微积分疑难分析讲座

1、微积分疑难分析讲座 微积分疑难分析讲座 第一讲 函数 极限与连续22021/2/22华罗庚：华罗庚：“聪明在于学习，天才在于积累聪明在于学习，天才在于积累 “有的同志觉得我在数学方面有什么天才，有的同志觉得我在数学方面有什么天才，其实从我身上是找不到这种天才的痕迹的。其实从我身上是找不到这种天才的痕迹的。我读小学时，因为成绩不好就我读小学时，因为成绩不好就沒沒有拿到毕业有拿到毕业证书，初一时数学也是经过补考才及格的，证书，初一时数学也是经过补考才及格的，但从初二以后就发生了根本转变，我认识到但从初二以后就发生了根本转变，我认识到既然我的资质差些，就应该多用点时间来学既然我的资质差些，就应该多用

2、点时间来学习，这样数学成绩就不断进步。在根本技巧习，这样数学成绩就不断进步。在根本技巧烂熟之后，往往可以一个钟头就看完人家十烂熟之后，往往可以一个钟头就看完人家十天半月也解不透的文章，前一段时问的加倍天半月也解不透的文章，前一段时问的加倍努力，在以后却收到了意想不到的效果。努力，在以后却收到了意想不到的效果。32021/2/22华罗庚谈学习方法：华罗庚谈学习方法： 学习要不急不躁学习要不急不躁,细嚼慢咽。一步不懂不轻细嚼慢咽。一步不懂不轻易走下一步，每一方法都力求运用纯熟。读易走下一步，每一方法都力求运用纯熟。读十本八本，不甚理解，反不如把一本书从头十本八本，不甚理解，反不如把一本书从头到尾读

3、得精通烂熟。所谓烂熟不只是会背会到尾读得精通烂熟。所谓烂熟不只是会背会算，而是能掌握根本精神、根本原理，可以算，而是能掌握根本精神、根本原理，可以灵敏运用，并且必须注意连接性，按照深浅，灵敏运用，并且必须注意连接性，按照深浅，一本一本地学习下去。总之，学习科学知识一本一本地学习下去。总之，学习科学知识有如筑塔，级级上升，一级不稳就筑不上去。有如筑塔，级级上升，一级不稳就筑不上去。42021/2/22华罗庚谈学习方法：华罗庚谈学习方法： 学习是学习是“由薄变厚到由薄变厚到“由厚变薄的由厚变薄的过程。所谓过程。所谓“由薄变厚就是学习与承受的由薄变厚就是学习与承受的过程。譬如我们读一本书，加上自己的

4、注解，过程。譬如我们读一本书，加上自己的注解，就愈读愈厚，我们知道的东西也就就愈读愈厚，我们知道的东西也就“由薄变由薄变厚厚 了。但是了。但是“学并不到此为止，学并不到此为止，“懂懂并不到此为透。所谓并不到此为透。所谓“由厚变薄就是消化由厚变薄就是消化与提炼的过程。即把那些学到的东西加以消与提炼的过程。即把那些学到的东西加以消化，融会贯穿，提炼出关键性的问题来。到化，融会贯穿，提炼出关键性的问题来。到那时，你就会感到这本书变薄了。那时，你就会感到这本书变薄了。52021/2/22一、第一章的知识构造与框架是什么？一、第一章的知识构造与框架是什么？62021/2/22第一章第一章 知识框图知识框

5、图反反函函数数复复合合函函数数四四种种性性态态无穷小的运算与比较无穷小的运算与比较无穷小大量无穷小大量定定 义义两个重要极限两个重要极限单调有界准那单调有界准那么么 夹逼准那么连续点的分类连续点的分类映映射射函函数数 极极 限限数数列列的的极极限限函函数数的的极极限限连连续续函函数数初初等等函函数数连连续续性性根根本本初初等等函函数数分分段段函函数数极极 限限 的的 性性 质质初等初等函数函数部部分分保保号号性性复复合合运运算算四四那那么么运运算算闭区间连续函数性质闭区间连续函数性质最值定理最值定理介值定理介值定理有界性定理有界性定理零点定理零点定理 定定 义义部部分分有有界界性性72021/

