大学高等数学下考试题库附答案

1、高 等 数 学 试 卷 1（下）一.选择题(3分10)1.点 Mi 2,3,1 到点 M2 2,7,4 的距离 M1Mz ()A.3B.4C.5D.62.向量 ai 2 j k,b2i j，则有（）.a. a II b b. a x b C. (a,bD. ： a, b : 343 .函数y1、x2y21的定义域是（）a. x, y 1b. x,y1C. x, y 1D x, y 14 .两个向量a与b垂直的充要条件是（）A. a b 0 b. a b0 C. a b 0 d. a335.函数z x y3xy的极小值是（）A.2B.2C.1D.16.设 z xsin y ,则=().1,一4A

2、. 2B.2多.而7.若p级数A. p 1B.p 1C. p 1 D. p 11 收敛，则()n pn 1 n8.募级数A. 1,11,1 C. 1,1 D. 1,1nxL的收敛域为（）n9.募级数nx 在收敛域内的和函数是（）2a，b.31 x 2 x10.微分方程xyyin y0的通解为xA. y ce B. yxe C. yxcxe D. ycxe.填空题（4分5)1 .一平面过点A 0,0,3且垂直于直线AB,其中点B 2, 1,1，则此平面方程为2.函数z sin xy的全微分是3.设Z3 2-3x y 3xy xy2z1,则x y14.2的麦克劳林级数是x5.微分方程y 4y4y

3、0的通解为.计算题（5分 6)1 .设 z eusin v,而xy,v2 .已知隐函数 z z x, y由方程2y24x. z z2z 5 0确定，求, x y22 ,3 .计算 sin xxy dD_2，其中D :4 .如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R为半径）.5.求微分方程y 3yx 00条件下的特解四.应用题（10分2）1 .要用铁板做一个体积为32 m的有盖长万体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省?2.曲线yf x上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的12倍，且曲线过点 1,3曲线方程试卷1参考答案.选择题.填空题CBCADACCBD1

4、.2x y2z 6 0.2 . cos xy ydx xdy22,3 .6x y 9y 1.1 nn4 .x .2n 15. yCiC2x2x e4.点P 1, 2,1到平面x 2y 2z 5 0的距离为（）.计算题z1. xexyy siny cos x yz xy 一 e xsin x y cos x y . yz2. x2y3.sin4.16 R3R .35.3xy e2x e四.应用题1.长、宽、高均为v,2m时，用料最省.5 .y 1x2.3高数试卷2 （下）.选择题（3分10)1.点 M 1 4,3,1 ,M2 7,1,2 的距离 |MiM2().A. 12 B.、13C. ,14

5、 D. ,152.设两平面方程分别为x 2y 2z 1 0 和x y 5 0 ,则两平面的夹角为（）A. 一 B. -C. 一 D. 一3.函数 zarcsin2y的定义域为A. x, y 01 b. x, y 0c. x, y 02 D. x,yA.3B.4C.5D.65.函数2_2 .2xy 3x 2y的极大值为（）A.0B.16.设z,1C. 1D.-22 z3xy y ,贝ij x1,2（）.A.6B.7C.8D.97.若几何级数arn是收敛的，则（）n 0a. r 1 b. r1C.1 d. r8.募级数的收敛域为（）a. 1,1B.1,1 C.1,1 D. 1,19.级数nsin

6、na是（）A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.不能确定10.微分方程xyy ln0的通解为cxA. y e B. yxce C. yXe d.xcxe.填空题（4分5）1.直线l过点A 2,2, 1且与直线平行，则直线l的方程为2.函数exy的全微分为3.曲面2t2x2 4y2在点2,1,4处的切平面方程为的麦克劳林级数是5.微分方程xdy3ydxx11条件下的特解为.计算题（5分6）1.设 a i 2 jk ,b2j 3k ,求 a b.C、几一22.设 z U V UV2,而z zu xcosy,v xsiny,求, x y3.已知隐函数zz x, y 由 x33xyz2确定，求222.2

7、224 .如图，求球面x2y2z24a2与圆柱面x2y22ax (a 0)所围的几何体的体积5 .求微分方程 y 3y 2y 0的通解.四.应用题(10分2)x t .(提示:g.当t1 .试用二重积分计算由y <x, y 2jx和x 4所围图形的面积.2 .如图，以初速度 Vo将质点铅直上抛，不计阻力，求质点的运动规律试卷2参考答案时，有 x xo , - V0 )一.选择题 CBABACCDBA.二.填空题x 2 y 2 z 11. .1 122. exy ydx xdy .3. 8x 8y z 4.n 2n4. 1 x .n 05. y x3.三.计算题1.8i -3j2k .z2

