第三章一阶微分方程的解的存在定理

1、第三章 一阶微分方程的解的存在定理教学目的：使学生掌握解的存在唯一性定理的内容及证明思想、延拓定理、解对初值的连续依赖性和可微性定理的内容；掌握逐次逼近法；会判断解的存在区间；了解奇解的概念和解法教学内容：1、 解的存在唯一性定理与逐次逼近法解的存在唯一性定理及其证明、Lipschitz条件、Picard逼近序列、逐次逼近法2、 解的延拓定理与延拓条件3、解对初值的连续依赖性和可微性定理4、奇解、包络、奇解、Clairaut方程教学重点：解的存在唯一性定理及其证明教学难点：解的延拓定理、解对初值的连续依赖性、可微性定理的证明教学过程：§3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法3.1.1

2、 存在唯一性定理定理如果在上连续且关于满足李普希兹条件，则方程 (3.1)存在唯一解定义于区间上，连续且满足初始条件 （3.3）其中可用皮卡（Picard）逐步逼近法证明这个定理，此外，用欧拉折线法（差分法）、绍德尔（Schouder）不动点方法等亦可证明逐步逼近法的基本思想分五个命题来证明定理命题设是方程(3.1)的定义于区间上，满足初始条件 的解，则是积分方程（3.5）的定义于区间上的连续解，反之亦然现取，构造皮卡逐步逼近函数序列如下： (3.7)命题对于所有的，(3.7)中函数在上有定义、连续且满足不等式(3.8)命题函数序列在上是一致收敛的设，则也在上连续，且由(3.)又可知，命题是积

3、分方程（3.5）定义于区间上的连续解命题设是积分方程（3.5）定义于区间上的另一个连续解，则附注（84）附注2 由于利普希兹条件比较难于检验，常用在上对于的连续偏导数代替 附注（85）定理如果在点的某个邻域内，对所有变元连续，且存在连续偏导数；则方程(3.15)存在唯一解（未足够小的任意正数）满足初始条件3.1.2 近似计算与误差估计在(3.14)中令可得第次近似解和真正解在区间 (3.19) 在近似计算时，可根据误差的要求，选取适当的逐步逼近函数例方程定义于矩形区域上，试利用存在唯一性定理确定过点的解的存在区间，并求在此区间上与真正解的误差不超过的近似解的表达式作业：P88 1、3、4、5、

4、7、9§3.解的延拓局部利普希兹条件，即对于内的每一点，有以其为中心的完全含于内的闭矩形存在，在上关于满足利普希兹条件解的延拓定理如果方程(3.1)右端的函数在有界区域内连续，且在内关于满足局部利普希兹条件，则方程(3.1)的通过内任意一点的解可以延拓，直到点任意接近区域的边界以向增大的一方的延拓来说，如果只能延拓到区间上，则当时，趋于区域的边界推论如果是无界区域，在上面解的延拓定理的条件下，方程(3.1)的通过的解可以延拓，以向增大的一方的延拓来说，有下面两种情况：(1) 解可以延拓到区间；(2) 解只可以延拓到区间，其中为有限数，则当时，或者无界，或者点趋于区域的边界例讨论方程的

5、分别通过点的解的存在区间例讨论方程满足条件的解的存在区间§3.解对初值的连续性和可微性定理3.3.1 解关于初值的对称性解关于初值的对称性定理设方程(3.1)的满足初始条件的解是唯一的，记为，则在表达式中，和可以调换其相对位置，即在解的存在范围内成立着关系式3.3.2 解对初值的连续依赖性引理如果函数在某区域内连续，且关于满足利普希兹条件，则对方程(3.1)的任意两个解，在它们的公共存在区间成立着不等式 (3.20)其中为所考虑区间内的某一值解对初值的连续依赖性定理设在区域内连续，且关于满足局部利普希兹条件，是(3.) 的满足初始条件的解，它在区间上有定义，则对于任意给定的，存在正数使得当时，方程(3.1)的满足条件的解在区间上也有定义，并且证明（略，见P96）解对初值的连续性定理 若在区域内连续，且关于满足局部利普希兹条件，则方程(3.1)的解作为的函数在它