6、2/22二、二、“函数这一部分应重点掌握什么？函数这一部分应重点掌握什么？82021/2/22:fXY :|( ),xyf xXfx ( ),yf xxX 1 1. .正正确确理理解解函函数数的的概概念念：定义：设定义：设 X 和和 Y 为两个非空实数集为两个非空实数集,假如存在假如存在某一确定的法那么某一确定的法那么 f，使得对于，使得对于 X 中的每一中的每一x，在在Y 中都有惟一的中都有惟一的 y 与它对应，那么称与它对应，那么称 f 为为定义在定义在 X上的函数，记为上的函数，记为其中 x 为自变量, y 为因变量, X 为函数 f 的定义域， 为函数 f 的值域. |( ),Zy y

7、f xxX ,X f两个根本要素两个根本要素: ( ),( ),( )f xf uf t92021/2/22 000lim arctan, lim arctanlimarctan.22111lim arctan, lim arctanlimarctan.22xxxxxxxxxxxx 不不 不不 2.熟熟悉悉基基本本初初等等函函数数的的图图形形及及性性态态 常常量量函函数数 幂幂函函数数 指指数数函函数数对对数数函函数数 三三角角函函数数 反反三三角角函函数数eeeeee111000lim, lim0lim.lim, lim0lim.xxxxxxxxxxxx 不 不 102021/2/22 1,

8、( )0,xD xx 为为有有理理数数狄狄里里克克莱莱 ( (DDi ir ri ic ch hl le et t) ) 函函数数 为为无无理理数数 yx 取取整整函函数数 1,0sgn0,01,0sgn|xxxxxx x 符符号号函函数数 有界函数、偶函数、非单调函数、周期函有界函数、偶函数、非单调函数、周期函数，周期为任一有理数，无最小正周期数，周期为任一有理数，无最小正周期. . 3.熟熟悉悉几几个个重重要要的的非非初初等等函函数数112021/2/22注注意意无无界界函函数数与与无无穷穷大大量量的的区区别别( )(,)0,(,),|( )|f xMxf xM 在在区区间间有有界界 使使

9、有有奇奇偶偶性性、周周期期性性、单单调调性性、有有界界性性 ( )sin(,).( )f xxxxf x 例例如如，在在区区间间无无界界, ,当当时时不不是是无无穷穷大大量量. . 4.掌掌握握函函数数四四个个特特性性的的判判定定00( )(,)0,(,),|()|f xMxf xM 在在区区间间无无界界 使使. ( )0,0,|,|( )|xf xMXxXf xM 当当时时为为无无穷穷大大量量 使使| |时时 有有122021/2/22( )sin ( )( )( )(,)( )(,1987)(.) f xxxAxBCDx 当当时时为为无无穷穷大大; ; 在在內內有有界界; ; 在在內內无无

10、界界; ; 当当时时有有有有限限极极限限研研2110 sin( )( )(199)( )3) (xxxABCD当当 时时, , 变变量量是是 无无穷穷小小; ; 无无穷穷大大; ; 有有界界但但不不是是无无穷穷小小; ; 无无界界研研但但不不是是无无穷穷大大. .132021/2/22例例如如用用极极限限表表示示函函数数6 6. .注注意意函函数数的的不不同同表表现现形形式式 5.能能将将复复合合函函数数分分解解为为有有限限个个基基本本 初初等等函函数数的的复复合合142021/2/22 , ,0, limmax, ,nnnnna b cabca b c 2(lim 1 (0),2 ( ) .

