人教版八年级上册数学专题全等三角形中辅助线的添加

1、全等三角形中辅助线的添加一.教学内容：全等三角形的常见辅助线的添加方法、基本图形的性质的掌握及熟练应用。二.知识要点：1、添加辅助线的方法和语言表述(1)作线段：连接；(2)作平行线：过点作/；(3)作垂线(作高)：过点作!，垂足为；(4)作中线：取中点，连接；(5)延长并截取线段：延长使等于；(6)截取等长线段：在上截取，使等于；(7)作角平分线：作平分；作角等于已知角；(8)作一个角等于已知角：作角等于。2、全等三角形中的基本图形的构造与运用常用的辅助线的添加方法：(1)倍长中线(或类中线)法：若遇到三角形的中线或类中线(与中点有关的线段)，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形。(2)

2、截长补短法：若遇到证明线段的和差倍分关系时，通常考虑截长补短法，构造全等三角形。截长：在较 长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；补短：将一条较短线段延长，延长部 分等于另一条较短线段，然后证明新线段等于较长线段；或延长一条较短线段等于较长线段，然后证明延长部分等于另一条较短线段。(3) 一线三等角问题("K'字图、弦图、三垂图)：两个全等的直角三角形的斜边恰好是一个等腰直角三角形的直角边。(4)角平分线、中垂线法：以角平分线、中垂线为对称轴利用”轴对称性“构造全等三角形。(5)角含半角、等腰三角形的(绕顶点、绕斜边中点)旋转重合法：用旋转构造三角形

3、全等。(6)构造特殊三角形：主要是 30°、60°、90°、等腰直角三角形(用平移、对称和弦图也可以构造 )和等边三 角形的特殊三角形来构造全等三角形。三、基本模型：(1) ABC中AD是BC边中线方式3:延长MDiJ N,使DN=MD连接CD方式1: 延长 AD到E,使DE=AD 连接BE方式2:间接倍长，作CF，AD于F, 作BEX AD的延长线于E,连接BEEN(2)由 AB/BCDWi出由 AB瞌 BCD导出由ABM BCDWi出EC=AB-CDBC=BE+ED=AB+CDED=AE-CD(3)角分线，分两边，对称全等要记全 角分线+垂线，等腰三角形必呈现

4、(三线合一)(4)旋转：方法：延长其中一个补角的线段(延长CM E,使ED=BM 连AE或延长CB到F,使FB=DN,连AF ) 结论： MN=BM+DN C.cmn =2ABAM AN分别平分ZBMtfnZ DNM翻折：思路：分别将 ABMF口 ADNA AMffi AN为对称轴翻折，0 一但一定要证明 M P、N三点共线.(/B+/ D=180且AB=AD(5)手拉手模型AB讨口 ACF均为等边三角形结论：(1) ABFAAEC (2) Z B0E=Z BAE=60 (“八字型”模型证明)；(3) OA平分/ EOF 拓展：DA条件： ABCF口4CDE匀为等边三角形结论：(1)、AD=B

5、E (2)、/ACBh AOB (3)、 PC四等边三角形(4)、PQ/ AE (5)、AP=BQ (6)、COF Z AOE 、OA=OB+OC(8)、OE=OC+OD(7), (8)需构造等边三角形证明)、ABD ACE匀为等腰直角三角形结论：(1)、BE=CD (2) BEL CD ABE林口 ACH明为正方形结论：(1)、BD±CF (2)、BD=CF变形一：ABE侪口 ACH的为正方形， AS，BC交FD于T,求证：T为FD的中点.SBC = S咨DF.方法IHG12AA四、典型例题:考点一：倍长中线（或类中线）法:方法三:变形二：ABE侪口 ACH的为正方形,M为FD的中

6、点，求证：AN!BC当以AB AC为边构造正多边形时，总有:Z 1 = Z 2=n180 -360BC DGDBJKFEICHFE核心母题已知，如图 ABC中，AB=5, AC=3则中线 AD的取值范围是 练习：1、如图, 大小. ABC中，E、F分别在 AB AC上，DEI DF, D是中点，试比较 BE+CF与2、如图, ABC中，BD=DC=ACE是DC的中点，求证： AD平分/ BAE.3、如图,CE CB分另1是4 ABC< ADC勺中线，且/ ACBhABC；求证：CD=2CE4、已知：5、如图,D是 AB的中点，/ ACB=90，求证：2CD=AB.如图，在正方形 ABCD

