2019届广东省惠州市高三第三次调研考试数学(理)试题(word版)

1、惠州市2019届高三第三次调研考试理科数学注意事项：1 .答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。2 .作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。3 .非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1 .已知集合A=任区。式-2<0,集合B=国乂>阴，则集合（）A. d B.:、一，C. '. I ： D. - -： < 1 .：

2、【答案】B2.若复数满足z=-则在复平面内，所对应的点在（）A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】Bi x-l > 03.若K、丁满足约束条件x-y三。,则工=K+2y的最大值为（）（x + y-4 < 0A. 2 B. 6 C. 7 D. 8【答案】C2 27厂x y4.两个正数、b的等差中项是一,一个等比中项是 为5,且则双曲线=三=I的离心率等于（）2a2 b-51553A. B. C. D.32445.已知函数y =F（x）与y = 6互为反函数，函数y = g（x）的图象与y = F（x）的图象关于X轴对称，若或a） = 1 ,则实数的值为（

3、）1 IA. B. 一 C. D. ee【答案】D6.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了 “割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14,这就是著名的“徽率”。如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的n值为（）（参考数据：31,732hsml50 0.2588,5in750 = 0.9659 )开始n-6结束A. 48 B. 36 C. 24 D. 12【答案】C7.已知直线过点Pt-2.6,当直线与圆有两个交点时，其斜率k的取值范围为（A.匚三二二 B.在后4,41C.D

4、.【答案】B8.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何的体积为（）立方单位。【答案】D|MF|十|NF| = 6,则YN的中点到准线的距离为9.已知F是抛物线Y = 4丁的焦点，M, N是该抛物线上两点,A.2【答案】CB. 2 C. 3 D. 4y - 一 一4110.在AABC中，点D是温C上一点，且AC = 4AD, P为BD上一点，向量AP = XAB+pACQ. A 0举> 0),则* -的 Z g最小值为()A. 16 B. 8 C. 4 D. 2【答案】A v5 ii11.函数f(x) =-GQSGX-smmx> 0在。,词内的值域为- 11-,则m的取值范围为()

5、12L 2J2 / 41/ 21A. M B.纥 C.纥 D. (0,1 T A A【答案】A12.已知偶函数f(x)满足f(4+x) = f(4x)且虻=。，当xE(0, 4|时,=，关于k的不等式f(x)-十白- f(x)。在-2飨2上有且只有200个整数解，则实数的取值范围为(C./ I 8 .：卜.：.：1： |I(-ln2,-§ ln6二.填空题.3 .用13 .已知sina = -a W (亍兀【答案】7贝 U tan(ci 今=14 .如图，在平面四边形 ABCD中，AB _LBC, AB = ji,BC= I ,AACD是等边三角形，则R 由3的值为15 .已知四棱锥

6、P-ABCD的顶点都在半径为 1的球面上，底面ABCD是正方形，且底面ABCD经过球心O , E是AB的中点，PE1底面ABCD,则该四棱锥P-ABCD的体积等于 立方单位。“用3【答案】31 7T16 .已知数列%满足力三1, n%+ -(H+D%+n(n+I),且 = a0 gs-丁,记彳为数列出的前n项和，则斗=0【答案】304三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17 .在AABC中，角A、B、C1所对的边分别是、b、，士为其面积，若4S = a2 + ?-b2(1)求角E的大小;(2)设rB AC的角平分线 AD交EC于D, AD = 3, BD = ,求cqsC的值。

7、7F(1) 1 4【解析】【分析】(1)由余弦定理可得J I J . b'= NeiccosB ,代入题中条件即可得解;(2)在A_ABD中，由正弦定理得sinBAD ,从而得= 1 .为mVuAD,可得srnBAC ,再由3乳一八、rr一，日cosC = 6网工 "UAC)代入即可得斛.【详解】(1)由4sq J得4 - *3 22B7CLanB =1 得 R =- 4(2)在&ABD中，由正弦定理得AD BDsinB sinZBAD1J所以,sinZBAD =AD3 1cosBAC = 1 - 2sin"BAD =2亦所以4元所以4-cos-BAC +