11、nnnnxf xxxf x 例例 )= )=求求 的的显显式式表表达达式式 1212P.92,2(2): lim 1 233,P.60,2: (0,1,2,)limmax,nnnninnnnmmnaimaaaa aa 教教材材复复习习题题一一教教材材例例, , ,152021/2/222( )max 12nnnxf xx 1,01x ,12xx 2,22xx y O 1y x yx 2 1 22xy 12162021/2/22三、怎样理解数列极限的三、怎样理解数列极限的“ 定义与定义与函数极限的函数极限的“ 定义定义 ,N 0,:.nNNn nNaxa 1 ,),).NaaaNxaa 任任给给

12、一一个个的的邻邻域域( (，总总存存在在正正整整数数 ，使使 得得从从项项起起，数数列列对对应应的的点点全全部部落落入入( (中中 0,:|.nNNn nNxa limnnxa数列极限的概念数列极限的概念, 172021/2/22 ().( ) ( ) ( ) () .nnnnnxaAaxBaxCaxDax 例例 数数列列 以以点点 为为极极限限的的充充分分必必要要条条件件是是 在在点点 的的任任何何邻邻域域之之内内有有数数列列 的的有有限限多多个个点点；在在点点 的的任任何何邻邻域域之之外外有有数数列列 的的无无穷穷多多个个点点；在在点点 的的任任何何邻邻域域之之内内有有数数列列 的的无无穷

13、穷多多个个点点；在在点点 的的任任何何邻邻域域之之外外有有数数列列 的的有有限限多多个个点点分分析析1 ,),) .NaaaNxaa 任任给给一一个个 的的邻邻域域( (，总总存存在在正正整整数数 ，使使 得得从从项项起起，数数列列对对应应的的点点全全部部落落入入( (中中nax点点 的的任任何何邻邻域域之之外外只只有有数数列列的的有有限限多多个个点点. .( ) 1,1, 1,1, 1,1,( 1) , nC ：182021/2/22212limlimkkkkxxa limkknnnkxxxa的的 子子列列都都有有 0,:|.nNNn nNxa limnnxa 0,|mnNNm nNxx 数

14、列极限的概念数列极限的概念192021/2/22)(xfy AAA0 x0 x0 xxyo00, 0, (, ), ( )xUxAf xA 函函数数极极限限的的概概念念00( )()lim( )xxf xUxf xA 在在有有定定义义，00, 0, :0 |,|( )|.xxxf xA 202021/2/22lim( )xf x 000,xxxxxx ,xxx 00,0,:0 |,| ( )|.xxxf xA 00( )()lim( )xxf xUxf xA 在在有有定定义义，( ), ( ), ( ),f xf xf x 函函数数极极限限的的概概念念 0,0,:,( )MXx xX f xM

15、 ( )f xA212021/2/220( )( )()f xAf xAxx 无无穷穷小小或或 无无穷穷小小 00(0)(0)f xf xA 00(),()()nnnxUxxxf xA n 00,0,:0 |,| ( )|.xxxf xA 00( )()lim( )xxf xUxf xA 在在有有定定义义，120120,0,(, ),|()()|x xUxf xf x 222021/2/22 1,( )0,xD xx 为为有有理理数数为为无无理理数数 ?00(,),lim( )xxxD x 0 lim()1,nnnxxxD x 取取为为有有理理数数, , 0 lim()0.nnnxxxD x

16、取取 为为无无理理数数, , 0lim( ).xxD x不不232021/2/22四四、极极限限的的性性质质及及运运算算法法则则应应注注意意什什么么问问题题？00( )( )lim( )lim( )xxxxf xg xf xg x 部分有界性部分有界性; ; (2) (2) 部分保号性部分保号性; ; (3) (3) 不等式性质不等式性质; ; (4) (4) 四那么运算法那么四那么运算法那么; ; (5) (5) 复合运算法那么复合运算法那么. .00000lim( ), lim( )lim()limlimxxxxxxxxxxf xg xfgfg 242021/2/220( )0( )(0)