7、中，E是BC的中点，点F在CD上，/ FAE= / BAE.求证：AF=BC+FC.6、已知在 ABC中，AB=AC D在AB上，E在AC的延长线上， DE交BC于F,且DF=EF求证：BD=CE7、已知在 ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且 BE=AC延长BE交AC于F,求证：AF=EE8、已知：如图，在 AABC中，AB#AC, 口 E在BC上，且DE=EC过D作DF BA交AE于点F, DF=AC.求证：AE平分ZBAC 。9、以MBC的两边AB ACJ腰分别向外作等腰Rt MBD和等腰Rt MCE , - BAD =CAE = 9°：连接DE MN另J是BC

8、DE勺中点.探究：AMf D的位置关系及数量关系.(1)如图 当AABC为直角三角形时， AhMf DE勺位置关系是(2)将图中的等腰RtAABD绕点a沿逆时针方向旋转 H (0曰90)后，如图所示,线段AMT DE勺数量关系(1)问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由.10、已知： ABC八口四两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC DA=DE联结EC取EC的中点 M 联结 BM DM(1)如图1,如果点n E分别在边AC AB上，那么BM DM勺数量关系与位置关系是 ; (2)将图1中的 AD瞰点A旋转到图2的位置时，判断(1)中的结论是否仍然成立，并说明理由.变式1:已知：在 R

9、tABC中，AB=BC在RtADE中,AD=DE连结 EC,取EC的中点 M,连结 口风口 BM(1)若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图，探索 BM DM的关系并给予证明；(2)如果将图中的 AD遴点A逆时针旋转小于45°的角，如图，那么(1)中的结论是否仍成立？如果不 成立，请举出反例；如果成立，请给予证明.变式:2 :已知： ABCF口ADE是等腰直角三角形，/ AB(=/ADE=90° ,点M是CE的中点，连接 BM (1)如图，点D在AB上，连接DM并延长D检BC于点N,可探究得出BD与BM勺数量关系为 (2)如图，点D不在AB上，(1)中的结论还

10、成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由变式3：四边形ABCD是正方形，ABEF是等腰直角三角形， /BEF =90>BE = EF，连接DF , G为DF的中点，连接EG , CG , EC。EC(1)如图24-1 ,若点E在CB边的延长线上，直接写出 EG与GC的位置关系及 上上的值；GC(2)将图24-1中的ABEF绕点B顺时针旋转至图24-2所示位置，请问(1)中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由;(3)将图24-1中的iBEF绕点B顺时针旋转a ( 0。 90 口)，若BE = 1 , AB=J2,当E, F,点共线时，求DF的长及/ A

11、BF的度数。备用图考点二：截长补短法：核心母题 如图，AD / BC, EA,EB分另I平分/ DAB, / CBA, CD± 点 E,求证：AB=AD+BC.1、如图a, ABC CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C,连接AF和BE.线段AF和BE有怎样的大小关系 叫证明你的结论；(2)将图a中的 CEF绕点C旋转一定的角度，得到图 b, (1)中的结论还成立吗？作出判断并说明理由;、已知：如图， AABC是等边三角形， NBDC =120口，求证：AD = BD+CD.、已知四边形ABCD中，AB=BC, /ABC =600。， P为四边形 ABCD的对角线 BD

12、上一点，且/APD =120。，求证：PA + PD+PC = BD2、在 ABC中，/BAC=60 , Z 0=40° , AP 平分/ BAC交 BC于 P, BQ平分/ ABC交 AC于 Q,求证：AB+BP=BQ+AQ3、如图，在 AABC 中，/ABC =60°, AD, CE分别为 /BAC/ACB 的平分线，求证：AC=AE+CD求证：BD+DC=AB5、已知：如图在 ABC中，AB=AC D 为 ABC外一点，/ ABD=6（J , /BDC 求证：AB=BDF DG考点三：一线三等角问题（“K”字图）核心母题 已知：如图，在 RtABC中，/ BAC=90

13、 , AB=AC D是BC边 ADE=45 , AD=DE 求证：BD=EC.4ADB=90C2AJ上月c上一点，/K4、如图，在 ABC中，AB=AC D是 ABC外一点，且/ ABD=60 , / ACD=60练习:EBDC1、已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且 EF=ED, EF± ED.求证：AE平分 / BAD.2、两个全等的含30° , 60°角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E, A, C三点在一条直 线上，连接BD,取BD的中点M,连接ME, MC 试判断 EMC的形状，并说明理由.3、如图，在 MBC中，/

