向量基本知识点

1、向量一、向量知识框架1. 向量相关知识2. 向量基本知识点二、基本概念与原理1. 向量相关概念1.1 向量：有大小有方向的量。向量的大小称为向量的模，记为1.2 有向线段：具有方向的线段。有向线段的三要素：起点、方向、长度1.3 零向量：长度为的向量。单位向量：长度等于个单位的向量1.4 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量零向量与任一向量平行1.5相等向量：长度相等且方向相同的向量2. 向量线性运算2.1 向量加法运算法则：三角形法则平行四边形法则三角形法则的特点：首尾相连；平行四边形法则的特点：共起点2.2 向量减法运算法则：三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量2.

2、3 运算性质：交换律：；结合律：；2.4 向量数乘运算：实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作且有；当时，的方向与的方向相同； 当时，的方向与的方向相反；当时，运算律：；3. 平面向量基本定理：3.1 如果和是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使。其中不共线的两个向量和叫做这一平面内所有向量的一组基底3.2 已知两个非零向量和，作，。则AOB（）叫做向量和的夹角。显然，时，向量和同向；时，向量和反向3.3 如果向量和的夹角是，则向量和垂直，记作。4. 向量坐标表示4.1 正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量。在直角坐标系中，取与x

3、轴方向相同单位向量，取与y轴方向相同的单位向量，以这两向量为基底，平面内的任意一个向量都有：。4.2 坐标表示：平面内的任一个向量都由一组x,y唯一确定，我们把这样的有序数对（x，y）叫做向量的坐标。记为，该记法称为向量的坐标表示。4.3 向量坐标运算设，两向量和（差）的坐标分别等于这两向量相应坐标的和（差）。，实数与向量积的坐标等于用这个实数乘以向量相应的坐标。若，则一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标。4.4 共线、垂直坐标表示设，或；或5. 向量数量积5.1 平面数量积向量已知两个非零向量和，把数量叫做向量和的数量积或内积，记作，即，其中是向量和的夹角。5.2 向

4、量投影（）叫做在方向上（或在方向上）的投影。规定：零向量与任一向量的数量积为0。5.2 运算律；5.3 数量积坐标表示设，两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积之和。5.4 向量模坐标表示若，则，或模模5.5 设，是向量和的夹角，6. 空间向量定义6.1空间向量：与平面向量一样，在空间中，具有大小和方向的量。向量的大小叫做向量的长度或模；零向量：长度为0的向量，记为：。单位向量：模为1的向量。6.2相反向量：与向量长度相等，方向相反的向量，称为向量的相反向量。记为相等向量：长度相等且方向相同的向量。6.3直线的方向向量：直线l平行于非零向量，则称向量是直线l的方向向量。6.4共面向量：平行于同一个平面的向量。7. 运算律交换律：；结合律：；8. 平行向量定理空间任意两个向量，9. 空间直线的向量表示形式如图，直线l为经过已知点A且平行于向量，对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使。在直线l上取，则有。6.5 向量共面定理如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在惟一的有序实数对，使推理：如图，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对，使。或对空间中任意点O，有。6.6