移动倒立摆建模及串联PD校正设计

1、课 程 设 计课程设计任务书题 目:移动倒立摆建模及串联PD校正设计 图示为一个倒立摆装置，该装置包含一个小车和一个安装在小车上的倒立摆杆。由于小车在水平方向可适当移动，因此，控制小车的移动可使摆杆维持直立不倒。初始条件：要求完成的主要任务:（包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求）（1） 研究该装置的非线性数学模型，并提出合理的线性化方法，建立该装置的线性数学模型传递函数（以u为输入，为输出）；（2） 要求系统输出动态性能满足试设计串联PD校正装置。（3） 用Matlab对校正后的系统进行仿真分析，比较校正装置加在线性化前的模型上和线性化后的模型上的时域响应有何区别，并说明

2、原因。（4） 对上述任务写出完整的课程设计说明书，说明书中必须进行原理分析，写清楚分析计算的过程及其比较分析的结果，并包含Matlab源程序或Simulink仿真模型，说明书的格式按照教务处标准书写。时间安排： 任务时间（天）指导老师下达任务书，审题、查阅相关资料2分析、计算2编写程序1撰写报告2论文答辩1指导教师签名： 年 月 日系主任（或责任教师）签名： 年 月 日目录摘要I1 任务分析11.1 移动倒立摆动力方程及其传递函数12 PD校正设计32.1 未校正移动倒立摆系统时域响应32.2 PD校正环节参数选定43 分析比较94 小结体会10参考文献11摘要 在惯性参考系的光滑水平平面上，

3、放置一个可以水平于纸面方向左右自由移动的小车，一根钢性的摆杆通过末端的一个不计摩擦的固定点连接点与小车相连构成一个倒立摆。倒立摆和小车共同构成了单级移动倒立摆系统。倒立摆可以在平行于纸面的范围内自由摆动。倒立摆控制系统的目的是使倒立摆在外力的摄动下摆杆仍然能够保持竖直向上的状态。在小车静止的状态下，由于受到重力的作用，倒立摆的稳定性在摆杆受到轻微的摄动下就会发生不可逆转的破坏而使倒立摆无法复位，这时必须使小车在平行于纸面的方向通过位移产生相应的加速度。因此本设计是要通过理论分析得出在小车上施加的力u与输出倒立摆输出角度的传递函数关系，通过matlab仿真，对比校正前与校正后的单位阶跃响应的区别

4、。 关键词：倒立摆，仿真，校正。移动倒立摆建模及串联PD校正设计1 任务分析1.1 移动倒立摆动力方程及其传递函数 如图1.1，对于一长度为l，质量为m的单倒立摆，用铰链安装在质量为M的小车上，小车受电机操纵，在水平方向施加控制力u，相对参考坐标系产生位移x。要求建立该系统的线性数学模型传递函数（以u为输入，为输出）。 图1-1 倒立摆模型 设小车瞬时位置为，摆心瞬时位置为。 在水平方向，由牛顿第二定律： 式1-1 即： 式1-2 在垂直方向惯性力矩与重力矩平衡： 式1-3 即： 式1-4 当摆动幅度非常小时，令忽略 项，这样目的是为了把其中的非线性项作近似计算处理，使得其微分方程组线性化，更

5、好解出传递函数。 则有 式1-5 式1-6 由式1-5与式1-6联立求解得： 式1-7 其可等效为图1-2。 图1-2 传递函数框图 2 PD校正设计2.1 未校正移动倒立摆系统时域响应 对于未校正的移动倒立摆系统，经过计算并线性化后得到式1-7的传递函数，带入实际数据得， 在matlab中用simulink画出其结构图，如图2-1。 图2-1 未校正系统的simulink结构图 图2-2 未校正系统动态响应 由图2-2知，未校正前，在单位阶跃输入的情况下，其输出为趋向无穷的，即该系统是不稳定的系统。再由图2-3知，在S平面正半平面上有开环极点，从而也可以知道该系统是个不稳定系统。 根轨迹根据

6、未校正传递函数，通过matlab输入以下代码实现： num=-1; den=0.5 0 -12; rlocus(num,den); grid; xlabel ('Real Axis'),ylabel('Imaginary Axis'); title ('Root Locus'); 图2-3 未校正系统根轨迹2.2 PD校正环节参数选定由matlab仿真分析可知，该系统是不稳定系统，所以要想得到稳定的输出，必须对其加以修正。本课程设计要求使用PD校正，即在未校正的开环传递函数前加上一个比例微分环节。通过超前对信号进行校正处理从而使系统稳定。PD校正

7、的传递函数为，则将其加进去后，其闭环传递函数为： 式2-1根据任务要求其动态性能满足由经典二阶系统传递函数知： 式2-2 式2-3将式2-1再转化： 式2-4由此知，所以计算得,。取，。则： 式2-5通过matlab输入以下代码可算出校正后的超调量与调节时间，以及输出校正后的波形，代码如下：num=3.2 32;den=1 3.2 8;sys=tf(num,den);step(num,den,t)t=0:0.01:20 %设置采样点间隔y,x,t=step(num,den,t)maxy=max(y) %峰值yss=y(length(t)pos=100*(maxy-yss)/yss %超调for

8、 i=1:2001 if y(i)=maxy n=i;endendtp=(n-1)*0.01%峰值时间y1=1.05*yssy2=0.95*yss %调节时间while i>0 i=i-1 if y(i)>=y1|y(i)<=y2;m=i;break endendts=(m-1)*0.01 %调节时间，显示maxy=max(y) %峰值，显示yss=y(length(t) %稳态值，显示pos=100*(maxy-yss)/yss %超调，显示title('step response')grid其输出图像如图2-4，由此可得该系统是欠阻尼系统，且其输出最终达到稳定，说明经校正后系统由不稳定系统转换为稳定系统。 图2-4