专题12几何最值之将军饮马巩固练习(提优)-冲刺2020年中考几何专项复习(解析版)

1、几何最值之将军饮马巩固练习（提优）1. 如图所示，在四边形 ABCD 中，/ A = 90o, / C=90o, / D = 60o, AD =3, AB =,若点 M、N分别为边CD, AD上的动点，则 BMN的周长最小值为（）A.B. . .C. 6D. 3【解答】C【解析】作点 B关于CD、AD的对称点分别为点 B和点B,连接BB”交DC和AD于点M和点N,连接MB、NB ;再DC和AD上分别取一动点 M和N（不同于点 M和N）,连接 MB , MB , N B和NB,如 图1所示：BB V MB + MN + NB , BM = BM , BN = BN ,. BM + MN + BN

2、 BB,又. BB = BM + MN + NB , MB = MB , NB = NB,NB + NM + BM v BM + M N+ BN,G = NB + NM + BM时周长最小;IT图图2M连接DB,过点B作BHDB于B的延长线于点 H,如图示2所示:在 RtAABD 中，AD =3, AB =, BD =炉=川/=，/ 2=300,/ 5= 300, DB = DB,又. / ADC=Z 1 + Z 2 = 600, .1 = 300, / 7=300, DB=DB,/ BDB =Z 1 + Z 2+Z 5+Z 7= 1200,DB = DB = DB = 2/3 ,又. / B

3、DB+/ 6= 1800, .6=600, . HD =, HB=3,在RtBHB”中，由勾股定理得：BB=，丹/产+ HW以=/（界=十.炉=6 , /恒 = NB+NM +BM = 6,故选 C.2. 如图，在四边形 ABCD中，DAAB, DA = 6, /B+/C= 1500, CD与BA的延长线交于 E点，A刚好是EB中点，P、Q分别是线段 CE、BE上的动点，则 BP+PQ最小值是（）A. 12B. 15C. 16D. 18【解答】D【解析】如图，作点 B关于CE的对称点F,连接BF, EF,则EB = EF,/ B+/ C= 150o,BEC=30o,BEF = 60o,. BE

4、F是等边三角形，连接 BP, PF, PQ,则 BP=FP, . .BP+QP=FP+ PQ,当F, P, Q在同一直线上且 FQEB时，BP+PQ的最小值为 FQ的长，此时，Q为EB的中点，故与A重合， DA XAB.DA =6, . AE =， MQEF 中，FQ=、/AE=18, .BP+PQ最小值值为18,故选D.3. 如图，等边 ABC中，AD为BC边上的高，点 M、N分别在 AD、AC上，且AM =CN,连接 BM、BN ,当 BM + BN 最小时，/ MBN = 度.【解答】30o【解析】作CH BC ,使得CH = BC,连接NH, BH ,如图所示:H. ABC 是等边三角

5、形， AD BC , CHXBC,/ DAC = / DAB = 30o, AD / CH,/ HCN = / CAD = / BAM = 30o, . AM =CN , AB = BC = CH,ABM CHN (SAS),BM =HN , BN + HN BH ,B, N, H共线时，BM + BN = NH+BN的值最小, 当B, N, H共线时，如图所示：H ABM CHN , ./ ABM =Z CHB =Z CBH =45o, . /ABD=60o, . DBM=15o, . . / MBN =45o-15o= 30o,当BM+BN的值最小时，/ MBN =30o.4. 如图，矩形

6、 ABCD中，AB = 4, BC=6,点P是矩形ABCD内一动点，且,则PC+ PD的最小值为AD【解析】如图，作 PMLAD于M,作点D关于直线PM的对称点E,连接PE, EC.设AM =h ,B四边形ABC都是矩形,AB/CD , AB = CD = 4, BC = AD = 6,-，_1 T S也户上以=歹，X E = 1 X （ X 4 X（6 - ）, 工=2,AM =2, DM = EM =4,在 RtA ECD 中，EC = /CD 2 + ED 2 = 4y/b ,PM垂直平分线段 DE, PD= PE, .PC+PD=PC+ PEEC,PD+ PO 4 , . PD+PC的

7、最小值为1道.5. 如图，在 ABC中，/ ACB =90。，点D是直线 BC上一点.（1）如图1,若AC = BC = 2,点D是BC边的中点，点M是线段AB上一动点，求 CMD周长的最小值;（2）如图2,若AC = 4, BC = 8,是否存在点 D,使以A, D, B为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直按写出线段 CD的长度；若不存在，请说明理由【解答】（1） ACMD周长的最小值为1 + 右；（2）存在，详细见解析【解析】（1）如图，作C关于AB的对称点E,连接DE交AB于M,此时， CMD周长的值最小,. AC = BC, Z ACB = 90o, ./ BCE = 45o,连接