17、0,lim2,0( )( ).1cos (A); (B)(0)0; (C); 1 990(D)xf xxf xfxf xxf 设设 在在 的的某某个个邻邻域域连连续续，且且则则在在处处不不可可导导可可导导, ,研研且且取取得得极极大大值值取取得得极极小小值值分分析析0( )( )lim2(0), 0,1cos1cosxf xf xUxx 1cos0 x 0 fx 在在 取取得得极极小小值值. .( )0(0), (0)f xfxU 252021/2/22: ( )( )( )lim ( )( )0,lim( )( ).( )(2000)( )().xxxxf xg xg xxf xABCD ，

18、则则且且等等于于零零; ; 不不一一定定等等于于零零; ;必必不不 ; ; 不不一一定定研研lim ( )( )0lim( )lim( )0lim( )lim( )xxxxxg xxg xxg xx lim( ) .xf x 由由夹夹逼逼准准则则知知00000lim( ), lim( )lim()limlim.xxxxxxxxxxf xg xfgfg 262021/2/22: ( )( )( )lim ( )( )0,lim( )( ).( )( )( )()2000.xxxxf xg xg xxf xABCD ，则则且且等等于于零零; ; 不不一一定定等等于于零零; ;必必不不 ; ; 不不

19、一一定定研研( )( )( )1,xf xg x ( )( )( ),xf xg xx lim ( )( )0, lim( )1 ,xxg xxf x lim ( )( )0, lim( )lim .xxxg xxf xx 不不272021/2/22 五五、 第第一一章章求求极极限限有有哪哪些些基基本本方方法法？ 利用左、右极限；利用左、右极限； 利用四那么运算或恒等变形利用四那么运算或恒等变形; 利用变量代换；利用变量代换； (4) 利用两个重要极限；利用两个重要极限； (5) 利用等价无穷小代换；利用等价无穷小代换； (6) 利用夾逼准那么；利用夾逼准那么； (7) 利用单调有界准那么；利

20、用单调有界准那么； (8) 利用连续函数利用连续函数.282021/2/223200sin6 ( )6( )lim0, lim( ) ( ) 0; 00( ) 6; ( ) 36; () ;xxxx f xf xxxABCD 2020 设设则则00000lim( ), lim( )lim()limlimxxxxxxxxxxf xg xfgfg 333000sin6( )sin6( )limlimlimxxxxxf xxxf xxxx 3220006( )6( )limlimlim0 xxxxf xf xxxx 292021/2/223200sin6 ( )6( )lim0, lim( ) (

21、) 0; ( ) 6; ( ) 36;200 );0 ( xxxx f xf xxxABCD 则则 设设 320020( )sin6( )0limlisim(n6m6)lixxxf xxxf xxxxxxxf 332000sin6( )( )6( )0limlimim6lxxxxxf xxf xf xxxxx 302021/2/22 3200sin6( )6( )lim0,lim()() 0;() 6;() 320;06();0 xxxxf xf xxxABCD 设设则则306sin6sin6( )limxxxxxf xx 33006sin 6sin 6()limlimxxxxxxfxxx 2

22、000研研 206( )limxf xx 解解1恒恒等等变变形形222001(6 )66cos62lim02lim363xxxxxx 306( )limxxxf xx 312021/2/22 3200sin6( )6( )lim0,lim()() 0;() 6;() 320;06();0 xxxxf xf xxxABCD 设设则则23006( )6sin6limlimxxf xxxxx 3300sin666( )limlimxxxxxxf xxx 2000研研 30sin6( )0limxxxf xx 解解236 恒恒等等变变形形30sin666( )limxxxxxf xx 322021/2

23、/22330006sin66sin6lim ( ) lim0lim36xxxxxxxxxx 3sin6( )0( ),xxf xxx 2000研研 22200sin66( )6( )limlimxxxxxf xxxx 解解32sin6( )( )xf xxxx 函函数数、极极限限与与无无穷穷小小的的或或无无穷穷关关系系小小的的概概念念 3200sin6( )6( )lim0,lim()() 0;() 6;() 320;06();0 xxxxf xf xxxABCD 设设则则332021/2/22o333006sin6()6sin6limlim036xxxxxxxxxo3sin6( )(),xx