8、. xc 2.z3x sin ycos y cos y sin y ,一 y。3八2x sin ycos y sin y cosy3.33x sin y cos yz3.一 xxz2xy zyz z2 , xy z y32 324. 一 a 3235. y C1e2xC2e四.应用题161 .3-1,212 .X- gtVotXo.2高等数学试卷 3 （下）、选择题（本题共 10小题，每题3分，共30分） 1、二阶行列式2-3的值鼻（）45 IA、10B、20C、24D、222、设 a=i+2j-k,b=2j+3ka与b的向量积为（）3、A、2B、3C、4D、54、函数 z=xsiny 在点（

9、1）处的两个偏导数分别为4A、2 2, , B、22,22.2C、2,22,22D、,225、设 x2+y2+z2=2Rx ,贝IJz一分别为yA、y B、zy C、 zD、6、设圆心在原点，半径为 R,面密度为2 一y2的薄板的质量为（）2(面积 A= R )A、R2AB、2R2AC、3R2AD、一 R'AA、i-j+2k B、8i-j+2k C、8i-3j+2k D、8i-3i+k点P （-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0的距离为（）n7、级数 （1）n:x的收敛半径为n 1nA、2B、1C、1D、328、cosx的麦克劳林级数为A、2n,八n x(1) B、n 0(2n

10、)!1)n2nxC、(2n)!2n n x/1) D、(2n)! n 01)n2n 1x(2n 1)!9、微分方程（y、）4+（y、）5+y、+2=0的阶数是（）A、一阶B、二阶C、三阶D、四阶10、微分方程y''+3y'+2y=0的特征根为（）A、-2, -1B、2, 1C、-2, 1D、1, -2二、填空题（本题共 5小题，每题4分，共20分）x 1 y 31、直线 Li： x=y=z 与直线 L2： z的夹角为 。21x 1 y 2 z直线L3： - 与平面3x 2y 6z 0之间的夹角为 。2122、（ 0.98） 2.03的近似值为 ,sin10°的

11、近似值为 。3、二重积分d ,D:x2 y21的值为 oD n4、募级数n!xn的收敛半径为 , 上的收敛半径为 。n 0n 0 n!5、微分方程y'=xy的一般解为 ,微分方程xy'+y=y2的解为。|三、计算题（本题共 6小题，每小题 5分，共30分）1、用行列式解方程组 -3x+2y-8z=17< 2x-5y+3z=3x+7y-5z=22、求曲线x=t,y=t 2,z=t3在点（1, 1, 1）处的切线及法平面方程.3、计算 xyd ,其中D由直线y 1,x2及y x围成.D4、问级数 （1）nsinl收敛吗？若收敛，则是条件收敛还是绝对收敛？n 1n5、将函数f（

12、x）=e 3x展成麦克劳林级数6、用特征根法求y''+3y'+2y=0的一般解四、应用题（本题共 2小题，每题10分，共20分）1、求表面积为a2而体积最大的长方体体积。2、放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素，铀的含量就不断减小，这种现象叫做衰变。由原子物理学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比，（已知比例系数为k）已知t=0时，铀的含量为M。，求在衰变过程中铀含量M （t）随时间t变化的规律。参考答案一、选择题1、D2、C3、C4、A5、B6、D7、C8、A9、B10,A二、填空题y < x< 22 ar cos 18一8

13、,arcsin 2、0.96, 0.17365213、JI 4、0, +5、x2y ce2 ,cx三、计算题1、-32-8解： =2-53=(-3 ) X -53-2 X 23+ (-8 )2-5=-13817-57-51-5172-8 x=3-53=17 X -53-227-57-52-527同理:-317-8 y=233=276, z=4142-5所以，方程组的解为1，yy 2,z z 32、解：因为 x=t,y=t2,z=t 3,所以 xt=1,y t=2t,z t=3t2,t=1 =3所以 xt | t=1=1,y t| t=1 =2,z t|法平面方程为：（x-1+2(y-1)+3(

14、z-1)=0即 x+2y+3z=63、解：因为D由直线y=1,x=2,y=x 围成,D:所以1 <y<222故： xyd xydxdyDy2y31 (2y 1)dy184、解：这是交错级数，因为Vnsin 1 0,所以，Vn n1 Vn,且 lim sin n0,所以该级数为莱布尼兹型级数1 一sin 当x趋于0时,sin1 nx,所以1 sin 一n1:1发散，从而1,又级数 nnn 1所以，原级数条件收敛w d、解：因为e1 2 x -x 2!)13x 3!1x n!用2x代x,得:6、解：特征方程为r2+4r+4=0所以，(r+2) 2=0得重根ri=/2=-2,其对应的两个

15、线性无关解为y1=e-2x,y2=xe-2x所以，方程的一般解为y=(c 1+c2x)e-2x四、应用题1、解：设长方体的三棱长分别为X, y则 2 (xy+yz+zx ) =a2构造辅助函数F (x,y,z) =xyz+ (2xy 2yz2zxa2)求其对x,y,z的偏导，并使之为0,得:yz+2(y+z)=0xZ+2(x+z)=0xy+2(x+y)=0与 2(xy+yz+zx)-a 2=0 联立，由于x,y,z均不等于零可彳导x=y=z代入 2(xy+yz+zx)-a 2=0 得 x=y=z=一 . 6a3所以，表面积为 a2而体积最大的长方体的体积为V xyz 3 . n阶行列式中所有元