14、ACB =90： AC = BC ,直线MN经过点C,且AD _L MN于点D, BE _L MN于点E。(1)当直线MN绕点C旋转到图(1)的位置时，求证:(2)当直线MN绕点C旋转到图(2)的位置时，求证:(3)当直线MN绕点C旋转到图(3)的位置时，试问: 加以证明。DE=AD+BEDE=AD- BE;DE, AD, BE有怎样的等量关系？请写出等量关系，并4、如图所示，AE± AB, BC± CD且 AB=AE, BC=CD, F、A、G、C、H在同一直线上，如 按照图中所标 注的数据及符号，则图中实线所围成的图形面积是？6、小雨遇到这样一个问题：如图 1 ,直线l

15、 1 / 12/ l 3 , 1, 12与13之间的距离是2,试画出一个等腰直角三角形1 1与12之间的距离是ABC使三个顶点分别在直线 11、12、13上，并求出所画等腰直角三角形 ABC勺面积. liI2I3图1小雨是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法利用平行线之间的距离，根据所求图形的性质尝试用旋转的方法构造全等三角形解决问题.具体作法如图2所示：在直线11任取一点A,作ADL 12于点D,作/ DAH90。，在AH上截取AEAD过点E作EBL AE交13于点B,连接AB作/ BA(=90 ,交直线12于点C,连接BC即可得 到等腰直角三角形 AB(请你回答：图2中等腰直角三角形

16、 ABC勺面积等于 .参考小雨同学的方法，解决下列问题：如图3,直线1 1/ 1 2/ 1 3, 1 1与12之间的距离是2, 12与13之间的距离是1,试画出一个等边三角形 ABC使 三个顶点分别在直线11、12、13上，并直接写出所画等边三角形ABC勺面积(保留画图痕迹).11li12121313图3图3P (5,5)处，两条直角边与坐标轴分别交于点7、如图，在平面直角坐标系中，将直角三角形的直角顶点放在 和点B.(1)当点A、点B分别在x轴、y轴正半轴上运动时，试探究OA+0B的值或取值范围；(2)点A在x轴正半轴上运动，点 B在y轴负半轴上时，试探究 OA-OB的值或取值范围，直接写出

17、结果。y(1)如图1,当A(0, -2), C(1, 0),点B在第四象限时，先写出点B的坐标，并说明理由.轴、x 轴上，且/ ACB=90 ° , AC=BC.(2)如图2,当点C在x轴正半轴上运动，点 A(0, a)在y轴正半轴上运动，点 B(m, n)在第四象限时，作BD± y轴于点D,试判断a,m, n之间的关系，请证明你的结论.考点四：角平分线、中垂线法核心母题1、在 MBC中，AB >AC , AD是/BAC的平分线. P是AD上任意一点.求证：ABAC>PBPC.2、已知等腰直角三角形ABC, BC是斜边./ B的角平分线交ACC作CE与BD垂直且

18、交BD延长线于E,求证：BD=2CE.3、如图，ABC的边BC的中垂线DF交 BAC的外角平分线F 为垂足,DH AB于 E,且 AB> AC,求证：BE-AC=AEA练习1、如图所示，在 MBC中，AD是/BAC的外角平分线， P是AD上异于 A的任意一点，试比较 PB +PC与AB+AC的大小，并说明理由.占八、CF相交于2、如图所示：/ ABC的平分线BF与 ABC中/ ACB的相邻外角/ ACG的平分线点F,过F作DF/ BC,交AB于D,交AC于E.问： 出图中的等腰三角形并说明理由.ABCD(2)(1)写P3、在 ABC 中,AB=2AC,AD 平分 NBAC, E 是 AD

19、 中点，连结 CE ,求证：BD = 2CE若 BD=8cm, DE=3cm,求 CE 的长.4、如图， ABC 中，/ABC=2/C, BE 平分 / ABC 交 AC 于 E、ADL BE 于 D,求证： (1 ) AC-BE=AE ;(2) AC=2BD.5、如图，在 ABC中，AB> AC, E为 BC边的中点，AD为/ BAC 线，过E作AD的平行线，交AB于F,交CA的延长线于G.BF=CG.变式一：如图，在 MBC中，AD交BC于点D ,点E是BC中点， EF II AD交CA的延长线于点F ,交AB于点G ,若BG =CF，求 AD为ZBAC的角平分线.变式二：已知： A

