牙膏商品价格与重量数学建模副本

1、牙膏商品价格与重量的关系 摘要 在超市购物时，我们注意到大包装商品比小包装商品便宜，比如洁银牙膏50装的每支1.50元，120装的每支3.00元。我们可以通过单位商品价格关于商品重量的函数来分析这个问题。问题一，分析商品价格C与商品重量W的关系。价格由生产成本、包装和其它成本等决定，这些成本中有的与重量W成正比，有的与表面积成正比，还有与W无关的因素。问题二，求单位重量c价格与W的关系，可以用简图分析。最后结合实验结论，对商家或顾客提出合理的建议。一、问题分析商品价格是由成本决定的，成本可分为生产成本、包装成本和其他成本。生产成本与重量W成正比, 包装成本与表面积成正比，其他成本与W无关。单位

2、重量商品价格c=总价格/总重量。牙膏可以近似为圆柱体来思考。二、模型假设设如下变量：商品价格：C 商品重量：W 单位重量价格：c商品包装面积：S 生产成本：C1 包装成本：C2 其它成本：C3 三、模型建立与求解商品价格由成本决定，商品成本=生产成本+包装成本+其他成本故 生产成本与重量W成正比，设 ( k1为大于0的常数 )包装成本与表面积S成正比，商品包装包括牙膏包装和牙膏盒包装，牙膏包装与牙膏表面积有关，牙膏盒为长方体，牙膏盒包装面积S2。牙膏可以近似为无底的圆柱体，则牙膏包装面积S1即圆柱体侧面积，设此圆柱体的半径为R，高为L， 由题意，我们需要将包装面积与商品重量联系在一起，故我们将

3、牙膏体积V近似为圆柱体积的一半，则 设牙膏密度为，则 一般地，为了美观，牙膏的半径与长度有一定比例关系，在这里：设 R=k2L （ k2为大于0的常数 ） 根据，可以得出：半径 由，得出：我们可以把牙膏盒看成一个长为L，宽高都为2R的长方体，故牙膏盒包装面积再根据求得：则包装成本 , k3 、k4 为大于0的常数，是包装价格与包装面积的比值其他成本为固定常数，与W、S无关。即由于k1 , k2 , k3 , k4 ,都是大于零的常数，所以商品价格关于商品重量的函数是单调递增函数，所以商品重量增大，商品价格增大。对于单位重量价格c与商品重量W的关系，我们已知由于k1 , k2 , k3 , k4

4、 ,都是大于零的常数，我们发现包装成本与商品重量成正比，可以简化为：所以 四、模型解释c-W的简图如下图所示： 对c求导：，说明单位商品价格关于商品重量的函数是一个减函数，即随着W的增加，c减小量始终在减少。进一步求导，可知0,则该函数图形为一个的凹形曲线。随着W的增大，c的减小幅度减小。当W很大时，无限接近于0，则c不再减小。由上图分析，亦可得到同样的结论。所以说，不要盲目追求太大包装商品。 牙膏是人们日常生活中不可缺少的日用品。目前市场上的牙膏琳琅满目，有国产的，也有美国、英国、韩国、法国等国进口的，价格从几元到上百元不等。随便到一家商场都能看到几十个品种，如佳洁士、高露洁、黑妹、黑人、中

5、华、两面针、隆力奇、等。“佳洁士”又分为防蛀修护、特效、茶爽等多种。据网上资料显示，消费者选购牙膏分为四类：一是“高露洁”等外资、合资品牌，二是像“两面针”、“中华”这样的著名民族品牌，三是中小企业的产品，四是一部分假冒伪劣产品。目前在牙膏类商品中能够称得上旺销的约有13个品牌，其中中美合资的“高露洁”在中国牙膏市场的占有率高居榜首，其次是“佳洁士”外资品牌。而以往被人们公认为具有相当大市场的著名国有品牌，如“中华”、“洁银”、“黑妹”、“美加净”、“蓝天六必治”、“两面针”等产品的销售额，均呈下降态势。消费者在商场中购买牙膏时一般先从牙膏外包装纸盒入手，观看其印刷质地好坏。例如，纸盒上字体清

6、晰、色彩鲜明、说明完整，包括香型、重量、厂家、产地、功效、商标、生产日期、保质期，如不全，则看牙膏管上是否有补充说明。牙管上的印刷要求同纸盒一样。其次看牙膏管肩部无毛刺，管壁清洁无污染，管尾部无开口，管头部清洁无污染。因此，牙膏的包装问题不可低估，因为它不仅可以保护牙膏的安全和清洁卫生，防止牙膏的散失、残缺、变质和破坏，而且具有广告和推销的功能，消费者在一定程度上通过包装来了解牙膏，从而激发购买欲望。如儿童牙膏在包装上颇费心思，多用动物或鲜艳的图案来吸引孩子注意。可以讲，在同行竞争异常激烈的情况下，不重视包装无异于将自己的产品消费者推向竞争对手。然而，现在很多厂家过度重视包装，误导了消费者的选

