：数

46、形转化的不等价。利用数形结合解决数学问题时要注意转化的等价性，我们常常是由“形”观察出“数”，由“数”构造出“形”，这中间的观察与构造并未进行严格的逻辑推理，加之审题不周到，造成数形转化的不等价而出现误解。10例34.已知方程有两个实根在与之间，求的满足条件。错解：令，结合题意画出图5.5中的，再由图像列出不等式组 图5.5正解：事实上，不等式组并不与题意等价，图5.5中的也满足不等式组，但两实根均大于，还可以举出两实根均小于的反例。若不等式组与图 的等价，需加上对对称轴条件限制：，即。误区五：忽略数形结合的简单性。数形结合的核心与灵魂是“结合”。解题时由于观察与联想的视角不同，会出现不同的“结合”，“结合”得好就得到好的解题方法，“结合”得不好就使解题