比和比例教师

1、比和比例比的认识知识点：1、 比的意义：两个数相除又叫做两个数的比2、 比与除法、分数的关系除法被除数除号除数商分数分子分数线分母分数值比前项比号后项比值 如果用字母表示比、除法、分数三者之间的关系，可以表示为：a : b=a ÷ b = 两个同类量相比，必须保证单位相同。求两个带有不同单位的同类量的比，要先把两个量的单位统一。两个同类量相比，它们的比值不带单位。注：比与根据除法、分数的主要区别：比表示两个数的倍数关系，除法是一种运算，而分数是一种数3、 比的基本性质 比的前项和后项同时乘以或除以一个不为零的数，比值不变，这叫比的基本性质。如：14:21=（14÷7）：（2

2、1÷7）=2:34、 比的化简 比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比是最简整数比。把两个数的比化成最简整数比，称为比的化简。根据比的基本性质我们可以把一个比化为最简整数比。 比的化简：1、整数与整数的比的化简可以先把比改写成分数的形式，然后再把这个分数进行约分，或者把比的前项、后项同时处以它们的最大公因数；2、分数与分数的比的化简用比的前项除以比的后项，结果一定是一个比，也可以把比的前项、后项同时乘以它们分母的最小公倍数；3、小数与小数的比的化简可以先把小数比改写成小数除法，根据商不变的性质化简，也可以把小数转化成整数再化简。化简比和求比值主要区别：体现在结果形式上，化简比

3、的最终结果必须是一个最简整数比；求比值的最终结果是一个数，可以是分数、小数或整数。两个圆的半径、直径、周长的比都相同，而面积的比是半径的平方比。解决按一定的比进行分配的问题应先求出标准量一共分成了几份，再根据比用相应分数来表示整体与部分的关系，用分数来解答，或者是采用平均分的办法求出每份的具体数量，再解答问题。5、 求比值 根据比值的意义，用前项除以后项，结果可以是整数、小数、分数。比例知识结构1、比例的意义和性质（1） 比例的意义 表示两个比相等的式子叫做比例。 组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。（2）比例的性质 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。

4、这叫做比例的基本性质。（3）解比例根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个数比例中的另外一个未知项。求比例中的未知项，叫做解比例。2、正比例和反比例（1） 成正比例的量两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。用字母表示y/x=k(一定）（2）成反比例的量两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。用字母表示x×y=k(一定)3、比例的应用（1）比例尺 比例尺

5、的意义:一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。比例尺表示的是图上距离和实际距离的倍比关系，不能带计量单位，可以写成带比号的形式，也可以写成分数形式。比例尺的分类:根据表现形式的不同，把比例尺分为数值比例尺和线段比例尺;根据图上距离是将实际距离缩小或者放大，把比例尺分为缩小比例尺和放大比例尺。为了方便，一般把缩小比例尺写成前项为“1”的形式，而把放大比例尺写成后项为“'1”的形式。根据“图上距离:实际距离=比例尺”可以列比例求出图上距离或实际距离，也可以利用“图上距离=实际距离x比例尺”“实际距离=图上距离+比例尺”直接列式求出图上距离或实际距离。应用比例尺画图:先根据实际

6、距离和纸张的大小，确定合适的比例尺，再根据确定的比例尺求出图上距离，然后根据求出的图上距离画出相应的平面图，并标出平面图的名称及比例尺。 （2）图形的放大与缩小。 图形的放大与缩小是生活中常见的现象，其特点是放大或缩小后的图形与原图形相比，形状相同，大小不同。 图形放大与缩小的方法:一看，看原图每边的长度;二算，计算按给定的比例放大或缩小后得到的新图形每边的长度;三画，按计算出的新图形每边的长度画出原图的放大图或缩小图。线段比例尺：在图上附有一条注有数目的线段，用来表示和地面上相对应的实际距离。（3）按比例分配 在农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种分配的方法通

