初三数学圆知识点复习专题经典汇编

1、学习-好资料圆章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆;（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平彳-5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:二、点与圆的位置关系1、点在圆内 =d r = 点C在圆内；2、点在圆上

2、 = d = r 二 点B在圆上；3、点在圆外 二 dr 二 点A在圆外；三、直线与圆的位置关系亍于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。ArdOcd2、直线与圆相切有一个交点;3、直线与圆相交有两个交点;更多精品文档四、圆与圆的位置关系外离（图1）=无交点 一d R r ；外切（图2）有一个交点相交（图3）口有两个交点内切（图4）二有一个交点内含（图5）二无交点 一d ： R - r ;图5AB五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论1： （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧;（2）

3、弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧;（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共 5个结论中，只要知道其中 2个即可推出其它3个结论，即:AB是直径 AB_LCD CE=DE 弧BC =弧BD 弧ACAD中任意2个条件推出其他3个结论。推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在。O中，AB心D.MAC =弧 BD例题1、基本概念1.下面四个命题中正确的一个是()A.平分一条直径的弦必垂直于这条直径 C.弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 2.下列命题中，正确的是().A .过弦的中点的直线平分弦所对的弧B .平分一条弧的

4、直线垂直于这条弧所对的弦D.在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心B.过弦的中点的直线必过圆心C.弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D.弦的垂线平分弦所对的弧例题2、垂径定理1、在直彳空为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm,那么油面宽度 AB是 cm.2、在直彳仝为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，如果油面宽度是 48cm,那么油 的最大深度为 cm.3、如图，已知在。中，弦AB = CD ,且AB1CD ,垂足为H , OE_L AB于E , OF _L CD于F .(1)求证：四边形OEHF是正方形.(2)若CH =3,

5、DH =9 ,求圆心。到弦AB和CD的距离.4、已知： ABC内接于。O, AB=AC ,半径OB=5cm ,圆心 O到BC的距离为3cm,求AB的长.5、如图，F是以O为圆心，BC为直径的半圆上任意一点，A是管的中点，ADLBC于D,求证：AD=BF.例题3、度数问题1、已知：在。O中，弦AB=12cm, O点到AB的距离等于 AB的一半，求：/AOB的度数和圆的半径.2、已知：O O的半径OA=1,弦AB、AC的长分别是 弋2、J3 .求/BAC的度数。例题4、相交问题,求CD的长.如图，已知。O的直径 AB和弦CD相交于点 E, AE=6cm , EB=2cm , / BED=30例题5

6、、平行问题在直彳至为50cm的。中，弦AB=40cm ,弦CD=48cm ,且AB / CD,求：AB与CD之间的距离.例题6、同心圆问题如图，在两个同心圆中，大圆的弦 AB,交小圆于C、D两点，设大圆和小圆的径分别为a,b.求证：AD BD =a2 -b2.例题7、平行与相似已知：如图，AB是。的直径，CD是弦，AE_LCD于E, BF _L CD于F .证： EC=FD.六、圆心角定理半求圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的 3个结论，即： NAOB =NDOE; AB = DE;

7、 OC=OF ; 弧 BA=MBD七、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一即：/AOB和/ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角AOB =2 ACB2、圆周角定理的推论：推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的此定理也称1圆周角所对的弧是A等弧；学习-好资料更多精品文档即：在。中，/C、/D都是所对的圆周角C =/D推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在。中，AB是直径或 C =90C =90 .AB是直径推论3:若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在ABC 中， OC=

8、OA=OB，MBC是直角三角形或 /C=90白注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。【例1】用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图形 是半圆环形？3-3-19所表示的情形，四个工件哪一个肯定【例长.【例2】如图，已知。中，AB为直径，AB=10cm弦AC=6cm / ACB的平分线交。于D,求BG AD和BD的3】如图所示，已知 AB为。的直径，AC为弦，OD/ BC,交AC于D, BC=4cm(1)求证：ACL OD(2)求OD的长;(3)若 2sinA 1=0,求O O的直径.【例4】四边形 ABC邛,AB/ DG BC=h A