24、f xx 2000研研 o32200()sin666( )limlimxxxxf xxxxx 解解4o3()sin6( )xxf xxx 高高阶阶无无穷穷小小的的定定义义 3200sin6( )6( )lim0,lim()() 0;() 6;() 320;06();0 xxxxf xf xxxABCD 设设则则342021/2/222200sin 666()limlimxxxfxxxx sin6( )0,xxf x令令 2000研研 sin6( )xf xx 解解5特特殊殊函函数数检检验验法法306sin6lim36xxxx 3200sin6( )6( )lim0,lim()() 0;() 6

25、;() 320;06();0 xxxxf xf xxxABCD 设设则则352021/2/22320coscos limsinxxxx 例例6212sico,n101s,.xuxuxu 令令则则，当当1110111lim112uuuu 1211lim1uuu 111011lim(1)(1)uuuuuu 32121lim1uuuu 原原式式解解变量代換变量代換362021/2/2231lim sinln(1)sinln(1)1996xxxx 研研31limsinln(1)limsinln(1)xxxxxx 033limlim312xxxxxx 31limln(1) limln(1)xxxxxx

26、31ln(1)0,ln(1)0,()xxx 等价无穷小代換等价无穷小代換 ln(1)(0)xx x sin(0)xxx372021/2/22e 2 cosln3301limxxxx 解解 原原式式= =1 0()xexx3012coslim132004xxxx 研研限限 求求极极： 302cosln3limxxxx = 2201112lim36xxx = 20cos13limxxx = 20cos1ln 13limxxx =1 0ln() ()xxx 211 02cos()xxx 00等价无穷小代換等价无穷小代換382021/2/22220(111lim, , , 0:( ) .2arctan

27、bxf xxa bxf xaxx ) ) 例例 巳巳知知求求使使解解 20(lim0 xf xx ) 22(1(11(0)2f xf xxxx ) ) ) 11 (0),xxx 20limarctan0 xx ()1( ) ( )( )0g xg xg x 440(lim1(0)1,4.xf xf xxxabx )20(lim 110 xf xx ) 22224000(1(11(12limlimlim,arctan22xxxf xf xf xxxxxx) ) ) ) 等价无穷小代換等价无穷小代換392021/2/22110(1)1 (1)1limmnxxxx 00limlimxxxxmnxxm

28、n 30tansin1lim2xxxx 3300tansinlimlim0 xxxxxxxx 011limmnxxxx 1100(1)1(1)1limlimmnxxxxxx等价无穷小代換等价无穷小代換需要注意的问题需要注意的问题402021/2/22110(1)1 (1)1limmnxxxx 3300tansinlimlim0 xxxxxxxx 1101)1(1)1lim1mnxxxxxmn 011limmnxxxx 0limxxxmnxmn 0tansinlim1xxxxx 等价无穷小代換等价无穷小代換需要注意的问题需要注意的问题412021/2/2240sinsin(sin)sin2008

29、limxxxxx 研研30sinsin(sin )limxxxx 03sinlimxxxxx 0sinsin(sin )lim1sinxxxxx 必必须须说说明明 否否则则，判判为为错错误误。16 ( sin, sin sin )sin(0)xxxxx ?422021/2/22两个重要极限两个重要极限 1012 lim 1,lim 1.xxxxexex sin ( )lim1 (:( )0)( )xf xxf xf x 0sin1 lim1xxx (1 ) ()1( )lim1( ):( )0f xxf xexf x e lim( )( )( )lim1( )(1 )(:( )0,( ).xf

30、 x g xg xxf xxf xg x =e lim( ) 1( )( )( )lim( )lim1( )1(:( )1,( ).xf xg xg xg xxxf xf xxf xg x 432021/2/22120 lim199.1xxnxxxeeen 求求研研 120lim 11xxnxxxeeen 解解 原原式式201limxxnxxeeenxne 1(12)nne 12ne 201(1) (1)(1)limxxnxxeeenxe 20001111limlimlimxxnxxxxeeenxxxe 1 442021/2/22222111lim12nnnnn 221nnnxnnn 22li