8、sin -sin-BAC【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角恒等变换求值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力18.已知公差为正数的等差数列能/的前口项和为不，且.区3 =3，S4 = 26,数列出力的前n项和(1)求数列 同与网力的通项公式;(2)求数列bj的前n项和洱.【答案】(1) %=加 1, bn = 2"(nWN"). (2) X1n = (3n-4) - 2“* 一 8【解析】【分析】等差数列 归0,求出首项和公差，再求通项公式。他利用前n项和减去前n - I项和求通项公式。 归口 bj的前项和必1常用错位相减的方法求得。.、屿卜&

9、#39;)【详斛】(1)由题思知 阳,= 40.= 26,r JT12a- %= 40. % + 23=13,又公差为正数，故 1=5,和=8,公差d=3,：.=3n- 1 ,由" =2"匚23网,)得当 口=必=L = 2,当 n兰工/ E N* 时，bn = Tn-Tn.l = 2,4l-2-(2,1-2) = 2H综上得 % = 2”(nWN*) .(2)由(1)知班=2,2十5 于十十(五- 1卜2”R解法13 (错位相减法)2M = 2,吩十5 23十+加- 11嗖"-得%、= (3n - 1)- 2" 1 - 4 - 3(2之+ 2, 十 十

10、 T)=(311 - 4) - 2'1 + 1 - 8 .R解法23 (待定系数法)设由网=4M =24,得马：二；).；1二：4解得凡=6B = - *所以R解法33 (分合法)Mn = 2 2 I 5 - 22 I -I' (3n- 1) 2n=4 + 25 21 + 8 2*+即-2n-=4 + 2(3 + 2) 21 + (3 + 5) - 22-+ (3 - 3n-4) - 2n-1=4 + 22 - 21 -b 5 - 22+ (3n- 4) - 211'1卜 6?十十卢1如-尸 Mi = 4 十1%' - (5-)，寸+ 61-2化简得 【点睛】在

11、(2)问题中，看到通项公式为等差型乘以等比型的数列，最常用 错位相减 的方法求前n项和, 这是求和的基本方法之一。19.在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD _L底面ABCD ,底面ABCD为直角梯形，BC / AD , ZADC = 900 , BC = CD=I, AD = 2, PA = PD =而，E 为 AD 的中点，1为 PC 的中点。(1)求证：PA /平面BEF ；(2)求二面角F-BE-A的余弦值。忑【答案】(1)见证明；(2) -y【解析】【分析】(1)利用面外线与面内线平行证明面外线平行于平面。(2)建立空间直角坐标系，利用两个半平面的法向量的夹角余弦值，来求二面角的平面角

12、的余弦值， 或用几何法找到二面角的平面角来求余弦值。【详解】(1)连接nC交HE于Y,并连接CE, FN,"BC/AD, BC = 1aD, E 为 AD 中点，八 AE/BC ,且 AE = BC, 2二四边形ABCE为平行四边形，二K为AC中点，又F为PC中点，J.NRTPA , ：NFu 平面HEF, PAH平面EEF, ,PA7平面BEF.(2) R解法11 (向量法)连接PE,由E为AD的中点及PA = PD=下,得艮E_LAD.则PE = /i,二.侧面PAD，底面ABCD,且交于AD ,PE 1 面ABCD ,如图所示，以E为原点，EA ER EP分别为 x、v、z轴建

13、立空间直角坐标系,则E00，A(1,0,0), B(QLO), C-】、l、OX 式、。,0,忠).设平面EBF法向量为m=(x,y,z),则T Tf 0 + V + 0 = 0mEB-O j 5二.三二-；：:不 一： "二=C '取,平面EBA法向量可取：/ = (0q1),设二面角F-BE-A的大小为，显然为钝角, cos& = - |cos < mH n > | = - _ t = 二面角F-BE-A的余弦值为金3(2) R解法23 (几何法1)连接PE,由E为AD的中点及PA = PD = dT,得PE 1 AD DE = I, a PE = &