16、素都是1 ,其值是 (A) n (B) 0(C) n !(D) 1 .对于n元线性方程组，当r(A) r(A) r时，它有无穷多组解，则(A) r = n (B) r<n (C) r>n (D)无法确定 .下列级数收敛的是 ., n3n( 1)n 11(A)( 1)n 1(B)(C)3(D)n 1n 1n 12n 1 nn 1> na-362、解：据题意高数试卷4 (下)一.选择题：3 10 301 .下列平面中过点(1 ,1,1)的平面是 .(A) x+y + z= O (B) x+y+z = l (C) x = l (D) x = 32 .在空间直角坐标系中，方程x2 y

17、2 2表示.(A)圆 (B)圆域 (C)球面 (D)圆柱面3 .二元函数 z (1 x)2 (1 y)2的驻点是(A) (0 ,0) (B) (0 ,1) (C) (1 ,0)(D) (1 ,1)4 .二重积分的积分区域D是1 x2 y2 4 ,则 dxdy.D(A)(B) 4(C) 3(D) 151 x5.交换积分次序后0dx 0 f (x,y)dy .11111 yx 1(A) 0dy yf(x,y)dx (B) 0dy0f(xy)dx(C)0dy°f(x,y)dx(D)0dy 0f(x,y)dx1 ，,则的募级数展开式为.1 x21 x2 x4(C)1 x2 x4(D)1 x2

18、 x49 .正项级数Un和 vn满足关系式n 1 n 1(A)若 Un收敛，则Vn收敛n 1n 1(C)若 Vn发散，则Un发散n 1n 11c1 0 .已知： 1 x x21 x(A) 1 x2 x4(B)二.填空题：4 5 20UnVn ,贝!J (B)若Vn收敛，贝IUn收敛n 1n 1(D)若 Un收敛，则Vn发散n 1n 12 若 f (xy)xy ,则 f (义,1) x3 已知(xo, yO)是 f (x,y)的驻点，若 fxx(xq, y0)3, fyy(x0, y0) 12, fxy(xO, y°)a 则时，（xo,yo） 一定是极小点.4 .矩阵A为三阶方阵，则行

19、列式 3A 5 .级数 Un收敛的必要条件是n 1三.计算题（一）：6 5 301 .已知：z xy ,求：z, x2 .计算二重积分( x, y) | 0x2,0 x 2.,已知：XBA,其中A.求募级数 （n 11)nxn1二的收敛区间. n求f（x） e x的麦克劳林展开式（需指出收敛区间）.四.计算题（二）：10 220求平面x 22和2 x + y z = 4的交线的标准方程.x设方程组x11 ,试问：分别为何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷多组解.参考答案D；D; 5 . A;B；. 1 .(x,y) |1x2y2lim Un0n四.1 .解：yxyxy ln y2.解:D.4x

20、2d20dx丁4 x20x2dy2°0(4 x2)dx4xx3 23 01633.解：B215上收敛,n1时，得n(1)2n 1发散，所以收敛区间为 n1,1.因为exxn0 n!），所以(x)n n 0 n!人口*(xn 0 n!).四.1 .解：.求直线的方向向量3j5k，求点：令z=0,得y=0,x=2,即交点为（2,0.0）,所以交R 1,当|x|1时，级数收敛，当 x=1时，得n 1线的标准方程为：.土工12.解:10(11)(22 时，r(A) 2,(A)3,无解;1,2 时，r（A） （A） 3,有唯一解：x1 时，r(A) (A)x1,有无穷多组解：yzC2QC2（C

21、1, C2为任意常数）高数试卷、选择题（3分/题）A0B i j C i j D2、空间直角坐标系中2,.y 1表示（）A圆B圆面C圆柱面D球面3、二元函数ZA1B0Csin xy在（0, 0）点处的极限是（）xD不存在14、交换积分次序后dx0f(x,y)dy=()111a dy ° f(x,y)dxBdy10 f (x,y)dx1yC dy f(x,y)dxD dy f(x,y)dxy0oo5、二重积分的积分区域 d是x y 1,则 dxdy ()DA2B1C0D46、n阶行列式中所有元素都是1,其值为()A0B1CnDn!7、若有矩阵A3 2, B23, C33 ，下列可运算的式子是()A ACbCBcABCd AB AC8、n元线性方程组，当r( A) r( A) r时有无穷多组解，则()Ar=nBr<nCr>nD 无法确定9、在一秩为r的矩阵中，任r阶子式()A必等于零B必不等于零C可以等于零，也可以不等于零D不会都不等于零10、正项级数Un和Vn满足关系式Un Vn ,则()n 1n 1A若Un收敛，则Vn收敛B若Vn收敛，则Un收敛n 1n 1n 1n 1C若Vn发散，则Un