第4节-平面汇交力系

1、第四节 平面汇交力系 一、平面汇交力系合成的几何法和平衡条件各力作用线在同一平面内，并且汇交于一点的力系称为平面汇交力系。在图7-6中的梁和吊环都是受到平面汇交力系作用的例子。 c) d) 图7-l5 平面汇交力系合成的几何法设刚体上作用有一个平面汇交力系F1、F2和F3，见图715a； 根据力的可传性，可简化为一个等效的平面共点力系见图7-15b；连续应用力三角形法则，见图715c：先将F1和F2合成为合力 F12， 再将 F12与 F3合成为合力F，则F就是力系的合力。如果只需求出合力F，则代表F12的虚线可不必画出，只需将力系中各力首尾相接，连成折线，则封闭边就表示合力F，其方向与各分力

2、的绕行方向相反。比较图715c和图715d可以看出，画分力的先后顺序并不影响合成的结果。这种用作力多边形来求平面汇交力系合力的方法称为几何法。显然，上面求两力合力的力三角形法则是力多边形法则的特例。同时对于有n个力的平面汇交力系，上述方法也是适用的。可见平面汇交力系合成的结果为一个合力F，它等于各分力的矢量和，写为 （7-3）显然，物体在平面汇交力系作用下平衡的必要和充分条件是力系的合力等于零，即 （7-4）如上所述，平面汇交力系的合力是用力多边形的封闭边来表示的。当合力等于零时，力多边形的封闭边（图7-15 c和d中的F边）不再存在。所以平面汇交力系平衡的几何条件是力系中各力构成自行封闭的力

3、多边形。二力平衡公理中的两力等值、反向、共线，其合力等于零，它是平面汇交力系中最简单的平衡力系。 二、平面汇交力系合成的解析法和平衡条件 1力在坐标轴上的投影图7-16 力在坐标轴上的投影设有一力F，见图 7-16，在力F作用平面内选取直角坐标系Oxy，过力F的起点A和终点B分别向x轴和y轴作垂线，得垂足a1、bl和a2、b2，则线段a1bl和a2b2分别称为力F在x轴上和y轴上的投影，并分别用Fx和Fy表示。 设力F与x轴所夹的锐角为，则求力F的投影的表达式为 （7-5）当由a1到bl和a2到b2的指向分别与x轴、y轴的正方向一致时取“”，反之取“”。在图7-l6 中，Fx应取“”，Fy应取

4、“”号，即 需要注意：力是矢量，而力在坐标轴上的投影则是代数量。 2合力投影定理 设有力系F1，F2，Fn，其合力为F。则由于力系的合力与整个力系等效，所以合力在某轴上的投影一定等于各分力在同一轴上的投影的代数和（证明从略），这一结论称为合力投影定理。写为 (7-6) 3平面汇交力系合成的解析法和平衡条件 用解析法求平面汇交力系合力的步骤如下： l）由式（7-5）求出各分力在两坐标轴上的投影； 2）由式（7-6）求出合力F在两坐标轴上的投影Fx和Fy； 3）由下式求出合力的大小 （7-7） 平面汇交力系平衡的条件为合力F0。由上式可知，必须分别等于零。因此可得平面汇交力系平衡的解析条件为 (7

5、-8) 即力系中各力在两个坐标轴上的投影的代数和应分别等于零。 式（7-8）通常称为平面汇交力系的（解析）平衡方程。这是两个独立的方程，因此可以求解两个未知数。 例7-3 图7-17a所示为一利用定滑轮匀速提升工字钢梁的装置。若已知梁的重力W15kN，几何角度45°，不计摩擦和吊索、吊环的自重，试分别用几何法和解析法求吊索1和2所受的拉力。 a） b） 图7-17 平面汇交力系解题举例 解： 1几何法 1）取梁为研究对象。 2）受力分析。梁受重力W和吊索1、2的拉力Fl和F2的作用。其中W的大小和方向均为已知；Fl和F2为沿着吊索方向的拉力，大小待求，且三力组成平面汇交力系，并处于平

6、衡。 3）作出梁的受力图，见图717b。 4）列出平衡方程。 即 5）解方程，即作出矢量封闭图，求出待求量。首先选取适当的力的比例尺F5kN/cm，见图7-17c；然后画出已知力W，即取JK=W/F(15/5)cm3cm，见图717d，并从力W的末端K和始端J分别作力Fl和F2的方向线，得交点L，则KL即为力Fl，LJ即为力F2。量得两线段的长度为KLLJ2.1cm，因此吊索1、2的拉力为 或按几何关系计算 2解析法 1）、2）、3）选梁为研究对象、受力分析、作受力图，以上步骤均同几何法。4）列平衡方程 5）解方程组，可得 Fl和F2的方向如图7-17b所示。本装置中，当角度(0°9

7、0°)改变时，拉力Fl和F2将如何变化？如何求吊索3的拉力F3？请自行分析求解。（答：在图7-17d的力三角形中，W一定，若角度减小，则拉力Fl和F2将减小；增大，则拉力Fl和F2将增大。取吊环和梁整体为研究对象，吊索3的拉力F3W，方向向上）补例1 支架如补例1图所示，由杆AB与AC组成，A、B、C处均为铰链，在圆柱销A上悬挂重量为G的重物，试求杆AB与AC所受的力。补例1图解 (1)取圆柱销A为研究对象，画受力图 作用于圆柱销A上有重力G，杆AB和AC的作用力FAB和FAC(补例1图c)。因杆AB和AC均为二力杆(补例1图b)，所以力FAB和FAC的方向必分别沿杆AB和AC两端的

8、连线，指向暂假设。圆柱销A受力如补例1图c所示，显然这是一个平面汇交的平衡力系。(2)列平衡方程 建立坐标系如图所示，列平衡方程 由式得 杆AC受压 将FAC代入式得 杆AB受拉补例2 补例2图所示为一夹紧机构，杆AB和BC的长度相等，各杆自重忽略不计，A、B、C处为铰链连接。已知BD杆受压力F=3kN，h=200mm，l=1500mm。求压块C加于工件的压力。补例2图解 (1)取DB杆为研究对象，作用于DB杆上有压力F，杆AB和BC作用的力FAB和FBC，设二力杆AB和BC均受压力(补例2图c)，因此DB杆受力如补例2图b所示。这是一个平面汇交的平衡力系。建立直角坐标系xBy，列平衡方程 解得 (2)取压块C为