14、lt;2,取PD中点M,连 ME, MF, MA,侧面PAD ±底面ABCD ,且交于AD, BE LAD,.BE !面 PAD- ME 仁面 PAD AH 仁面PAD.PI. I M :正、.F为PC的中点，M为PD的中点ME/TPA, NF/A.'庆W / MEA为二面角F-BE-A的平面角,_ _ /_ 忑在 RM1PDE 中，coMPDE = 卜 MB = , 32_ _vTi在 MDA中，由余弦定理得 MA =2，、 ，人“口心.在%!£.&中 由余弦定理得 cos/MEA - - , 3由所以二面角F-BE-A的余弦值为.R解法33 （几何法2）

15、连接PE,由E为AD的中点及PA = PD=,得£虹侧面！>4口_1底面.旬0口，.£_1面.短（21BC= I , ，PE = J!连BD交CE于点Q,则Q为CE中点，连QF , QN , FN , .F为PC的中点，PE4FQ, FQ1面ABCD,又QN力BC, .QN1BE FN ± BE / FNQ为二面角F-BE-A的平面角的补角一 一 I J 在RMFQN 中,FQ = PR = , QN = BC =, 2122由勾股定理得 2 cos / FNQ=,所以二面角F-BE-A的余弦值为【点睛】本题考查了线面平行的判定和二面角余弦值的求法这两个基本

16、题型。证明线面平行常用线线平行的方法，关键是能在平面内找到与面外线平行的直线。当看到中点时，多往中位线方面考虑，这是找平行 线的常用技巧。求二面角的平面角的余弦值首选空间向量的方法，简单，除非二面角的平面角非常好找， 并且很好求。且左焦点与抛物线二-4x的焦点重合。(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线=卜十7«代¥6与椭圆交于不同的两点 M. N,线段的中点记为A,且线段YN的垂直平分 线过定点g 0),求L的取值范围。【答案】.；.三"三y 【解析】【分析】(1)由左焦点与抛物线的焦点重合，可以求得c,再利用椭圆过点耳L4求得、b,从而求出椭圆方程。(2)由直线

17、与椭圆交于不同的两点，可以由 A>0得到k与m的不等关系，再由 AG直线与直线垂直，斜 率乘积为-1 ,得到k与m的等量关系，将等量关系代入不等关系来限定k的取值范围。【详解】(1) R解法11 ;抛物线/= .虫的焦点为F (-1,0 ),依题意知，椭圆的左右焦点坐标分别为FJ - L0) , F式L0)又椭圆过点 中,斗，.由椭圆的定义知，= 十|PF1= 4,'-3 = 2, 又c = ,b=小 22椭圆的方程为 土-匕=1.43(1) R解法21 丫抛物线=-4x的焦点为F (-1,0 ), 依题意知，椭圆的左右焦点坐标分别为FJ - 1,0) , F式L0)/59又椭圆

18、过点耳L-2'I - - 一 = 12 ,2 忖 D 解得3 = 2, b=/ 22椭圆的方程为 -+-= 1. 43(1) R解法31 丫抛物线产=-4x的焦点为F (-1,0 ), 依题意知，椭圆的左右焦点坐标分别为,七(1,0)又椭圆过点H】.I 2/ a 2 - -= -2 展-3h-2 = 0, a>0a 2，可解得a = 2, b =小22椭圆的方程为 -+-= 1.43(y = kx 卜 mx1一消去y整理得 +14 3（3 十 4k2）x2 十 Smkx + 4iu -12 = 0,J直线与椭圆交于不同的两点,工 A = 64m3k3 - 4(3 + 4k3)(4

19、m3整理得 m2<4k2 + 3设M（X .y 1）3乂，¥ J，线段史K的中点A%，y°），3林 44 - 12. .3 + 4k2- 3 + 4k14m k4mk3m3 +4k2+ m 二,3-4k24m k3m1点A的坐标为二、;,I 3 b 4k2 3 + 4k73nl直线AG的斜率为3 十 4k-24m4m k-32mk-3-4k2,3 14k工 8又直线AG和直线 MN直,24mk = - 1-32mk - 3 - 4k23 + 4广, m =,8k（q + 4k cjT<4k2- 3 ,整理得k”>一,解得k>二或k<.20101

