随机环境中马氏链的平均强遍历性

1、54孔生林:随机环境中马氏链的平均强遍历性随机环境中马氏链的平均强遍历性孔生林(芜湖职业技术学院基础部,安徽 芜湖,2410011.基本概念和定义设N +是非负整数,(X,A ,(,B 是两个可测空间,其中X 是可数的。P (, 是(X,A 上的随机转移矩阵族, 并且假设对任意A A ,P( ; ,A是关于BA 可测的。,0,1,2,n X X n =uu r L 和,2,1,0,1,2,n n =r L L 是分别取值于X 和的两个随机序列,X uu r 是随机环境r 中的马氏链,当=r r 时,称X uu r 为r -链。 定义1 向量(,f f x x X =u r 的范数(y f f

2、x =。定义2 实数矩阵(,(,x y X A x y =的范数sup (,x y A x y =。 定义3 称Q 是常数随机矩阵,如果随机矩阵Q 的每一行都相同。 定义4 称r -链是平均强遍历的,如果存在常数随机矩阵Q ,对任意m N +,使111lim (,0nm m k n k P Q n +=L 成立。2.主要结果及证明 定理1 r -链是平均强遍历的充要条件是存在一个概率分布q ,使对任意m N +,有(111lim sup ,0nm m k n k P q n +=L 。 证明:设Q 是每行均为q 的常数随机矩阵,因为(11,;,m m k m m k y xP q x P x

3、y q y +=L L 1(,;,(m m k y xx P x y q y +L 1(,;,(m m k x yx P x y q y +=L 1(sup (,;,(m m k x x yx P x y q y +L 1(,m m k P Q +=L ,所以 11sup (,(,m m n m m n P q P Q +L L 。 反之,设x 是单点分布,则1(,m m n P Q +L 1sup (,;,(m m n x yP x y q y +=L 1sup (,(x m m n x yP y q y +=L 1sup (,(m m n yP y q y +L 1sup (,m m n

4、P q +=L ,芜湖职业技术学院学报2005年第7卷第1期55故定理得证。 引理1 设一数列1,2,其中i 0, i =1,2, ,如果11lim 0nk n k a n =,则对任意m 0,有 11lim 0n m k n k a n +=。 证明:1111lim lim 0n n mm k k n n k k n m a a n n n m +=+=+。 引理2 设Q 是常数随机矩阵,则对任意n N +,P (n Q=Q 。定理2 设P 是齐次强遍历的马氏链,如果11lim (0nk n k P P n =,则r -链是平均强遍历的。 证明:由P 的强遍历性,存在常数随机矩阵Q 使|P

5、n -Q | 0,(n ,即对任意0,存在N 0,当n N 时,|P n -Q |N 时,由引理2,有111(,n m m k k P Q n +=L 111111(,(,N nm m k m m k k k N P Q P Q n n +=+=+L L 12121(,(,nm m k m m k k N N P P P n n +=+ + L L 11(,(,N Nm m k N m m k N P P P P +LL L 1(,N m m k N P P Q + + L1121(n N m k m k N k N N P P P P P Q n n +=+ + L 1121(3n m k

6、N m k k N P P P P n n += +L 由引理1知,存在M 0,当n M 时,使111(,1,1,3n m k N j k P P j N n N += =L 且(2N/n L 时,有111(,nm m k k P Q n +=L ,定理得证。 推论 设r -链和u r -链满足11lim (0nk k n k P P n =,P 是齐次强遍历的马氏链,如果 11lim (0nk n k P P n =, 则u r -链是平均强遍历的。 定理 3 r -链是平均强遍历的充要条件是存在常数随机阵列Q m ,对任意m N +,存在常数矩阵列Q mn ,使 111lim (,0n m

7、 m k mk n k P Q n +=L ,11lim 0nmk m n k Q Q n = (2.1 成立。证明: 对任意m N +,由(2.1式 111111lim (,11lim (,lim 0,m k n m m n k n nm m k mk mk m n n k k P Q n P Q Q Q n n +=+=+=L L (2.2 又由引理2 ,1111n m m m m k Q Q Q Q n =56孔生林:随机环境中马氏链的平均强遍历性11111(,nmm m k k Q P n += = L 111(,(m m k m m P P Q + + L 1111121(,n m

8、m m k k Q P n +=L 111(,nm m k m k P Q n +=+L , 由(2.2式及引理1,令n ,|Q m-1-Q |=0,从而Q m Q ,再由(2.2式,r -链是平均强遍历的。 反之,若r -链是平均强遍历的,令Q mn =Q m =Q ,必要性得证。文稿责编方孟雨参 考 文 献1 Cogburn R. The ergodic theory of Markov chains in random environmentsJ.Z W,1984,66(2:109-128.2 Cogburn R. On direct convergence and periodicit

9、y for transition probabilitics of markov chains in randomenvironmentsJ.Ann prob,1990,18(2:642-654.3 Li Ying-qiu,YAN Xiao-bing,LI Ming-liang.Uniformly weak ergodicity of Markov chains in readomenvironmeatsJ.Journal of Changsha Univresity of Electric Power(natural science,2003,18(3:1-5.4 Li Ying-qiu,Y

10、AN Xiao-bing,LI Ming-liang. Strong ergodicity of Markov Chains in random environmentsJ,Natural Science Journal of Xiangtan University,2003,25(3:126-130.摘 要:对随机环境中马氏链,Cogburn 1,2首次引入了初始时间在原点的弱遍历的概念,并且给出了链是弱遍历的一些条件。李应求等3,4引入了初始时间在任意点的一致弱遍历和强遍历的概念,并且给出了链是一致弱遍历和强遍历的一些条件。借鉴上述思想,引入了初始时间在任意点的平均强遍历的概念,并且给出了

11、链是平均强遍历的一些条件。关键词:随机环境中的马氏链;r -链;平均强遍历性。中图分类号:O13 文献标识码:A 文章编号:1009-1114(2005-01-0054-03Mean Strong Periodicity of Markov Chains in Random EnvironmentsKONG Sheng-linAbstract : For Markov chains in random environments, Cogburn 1,2 firstly introduced weakly ergodic concept that “starting time” is origi

12、nal point, and gave some conditions ensuring that the chains are weakly ergodic; Li Ying-qiu 3,4 introduced the definitions of uniformly weakly ergodicity and strongly ergodicity that “starting time” is any point and gave some conditions ensuring that the chains are uniformly weakly ergodicity and strongly ergodicity. The definitions of mean strongly ergodic that “starting time” is any point are introduced. Some conditions ens