9、B=AC=AD=a如图，求 BD的长.学习-好资料【例5】如图1, AB是半。的直径，过 A B两点作半。O的弦，当两弦交点恰好落在半。上C点时，则有AC AC+ BC BC=AB.(1)如图2,若两弦交于点 P在半O。内，则AP- Aa BP- BD=aB是否成立？请说明理由.(2)如图3,若两弦AG BD的延长线交于P点，则AB=.参照(1)填写相应结论，并证明你填 写结论的正确性.八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在。O中，四边形ABCD是内接四边形C . BAD =180 B . D =180.DAE = C例1、如图7-107,。0

10、中，两弦 AB/ cq M是AB的中点，过M点作弦DE求证：E, M, Q C四点共圆.九、切线的性质与判定定理S7-107(1)切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线;两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：.MN -LOA且MN过半径OA外端MAN .MN是。的切线(2)性质定理：切线垂直于过切点的半径(如上图)推论1 :过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论2 :过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理 切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等

11、，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：PA、PB是的两条切线，PA = PBPO平分/BPA利用切线性质计算线段的长度。的例1:如图，已知：AB是。的直径，P为延长线上的一点， PC切。于C, CD) AB于D,又PC=4 半径为3.求：OD的长.利用切线性质计算角的度数F,且例2:如图，已知：AB是。的直径，CD切。于C, AE，CD于E, BC的延长线与 AE的延长线交于 AF=BF.求：/ A的度数.利用切线性质证明角相等例3:如图，已知：AB为。的直径，过 A作弦AG AD,并延长与过 B的切线交于 M N.求证：/ MCN=/ MDNA利用切线性质证线段相等例4:如图，已知：AB

12、是。直径，COL AB, CD切。于D, AD交CO于E.求证：CD=CE利用切线性质证两直线垂直例5:如图，已知： ABC中，AB=AC以AB为直径作。O,交BC于D, DE切。于D,交AC于E.求证:DEI AC.H一、圆哥定理CpA(1)相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在。中，弦AB、CD相交于点P, PA PB = PC PD(2)推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成比例中项。即：在。中，直径AB_LCD ,2. CE = AE BE的两条线段的(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在。中，.

13、PA是切线，PB是割线线长是这点到割PA2 =PC PB(4)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等(如上图)即：在。中，.PB、PE是割线PC PB = PD PE例1.如图1,正方形ABCD勺边长为1,以BC为直径。在正方形内作半圆O,过A作半圆切线，切点为 F,交CD于E,求DE AE的值。例2.00中的两条弦 AB与CD相交于E,那么CE=cm=图2例3.如图3, P是。0外一点，PC切。0于点C, PAB是。0的割线，交。0于A B两点，如果PA PB= 1: 4cm。PC= 12cm, OO的半径为10cm,则圆心。到AB的距离是学习-好

14、资料图3例4.如图4, AB为。0的直径，过 B点作。0的切线BG OC交。0于点E, AE的延长线交 BC于点D, (1)求证:ce2 = cdcb;(2)若AB= BC= 2厘米，求 CE CD的长。更多精品文档例5.如图5, PA PC切。0于A、C, PDB为害U线。求证：AD- BOCD-AB图5BC于点D,过D点作。0的切线例6.如图6,在直角三角形 ABC中，/A= 90 ,以 AB边为直彳5作。Q 交斜边 交AC于E。图6求证：BO 2OE十二、两圆公共弦定理 圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图：O1O2垂直平分 AB。即：,OOi、。O2相交于A、B两点O1O2垂直平分AB十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：(1)公切线长： RtA0102c 中，AB2 =CQ2 =qOQ22 CO22 ;(2)外公切线长： C02是半径之差； 内公切线长：C02是半径之和 十四、圆内正多边形的计算(1)正三角形在O 0中 ABC是正三角形，有关计算在RtABOD中进行:0D : BD: 0B = 1:、.3 : 2(2)正四边形(3)正六边形同理，六边形的有关计算在RtOAB 中进行，AB:0B:0A=1: J3:2.同理，四边形的有关计算在 RtAOAE中进行，OE: AE:0