20、0实数k的取值范围为 一电百噂.十/R解法23设乂凶必加的厂力应应丫）-i- - = 1两式相减得3xl-4y；-yl34丫1+当二点也满足方程y =-云D.又直线AG J_hN且过点GQ,0）一、 1 1点A也满足方程y =-苫-）一 13 r I 3,联立解得x = -,y =,即At -)2 Kk 2 ak丁点也在椭圆内部八土 匚V13+V16 64k220瓦 4*，k > 或 k < -1010二k的取值范围为-g【点睛】求参数取值范围的问题，找到限定参数的不等关系式 是解题的关键。本题由 A>0得到k与m的不等关系就是关键， 进由AG直线与直线垂直得到 k与m的等量

21、关系，代入来限定k的取值范围，本题也可以看到中点弦就用点差法解决。alnx21.设函数 f(x) x-a -+ 2g E R).x(1)当曲线y 在点(L处的切线与直线y=工垂直时，求实数的值;(2)若函数F(x) = f(x)4上有两个零点，求实数的取值范围。4x【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：(1)求出函数的导数，得到关于a的方程，解出即可；(2)方程.I x-a 2 = 0恰有两x4x个不相等的正实根，即方程.疝比1 xL (a -+ = 0恰有两个不相等的正实根.设函数4x2g(x)=-宜lnx + Y-(a-2)、+土，根据单调性即可进行求解.4x试题解析：a(lnx -1

22、)由题意知，函数f(x)的定义域为 &十8),； I ,f(l) = - Q= - 1 ,解得3 = 2.X-2i2Tiln.(2)若函数F(x) = f(x) + 一有两个零点，则方程-I- x - a I- 2 = 0恰有两个不相等的正实根，即方程4xx4KFa"-alnx x' - (a - 2)x + = 0恰有两个不相等的正实根 .设函数 g(x) = - alnx x' - (a - 2)x -i,4x4x.a - (a - 2)x - a (2x-a)(x+ 1)X '. ： ： - - :- .xxX当小时，g'(x>0恒

23、成立，则函数 虱X)在(0，十刈上是增函数，函数 作)最多一个零点，不合题意，舍去；当a> 0时，令解得x>?,令W(x)m0,解得OCxT,则函数期x)在网士)内单调递减，在 21 2J调递增.易知xtO时，虱冷，。恒成立，要使函数 鼠库有2个正零点，则虱x)的最小值父0 ,即 22o g-31Haa-aln- + - -(a-2)x-n <0,即-aln- a<0, . a>0, :.n-> 1 ,解得 a > 茨,即实数的取值范围为(&, 土 .2 42 422 22.选彳4-4 :坐标系与参数方程在直角坐标系X5-中，曲线g的参数方程为

24、(为参数)，以原点0为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为3P为=3.(1)写出曲线C1的普通方程和曲线 G的直角坐标方程；(2)已知点P是曲线Q上的动点，求点P到曲线弓的最小距离.2【答案】(1) y=x+6, +/=(2)2 隹【解析】【分析】(1)曲线C的参数方程消去参数，能求出曲线 G的普通方程，曲线 G的极坐标方程利用 产二吟噜,能求 y = psinO出曲线C2的直角坐标方程；(2)设点P的坐标为前同泅I),利用点到直线的距离表示点 P到曲线C的最小距离，结合三角函数的图像与性质即可得到最小值【详解】(1)消去参数得到¥ = k+6, 故曲线5的普通方程为x-丁一6 = 03P： - 2p2cos20 = 3 ,由倍=pcosO y = psinO得至 1 3(x：十 y") -2 = 3,2i即；土/=1，故曲线Q的普通方程为'I(2) R解法11设点P的坐标为w5gs日图M,j|2cos(0 +- 6点P到曲线片的距离.陋8s9 Tin日十6|6忑= 忑7U所以，当=1时，d的值最小, 所以点P到曲线C的最小距离为2金.(2) R解法21设平行直线 J： x-y6 =。的直线方程为x-y+