2019版一轮优化探究文数(苏教版)练习：第五章第三节平面向量的数量积及平面向量应用举例含解析

1、一、填空题1. 已知点A(1,0)、B(1,3),向量a= (2k 1,2),若AB丄a,则实数k的值为. 解析：NB= (2,3), a= (2k 1,2),由 aB丄a 得 2X (2k 1) + 6 = 0,解得 k= 1.答案：12. 已知 A(2,1), B(3,2), C( 1,4)，则 ABC 的形状是.解析：AB= (1,1), AC= ( 3,3)，知Ab AC = 0, 故厶ABC是直角三角形.答案：直角三角形3. 设 OABC 的外心，OD 丄BC 于 D ,且|AB|3, |aC匸 1,则AD (AB AC)的值是.1 解析：由已知，D为BC的中点，AD = 2(AB+

2、 AC), 1 AD (AB AC)= 2(AB+ AC) (ABAC)=*|AB|2 AC|2) = 1.答案：14. 设向量 a= (cos 55 , sin 55)； b= (cos 25 ,°sin 25)；若 t 是实数，贝U |a t b|的最小值为.解析： 因为|a t b|=7但t b f = <|af + |t bf 2t a b=J 1 +12 2ta b,而 a b= (cos 55 ,° sin 55 )°；cos 25 , sin 25 )°=cos 55 X cos 25 + sin 55 X sin 25 °

3、=cos (55 25°) =所以 |a t b|= , 1 +12 2t a b= , t2 3t + 1=，故|a t b|的最小值为2.1答案：15. 已知|a|= 6, |b|= 3, a b= 12,则向量a在向量b方向上的投影是 . 解析：a b为向量b的模与向量a在向量b方向上的投影的乘积，而cosa, b>a b22二丽二3,二間 cosa，b二 6X (- 2)= 4.答案：46. 已知i与j为互相垂直的单位向量，a= i 2j, b= i +入且a与b的夹角为锐 角，贝U实数入的取值范围是.1 解析：ab= (i 2j) (i + X)j 1 2Q0, %,

4、又a、b同向共线时，a b>0,a= kb(k>0),.“1,一 2= k 入i 2j 二 k(i + 小二入=一2,二a、b夹角为锐角的入的取值范围是1(, 2)U ( 2, 2).1答案：( -,2)U ( 2, )7. 在 ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若AB AC= BA BC= 1,那么c=777777777777 q解析：由题知 AB AC+ BA BC= 2,即 AB AC AB BC= AB (AC+ CB)= (AB)、解答题|b|= sin2 10 1 0| + sin2 1 ,所以 |af + |b|2= 2.因为a丄b,所以 cos 1 i

5、n (10 10+ cos(10 1 Osin 1= 0.所以 sin(10 10+ 1 = 0,所以 sin 10(= 0,所以10(= kn, k Z,所以(=器，k乙n(3)证明：因为=20所以cos 1 sin 1 cos(10 10sin (10 101n . 1nn 1n , n 1n_ cos 20 sin 20一 cos(2一 20) sin(2一 20)1n 1n. 1n 1n=cos 20 sin 20 sin 20 cos 20= 0,所以a II b.n11. 设两个向量8、e2满足|e1|= 2, |e2|= 1, e1与e2的夹角为3,若向量2te1 +与e1 +

6、te2的夹角为钝角，求实数t的范围.解析：由向量2te1 + 7e2与e1 + te2的夹角为钝角，得(2te1 + 7良)fg!± te2)得 |2te1 + 7e2| | ® + te2| <0,即(2te1 + 7良)(e + te2)<0,化简即得2t2 + 15t+ 7<0,1解得7<t< ,当夹角为 n时，也有(2te1 + 7e2)(e + te2)<0,但此时夹角不是钝角，2te1+ 7e2与8 + te2反向.= 2 ? c= AB= . 2.答案：28. 已知单位向量a, b满足|ka+ b|=/3|a kb|(k&g

7、t;0),则a b的最小值为.2解析：把|ka+ b|= 3|a kb|两边平方并化简得 a b= 4+1=4(k+ *) >7；(v k>0).故10. 已知向量 a= (cos 入,0 cos(10为彷,b= (sin(10 1) 0, sin 入)Q 入 茨 R. 求|a|2 + |b|2的值；若a丄b,求0n若0= 20，求证：a II b.解析：(1)因为|a| =p cof( 1 艸 coslO 10,设 2tei + 7e2= Xei + te2),泾0,p2t=入A 14可得 7=入 t14.*0 卩=2因此所求实数t的范围是(一7,弓)U (弓, 2)12. 已知

8、向量 a= (cos x, sin x), b= (sin 2x, 1 cos 2x), c= (0,1), x (0, n)(1) 向量a, b是否共线？并说明理由；(2) 求函数f(x) = |b| (a+ b) 的最大值.解析：(1)b= (sin 2x,1 cos 2<)= (2sin xcos x,2sin1 当sin x=4时，f(x)有最大值g.x)=2sinx(cos x, sin x) = 2sinxa, 且|a|= 1, 即卩 a0. a与b共线.(2)f(x) = |b| (a+ b)c=2sin x (cos x+ sin 2x,1 cos 2x+ sin x) (0,1)=2sin x 1 + cos 2x sin x= sin x 1 + 1 2sin x2 1 2 1 =2sin x+ sin x= 2(sin x 4) + g,1a b的最小值为2答案：19. 已知 ABO三顶点坐标为A(1,0), B(0,2), O(0,0), P(x, y)是坐标平面内一点， 且满足aP 0A<0, BP OB>0,则O