8、 BE,BC = BE = 2, CBE是等腰直角三角形,，DE = y/BE2 + DB7 =+ 1* =、点,. CMD周长的最小值= I + 怖;(2)存在, ,. AC = 4, BC=8,AB = /AC2+nC2 =1巡,ADtZ:C DysD当AD i = AB时， AD iB的等腰三角形，AC BC,CDi = BC = 8当BD2=AB=-1述 时，4AD2B是等腰三角形， :。=4巡8,当 AD3=D3B 时， AD3B 的等腰三角形， BD3=8-CD3,- AC2 斗皿=BDf, 4a 斗 CDI = (8 CD 解得 CD2= 3,当BD4=AB=时，AAD4B的等腰

9、三角形,CD4= 8+ 4/5 ,综上所述，以 A, D, B为顶点的三角形是等腰三角形，线段CD的长度为8或4质 8或3或4V5+8.6. 如图，在锐角三角形 ABC中，BC = 4 y/2 , /ABC = 45o, BD平分/ ABC , M、N分别是BD、BC上的动点，试求 CM+MN的最小值.【解析】如图所示，过点C作CEXAB于点E,交BD于点M,过点M作MN，BC于N,则CE即为CM+ MN的最小值.EN*BC= 42 , /ABC=45o, BD平分/ ABC ,. BCE是等腰直角三角形,: CE=BC- cos 45 = 4/2 x故CM + MN的最小值为4.7. 如图，

10、在平行四边形 ABCD中，BD是对角线，/ ADB=90o, E、F分别为边AB、CD的中点.(1)求证：四边形 DEBF是菱形；(2)若BE = 4, / DEB= 120o,点M为BF的中点，当点 P在BD边上运动时，求 PF+ PM的最小值.【解析】(1)证明：二.平行四边形 ABCD中，AD/BC,DBC = Z ADB =90o,. ABD 中，/ ADB =90o, E 时 AB 的中点，DE= - AB = AE = BE,2同理，BF=DF,.平行四边形 ABCD中，AB = CD ,DE = BE = BF=DF,二.四边形 DEBF 是菱形；(2)连接BF,如图所示：.菱形

11、 DEBF 中，/ DEB=120o, . / EBF = 60o,. BEF是等边三角形， M 是 BF 的中点，EM BF,则 EM = BE - srnGCT = 4 x 警=， 即PF+ PM的最小值是.8. 已知：矩形 ABCD中，AD = 2AB , AB = 6, E为AD中点，M为CD上一点，PELEM交CB于点P,EN平分/ PEM交BC于点N.,V(2)用等式表示BP2、PN2、NC2三者的数量关系，并加以证明；(3)过点P作PGLEN于点G, K为EM中点，连接 DK、KG ,求DK+KG+PG的最小值.【解答】(1)见解析；(2) BP2+NC2=PN2; (3) G

12、+ 3V2【解析】(1)证明：过P作PQXAD于Q,则PQ=AB ,如图所示：Q EO . AD=2AB, E 为 AD 中点，AD = 2DE , . PQ= DE , PEXEM ,/ PQE= / D = / PEM = 90o, / QPE+ / PEQ= / PEQ+ / DEM = 90o, ./ QPE=Z DEM ,PQEA EDM (ASA), . PE= EM ;(2)三者的数量关系是：BP2+ NC2= PN2点N与点C重合时，P为BC的中点，显然 BP2+NC2= PN2成立;点P与点B重合时，N为BC的中点，显然 BP2+NC2= PN2成立;证明：连接BE、CE,如

13、图所示：四边形ABCD为矩形，AD=2AB, E为AD中点,.Z A=Z ABC = 90o, AB=CD=AE = DE, ，/AEB=45o, /DEC = 45o,AB = CD AEB = EC , AE = DE.-.ABE DCE (SAS), /BEC = 90o, . BE= CE,/ EBC = / ECB = 45o,. / EBC = / ECD ,/ ECM又. / BEC=Z PEM = 90o, . BEP=/MEC , / EBP =A EBP = Z ECM 乙 EBP = A CEM ,BE = CEBEPACEM (ASA), . BP= MC , PE=ME, EN 平分/ PEM , ./ PEN = Z MEN =45o,NE = NE EN = MEN , PE = MEEPNA EMN (SAS),，PN=MN,在 RtAMNC 中有：MC2+NC2=MN2,bp2+nc2= pn2；(