7、择。在过于精美的包装下，消费者不知道购物价格中真正属于产品价格的有多少，对牙膏的适用性与真实性也越来越模糊了。而且有些商家没有意识到或已经意识到但却为了赢利全然不顾由此而引起的包装浪费。对于这种每天必用的商品，消费者究竟对它认识多少呢？是否意识到了牙膏的包装也有问题呢？ 一、调研目的1测量牙膏包装与牙膏实体的体积，以了解牙膏包装是否过度； 2 .研究不同品牌牙膏皮中量的多少，以调查牙膏中虚量与实量的关系问题；3. 学习科学测定非标准形状牙膏的体积。二、调研方法1、调研时间：2003年8月至10月。2.调研地点：顺天府超市、旺家超市、新街口百货商场、家乐福超市、西城区青少年科技馆、自己家、北京图

8、书大厦。 3.调研工具：佳能数码相机、三角板、分析天平、长方体塑料盒子、牙膏、牙膏盒。4.调研方法：（1）去商场或超市调查牙膏的种类与实际包装问题。（2）购买10种不同品牌120g的牙膏，用三角板量出牙膏包装盒的长、宽、高，计算出表面积、体积。5.试验测定牙膏体积：试验设计一在西城区青少年科技馆做牙膏重量试验：用分析天平称出10种牙膏的总重、净重、帽重、去帽重量。试验设计二在体积为1496cm3的长方体塑料盒内，装满水后将牙膏用细绳轻轻放进盒内，待水完全处于静止状态后再测量出出水量的多少，验证牙膏的实际体积。试验设计三将牙膏完全挤压，测量牙膏内充气量的多少。6.设计调查问卷，分析人们对牙膏包装

9、问题的认识。三、调研结果1.对10种不同品牌120g牙膏的从牙膏内外包装的观察。2.牙膏包装物与内容质量和体积的情况。测量结果如图表一。图表一序号实验项目牙膏类别包装盒整体积(单位：cm3) 净重（含牙膏皮、帽）（单位：g） 帽重（单位：g） 去帽重量（单位：g）洗必泰牙膏 两面针牙膏 美百事牙膏 中华牙膏 雪豹fe牙膏 隆力奇牙膏 黑人牙膏 336.00128.881.39127.493.牙膏体积测量结果，如图表二、图表三。图表二序号实验次数牙膏类别第一次（单位：cm3）第二次（单位：cm3）第三次（单位：cm3）第四次（单位：cm3）第五次（单位：cm3）均值（单位：cm3）1洗必泰牙膏

10、两面针牙膏 美百事牙膏 中华牙膏 雪豹fe牙膏 隆力奇牙膏 黑人牙膏 70.5286.0080.5270.5287.7270.06图表三序号实验次数牙膏类别第一次第二次第三次第四次第五次均值1佳洁士牙膏（多合一）86.0086.0087.7282.5686.0085.662雪豹fe牙膏70.5268.8073.9665.3667.0869.143中华牙膏51.6067.0868.8065.3668.8064.504隆力奇牙膏70.5267.0867.0870.5270.5269.145黑人牙膏77.4070.5272.2470.5268.8071.904黑人牙膏16.501.004.005.问

11、卷调查中消费者认为牙膏存在的主要问题及其态度，如图表五、图表六。图表五人数与比例存在问题人数所占比例（%）包装918质量2244价格612管内充气多1632其他（口感等）816图表六人数与比例消费者态度人数所占比例（%）没注意1632无所谓1326提醒他人注意1428向社会呼吁510四、分析与结论1.从照片上看，10种牙膏的大小、粗细程度不同，而外包装也不尽相同。2.通过实际测量、计算，我发现同样重量的不同品牌的牙膏有很大差别。在所测量的10种牙膏中，黑人牙膏体积最大，雪豹fe牙膏的包装体积最小，最大值与最小值相差51.05cm3。3.在10种120g的牙膏中，其内包装的体积也有差别，佳洁士牙

12、膏体积最大，两面针牙膏的内包装体积最小，最大值与最小值相差20.99cm3；内外包装的空间值黑人、洗必泰牙膏最大，最小，说明牙膏的包装过度问题小，而佳洁士（多合一）、雪豹fe牙膏有明显的过度包装问题。大小包装的牙膏都有自己的消费者群体，这是由于牙膏适用于不同场合，如旅游者喜欢携带小包装牙膏，而家庭日常使用多用大包装或中包装。通过对比，我发现双管装、家庭装、多管装节省木材。建议使用双管或多管的家庭实惠包装牙膏，这样比较节省木材。4.牙膏内存空气所占空间值，洗必泰、中华牙膏最大，两面针、美百事牙膏最小。5.我印发了50份调查问卷，涉及到儿童、青年、中年和老年。根据调查结果显示：消费者经常使用的牙膏排名为高露洁（占64）、佳洁士（占46）、中华（占32）、黑妹（占24）、蓝天六必治（占20）、两面针和冷酸灵（占16）、洁诺（占12）、洁银（占64），人们经常交换使用不同品牌的牙膏。消费者选牙膏时主要考虑其性能和品牌。有44的人认为牙膏“存在质量问题”，34的人认为牙膏“有明显问题”（其中18的人认为有包装问题，32的人已感到牙膏管内充气量较大），32的人“没有注意”牙膏是否有问题，极个别的认为“没有问题”。然而，面对牙膏中已感到的问题，消费者的态度表现冷漠，28的人的做法是“