20、BC中，AD是 ABC的角平分线, AD,交 AC于点 N ,求证：AN+AB=NC.M为BC的中点，过点变式三：在 ABC43, AD是ABC勺角平分线.(1)如图1,过C作CE/ AD交BA延长线于点E,若F为CE的中点，连的平分 求证：结AF,求证：AF± AQ(2)如图2, M为BC的中点，过 M作MN/ AD交AC于点N若AB=4, AC=7, 求NC的长.6、如图,求证:已知 ABC中，AB= AC, / A= 100° , /A* BA BCB的平分线交AC于D,7、如图，在 ABC中，ADL BC于D, CD= AB+ BD, / B的平分线交 AC于点E,

21、求证：点 E恰好在BC的垂直平分 线上。8、如图1,在 ABC中，/ ACB=2ZB,/ BAC的平分线AO交BC于点D,点H为AO上一动点，过点H作直线l ±AO于H,分别交直线 AR AG BC于点N、E、M(1)当直线l经过点C时(如图2),证明：BN=CD(2)当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明;(3)请直接写出BN CE CD之间的等量关系.9、如图所示，在4ABC中，/ ABC=3Z C, AD是 / BAC的平分线，BEX AD于 F,求证:2BE=AC-AB变式：如图，已知在A G A2B证：MBC 中，/ABC =3/C , Z1 =/2 ,

22、 BE _L AE .求B E10、如图所示，在 MBC 中，AD 平分/BAC, AD=AB, CM _LAD 于 M , AB+ A C2 AM变式一：如图/ 1 = /2, B为AC中点， FB=1 (FM+FN2BDCML FB于 M AN± FB于 N,求证：EF=2BMMA:如图，在 ODC中/D=9(5, EC是/DCO的角平分线，且 OE_LCE过点E作EF _LOC交OC于点F.猜想：线段EF与OD之间的关系，并证明.变式二：如图所示，在 ABC中，AO AB, M为BC的中点，F,求证：MF=1 (ACAB)。2AAD是/ BAC的平分线，若 CFL AD且交AD

23、的延长线于AbZD； 4。F考点五：角含半角、等腰三角形的(绕顶点)旋转重合法核心母题 如图，在正方形 ABCN, E、F分:利是 BG CDi上的点，/ EAF=45 ,求证：EF=BE+DF.B EC变式一：如图，E、F分别是边长为1的正方形ABC两边BG CD上的点，若4ECF的周长是2,求/ EAF的度数？DCB综合：在正方形 ABCDK若求证：./MAN45 -.C为练习1、如图，在四边形 ABCD43,B ECM N分别在边 BC CD上移动，且满足 MN=BM+DN MN =2AB.AM AN别平分 ZBMtfnZDNM. D aAB=BC,Z A=/C=90,B=135 , K

24、、N E'分别是变式二：如图，在正方形 ABC邛,E、F分别是 BC CDa上的点，/ EAQ=45 , AHL EF,求证：AH=AB.AR BC上的点，若 BKN的周长是 AB的2倍，求/ KDN的度数?2、已知：正方形ABCD中，/ MAN=45° , / MAN绕点A顺时针旋转，它 的两边分别 交CB、DC (或它 们的延长线)于点Mk N.当/MAN绕点A旋转到BM=DN时(如图1),易证BM+DN=MN(1 )当/ MAN绕点A旋转到BMW DN时(如图2),线段BMk DN和MN之间有怎样的数量关系？写出 猜想，并加以证明；(2)当/ MAN绕点A旋转到如图3的

25、位置时，线段BM DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接 写出你的猜想.3、如图，在四边形 ABCD, AB=AD, Z B+Z D=180°,E、F分别是边BG(1)求证：EF=BE+FD(2)如果E、F分别是边BG CD延长线上的点，其他条件不变，结论是否仍然成立？说明理由。D8 E5、如图所示，在五边形 ABCD即,AB=AEAD平分/ CDE.6、如图，已知 AB=CD=AE=BC+DE=2, / ABC=/ AED=90 ° , 求五边形 ABCDE 的面积.7、如图1 .在四边形ABCD中.AB=AD, Z B+Z D=180° , E、F分别是边 BC、CD上的点，且/ BAD=2 / EAF.(1)求证：EF=BE+DF;(2)在(1)问中，若将4AEF绕点A逆时针旋转，当点E、F分别运动到BC、CD延长线上时