31、m1, lim11nnnnnnn 222111lim112nnnnn六六、怎怎样样利利用用夹夹逼逼定定理理求求极极限限？452021/2/2222212lim199251nnnnnnnnn 研研 22212nnxnnnnnnnnn 22212111nnxnnnnnn 2221111lim212nnnnn 221(1)1(1)2221nn nn nxnnnn 解解夹逼定理夹逼定理462021/2/22 lim1nnn 例例 证证明明：111nnn 2 () ?n 1nn 11(1 11)nnn 1nnn 12n472021/2/22 lim1nnn 例例 证证明明：211nnnn 1 ()n 1

32、nn 21(1 11)nnnn 22nnn 221nn证证1夹逼定理夹逼定理482021/2/22 ()11nnnnnnn lim1nnn 例例 证证明明： 20 |1|0 ()1nnnn 22(1)1(2)nnnn 2(1)(1)2nn nnn 2(1)1(1)(1)(1)2!nnnnn nnnnn 证证2用二项式定理用二项式定理492021/2/22七、怎样利用单调有界定理证明七、怎样利用单调有界定理证明数列极限存在并求极限？数列极限存在并求极限？502021/2/22( )(,),( ).( ) ()( ) ()( ) ()( ) ()2008nnnnnnnnnf xxA xf xBxf

33、 xCf xxDf xx 设设 在在内内单单调调有有界界为为数数列列 下下列列命命题题正正确确的的是是收收敛敛收收敛敛； 单单调调收收敛敛；收收敛敛收收敛敛； 单单调调研研收收敛敛. .分析 ( )(,),f x 在在内内单单调调增增加加( (单单调调减减少少) ), , 既既有有上上界界又又有有下下界界 1,0,( )1,0,xf xx ()arctan()2nf xnn 1, ,()1, ,nnf xn 为为偶偶数数为为奇奇数数nxn 发发散散, ,( ).A否否定定( )arctan ,f xx ( ),()CD否否定定. .( 1)0 ()nnxnn 512021/2/22( )(,)

34、,( ).( ) ()( ) ()( ) ()( ) ()2008nnnnnnnnnf xxA xf xBxf xCf xxDf xx 设设 在在内内单单调调有有界界为为数数列列 下下列列命命题题正正确确的的是是收收敛敛收收敛敛； 单单调调收收敛敛；收收敛敛收收敛敛； 单单调调收收敛敛. .分析 ( )(,),f x 在在内内单单调调增增加加( (单单调调减减少少) ), , 既既有有上上界界又又有有下下界界 ()nf x故故 收收敛敛. .(),nf xn 当当时时单单调调增增加加( (单单调调减减少少),), 既既有有上上界界又又有有下下界界( ).B选选 ( )nBx单单调调增增加加(

35、(单单调调减减少少) ), ,522021/2/22( ) ()( ) ()( ) ()( ) ()nnnnnnnnxf xf xxf xf xxf xf xxf xf x, , , , , , , , 532021/2/221103,(3) (1,2,)2002:,nnnnxxxxnx 设设 证证明明的的极极限限 并并求求极极限限分析lim(3)nnxaaaa令令 证证1 1 21111130(3)(3)22xxxxx 30,2aa110330,xx 1130(3)(3)22nnnnnxxxxx 3,.2nx由由归归纳纳法法知知有有上上界界( 3)nnnxxx 1(3)nnnnnxxxxx

36、(32)03nnnnxxxx 302nx 设设故故数数列列的的极极限限存存在在. .单调有界定理单调有界定理 .nx单单增增542021/2/221103,(3) (1,2,)2002:,nnnnxxxxnx 设设 证证明明的的极极限限 并并求求极极限限 证证2 2 0,nx 由由题题设设知知 130,2nx 22130nnnxxx , 22211333(,)()( ),222nnnnxxxyxx滿足滿足方方程程：且且 222133()( )(1,2)22nnxxn 11(,)4nnxx 点点在在上上左左半半 圆圆周周上上，1nnyxxx 故故 . .552021/2/22 (0 sin)xx

