第二节二重积分的计算

1、第二节 二重积分的计算教学目的：使学生掌握利用直角坐标及极坐标计算二重积分的方法教学重点：将二重积分化为二次积分教学过程： 一、利用直角坐标计算二重积分先介绍区域的表示： X-型区域: D : j1(x)£y£j2(x), a£x£b . Y -型区域: D : y1(x)£y£y2(x), c£y£d . 混合型区域: 设f(x, y)³0, D=(x, y)| j1(x)£y£j2(x), a£x£b. 此时二重积分在几何上表示以曲面z=f(x, y)为顶, 以

2、区域D为底的曲顶柱体的体积. 对于x0Îa, b, 曲顶柱体在x=x0的截面面积为以区间j1(x0), j2(x0)为底、以曲线z=f(x0, y)为曲边的曲边梯形, 所以这截面的面积为 . 根据平行截面面积为已知的立体体积的方法, 得曲顶柱体体积为 . 即 V=. 可记为 . 类似地, 如果区域D为Y -型区域: D : y1(x)£y£y2(x), c£y£d , 则有 . 例1. 计算, 其中D是由直线y=1、x=2及y=x所围成的闭区域. 解: 画出区域D. 方法一. 可把D看成是X-型区域: 1£x£2, 1

3、63;y£x . 于是. 注: 积分还可以写成. 解法2. 也可把D看成是Y-型区域: 1£y£2, y£x£2 . 于是. 例2. 计算, 其中D是由直线y=1、x=-1及y=x所围成的闭区域. 解 画出区域D, 可把D看成是X-型区域: -1£x£1, x£y£1. 于是 . 也可D看成是Y-型区域:-1£y£1, -1£x<y . 于是 . 例3 计算, 其中D是由直线y=x-2及抛物线y2=x所围成的闭区域. 解 积分区域可以表示为D=D1+D2, 其中; .

4、于是 . 积分区域也可以表示为D: -1£y£2, y2£x£y+2. 于是 . 讨论积分次序的选择. 例4 求两个底圆半径都等于r的直交圆柱面所围成的立体的体积. 解 设这两个圆柱面的方程分别为 x2+y2=r 2及x2+z2=r 2. 利用立体关于坐标平面的对称性, 只要算出它在第一卦限部分的体积V1, 然后再乘以8就行了. 第一卦限部分是以D=(x, y)| 0£y£, 0£x£r为底, 以顶的曲顶柱体. 于是 . 二. 利用极坐标计算二重积分 有些二重积分, 积分区域D 的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便

5、, 且被积函数用极坐标变量r 、q 表达比较简单. 这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分. 按二重积分的定义. 下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式. 以从极点O出发的一族射线及以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域D分为n个小闭区域, 小闭区域的面积为: , 其中表示相邻两圆弧的半径的平均值. 在Dsi内取点, 设其直角坐标为(x i, h i), 则有 , . 于是 , 即 . 若积分区域可表示为j 1(q)£r£j 2(q), a£q£b, 则 . 讨论: 区域如下图, 如何确定积分限? . . 例5. 计算, 其中D是由中心在原点、

6、半径为a 的圆周所围成的闭区域. 解 在极坐标系中, 闭区域D可表示为 0£r£a , 0£q £2p . 于是 . 注: 此处积分也常写成. 利用计算广义积分: 设D1=(x, y)|x2+y2£R2, x³0, y³0, D2=(x, y)|x2+y2£2R2, x³0, y³0, S=(x, y)|0£x£R, 0£y£R. 显然D1ÌSÌD2. 由于, 从则在这些闭区域上的二重积分之间有不等式 . 因为 , 又应用上面已得的结果有 , ,于是上面的不等式可写成. 令R®+¥, 上式两端趋于同一极限, 从而. 例6 求球体x2+y2+z2£4a2被圆柱面x2+y2=2ax所截得的（含在圆柱面