37、x ： ) 证证 ( (用用归归纳纳法法201,x 10, sin()nnnxxxxnN 1 1 设设满满足足 limnnxa 令令， ( (1 1) ) 分分 析析 2006 sinaa 则则 .故故需需证证单单调调递递减减有有下下界界0,a1,x 0,nx 设设101,nx 1sin,nnnxxx 21sinxx 10,x 211(1) lim ,(2)limnxnnnnnxxx 证证明明并并求求极极限限； 计计算算562021/2/22 2006 211limnxnnnxx 21sinlimnxnnnxxnxx (2)(1)lim0nnx 由由得得 ，16e 210sinlimxxxx

38、210sinlim 1xxxxx (1 ) e30sinlimxxxx 21110, sin() (1) lim ,(2)limnnnnnxnnnnnxxxxnNxxx 设设满满足足 证证明明并并求求极极限限； 计计算算572021/2/22 证证 111ln(1)()1ln(1)(1)1nNnnnxxxxx 1111ln()23nnxxnnNn 例例 证证明明数数列列的的极极限限存存在在：1nnxx 11ln(1)1nn 0.nx 单单调调递递减减1ln(1)ln1nnn 582021/2/22 31ln2lnlnln2nnn 3 41ln 2ln2 31nnnnn 1111ln()23nn

39、xxnnNn 例例 证证明明数数列列的的极极限限存存在在： 11ln(11)ln(1)ln(1)ln2nxnn 11ln(1)nn ln(1)ln00.nnnx 有有下下界界 111l0.5772156im 1ln26493nnnC 欧欧拉拉常常数数592021/2/22欧拉欧拉 ( Euler, 17071783 )瑞士数学家、物理学家瑞士数学家、物理学家. “沒沒有一个人能像他那样多产，像他那样巧有一个人能像他那样多产，像他那样巧妙地把握数学；也妙地把握数学；也沒沒有一个人能搜集和利用代有一个人能搜集和利用代数、几何、分析的手段去产生那么多令人数、几何、分析的手段去产生那么多令人欽欽佩佩的

40、成果。他是顶呱呱的方法创造家，又是一个的成果。他是顶呱呱的方法创造家，又是一个纯熟的巨匠。纯熟的巨匠。 一生论著一生论著800多种，发表多种，发表500多种，平均每年多种，平均每年800页论著，页论著，?欧拉全集欧拉全集?共共72卷。卷。 双目失明双目失明17年，口述年，口述400多篇论文与几本专著。多篇论文与几本专著。“数学家的英雄数学家的英雄“数学界的莎士比亚数学界的莎士比亚602021/2/2211(1) (2) (3) ( ,0), sin(0) 2ln(1) (1) ;1(4) nnnnxxxxababa bxx xxxxxx 用用单单调调有有界界准准则则证证明明数数列列极极限限存存

41、在在的的基基本本方方法法：分分析析数数列列的的变变化化趋趋势势, ,或或对对递递推推公公式式取取极极限限加加以以分分析析；证证明明单单调调性性：用用归归纳纳法法；考考察察 或或 等等；证证明明有有界界性性：用用归归纳纳法法；或或用用常常见见的的不不等等式式，例例如如等等有有时时用用已已证证的的单单调调性性证证有有界界性性或或 .有有时时用用已已证证的的有有界界性性证证单单调调性性612021/2/22八、怎样理解连续函数的概念？八、怎样理解连续函数的概念？怎样求函数的连续点并断定其类型？怎样求函数的连续点并断定其类型？622021/2/22000( )() lim( )()xxf xU xf

42、xf x 在在有有定定义义，且且 000,0,:|, |( )()|.xxxf xf x ( 0000lim()()xf xxf xxxx 000lim0()()xyyf xxf x 000(0)(0)()f xf xf x 0( )f xx在在点点 连连续续( , )( , ).a bC a b函函数数在在开开区区间间连连续续，记记为为 , , .a bC a b函函数数在在闭闭区区间间连连续续，记记为为632021/2/22 1,()0,xD xx 为为 有有 理理 数数为为 无无 理理 数数000(,), lim( )() .()xxxD xD x 处处处处不不连连续续 , ( )( )

43、 0, xxf xxD xx 为为有有理理数数为为无无理理数数?只只在在一一点点连连续续，而而在在其其他他点点都都不不连连续续的的函函数数0.x 为为第第二二类类间间断断点点( )D D x ?处处处处不不连连续续的的函函数数复复合合成成处处处处连连续续的的函函数数0lim( )0(0)xf xf 1642021/2/22 (0)11xxxx 解解 1 :x 0 ( )().xf x 是是 的的第第二二类类 无无穷穷 间间断断点点0lim()xfx 1()()xfx 是是 的的第第一一类类 跳跳跃跃 间间断断点点; ;,()0,fx :1,0;xx 间间断断点点 2005研研 11( ).1x

44、xf xe 求求 的的间间断断点点并并指指出出其其类类型型 (0)11xxxx 1 :x ,()1,fx 652021/2/22sinsinsin( )lim.sinxtxtxtf xx 求求 的的间间断断点点并并指指出出其其类类型型sin.xxesinsinsinsin( )lim 1sinxtxtxtxf xx 解解 1 1sinsinlimsinsinsintxtxxxtxe ( )().xkf x 是是 的的第第二二类类 无无穷穷 间间断断点点sinlim()lim, (1,2,)xxxkxkfxek 0()(xfx 是是的的第第一一类类 可可去去) )间间断断点点; ;0sinlim

45、,xxxee :0,(1, 2,).xxkk 间间断断点点 2001研研 662021/2/22( ) , ( ) , .f xC a bf xa b有有界界性性定定理理：在在 上上有有界界( ) , ,( )( ),( ( ),( )( ( ),( )( , ),( ).f xC a bf af bf af bf bf aa bf 介介值值定定理理： 或或 使使( ) , , (,)( , )( ).f xC a bMmm Ma bf 推推论论：其其最最大大、小小值值分分别别为为 、 ，使使 ()( ) , ,( )( )0( , ),( )0.f xC a bf af ba bf 零零点点

46、定定理理 根根的的存存在在定定理理 ：使使 ( ) , ( ) , .f xC a bf xa b 最最值值定定理理：必必在在上上取取得得最最大大值值与与最最小小值值九、怎样理解与运用闭区间上连续函数的性质九、怎样理解与运用闭区间上连续函数的性质?672021/2/22( )( , ),lim( ) lim( )0, ( , ) ( )0.xaxbf xC a bf xf xa bf 例例 设设且且试试证证使使 分分析析 1212,( , ),() ()0 xxa bf xf x需需证证 lim( )0,lim( )0,xaxbf xAf xB 不不妨妨设设111 , ( ,),()0,xa

47、af x 由由局局部部保保号号性性知知 222,(, ),()0,xbbf x 由由局局部部保保号号性性知知 121212,( , ),( ), () ()0,x xa bf xC x xf xf x 且且 证证1 1 12(,)( , )( )0.x xa bf 故故使使 682021/2/22 证证22 ( ),( ),f xaxbF xAxaBxb 作作辅辅助助函函数数 ( , ) ( )0a bF 使使 lim( )xaf x ( ) , ,( )( )0,F xC a b F a F b lim( )lim( )( )0,xbxbF xf xBF b ( , ) ( )0a bf 使使 lim( )( )xaF xF a A ( )( , ),lim( ) lim( )0,( , )( )0.xaxbf xC a bf xf xa bf 例例 设设且且试试证证使使 lim( )0, lim( )0,xaxbf xAf xB 不不妨