7、常叫做按比例分配。方法：首先求出各部分占总量的几分之几，然后求出总数的几分之几是多少。典例解析及同步练习1比和按比例分配例1 两个相同的瓶子装满酒精溶液，一个瓶子中酒精与水的体积之比是3：1，另一个瓶子中酒精与水的体积之比是4：1.若把两个瓶子里的酒精溶液混合，则溶液中酒精与水的体积之比是多少？ 解析：此题中只知道两个瓶子中酒精与水的体积比，要知道混合后它们的体积比，有以下两种方法可以借鉴。 解法1：由于两个瓶中溶液的量相同，故可将每个瓶中溶液的量看作单位“1”，这样就可以在同一单位“1”的情况下表示出每个瓶中的纯酒精（或水）。 第一瓶中酒精的含量：= 第二瓶中酒精的含量：= 酒精与水的体积比

8、是（）：（2）=31：9 解法2：由于两瓶中溶液的量相同，当每份量同样多时，两瓶的总份数应相等，第一瓶有酒精溶液31=4（份），第二瓶有酒精溶液41=5（份），4和5的最小公倍数是20.则3：1=15：5 4：1=16：4 酒精与水的体积之比是（1516）：（54）=31：9答：酒精和水的体积比是31：9。举一反三训练11、 A、B两个长方形，它们的周长相等，A的长与宽的比是3：2，B的长与宽的比是5：3，A与B的面积之比是多少？2、甲、乙两块合金的质量比是8：7，甲合金中铜与锌的质量比是5：3，乙合金中铜与锌的质量比是9：5。现两块合金熔成一块，新合金中铜与锌的质量比是多少？典例2 一个公路

9、收费站规定的车辆过路费标准如下。8月8号这天，过这个收费站的小型车和中型车的数量比是5：3，中型车和大型车的数量比是5：4，这天共收过路费3640元。过这个收费站的三种车各有多少辆？小型车5元/辆·次中型车10元/辆·次大型车15元/辆·次 解析：这是一道按比例分配的应用题。解答此题的关键是要弄清3640元的过路费是按什么比例进行分配的（数量之比），再根据已知条件中小型车与中型车的比、中型车与大型车的比，按比的基本性质，可以求出小、中、大型车的比，即25：15：12，然后按这个比，再根据车辆过路费的标准，即可求出三种车各有多少辆。 解：5：3=25：15 5：4=

10、15：12 小：中：大=25：15：12 3640÷（25×515×1012×15）=8 小：25×8=200（辆） 中：15×8=120（辆） 大：12×8=96（辆）举一反三训练21、 有一杯盐水，盐与水的质量比是1：10，再放入2克盐，新盐水重35克，原来盐水中盐和水各多少克？新盐水中盐和水的质量比是多少？2、某市有三家用水大户，原来每家每月的用水情况是：甲每月用水1200吨；乙每月用水1500吨；丙每月用水2100吨。这节约用水，供水公司要求三户按原用水比例共减少用水800吨。每户每月应节约用水多少吨？2比例和比例尺

11、 典例 在一幅地图上量得甲、乙两地的距离是6厘米，乙、丙两地的距离是8厘米。已知甲、乙两地的实际距离是120千米。（1） 这幅地图的比例尺是多少？（2） 乙、丙两地的实际距离是多少千米？（3） 如果一辆汽车从甲地经乙地到丙地，平均每小时行80千米，这辆汽车从甲地到丙地一共需要多少小时？解析：比例尺指的是图上距离和实际距离的比。（1）根据题意可知，甲、乙两地的图上距离是6厘米，实际距离是120千米，合12000000厘米，可以得出这幅地图的比例尺是6：12000000=1：2000000；（2）乙、丙两地的图上距离是8厘米，可以利用图上距离÷比例尺求出实际距离，即8÷=160

12、00000（厘米），16000000厘米=160千米；（3）是知道路程和速度求时间的问题，只要用总路程÷速度就得到了行驶的时间，即（120160）÷80=3.5（小时）。 解：（1）120千米=12000000厘米 6：12000000=1：2000000 （2）8÷=16000000（厘米） 16000000（厘米）=160千米 （3）（120160）÷80=280÷80=3.5（小时）举一反三训练 一、填空。 1、在18：12=6：4中，比例的外项是（ ）和（ ），内项是（ ）和（ ）。 2、用24的4个因数组成一个比例是（ ）。 3、在比

13、例中，两个内项互为倒数，其中一个外项是0.25，另一个外项是（ ）。 4、一幅地图上的比例尺是 0 50 100，图上1厘米表示实际距离是（ ）。 5、在一幅地图上，量得两地之间的距离是4.3厘米，已知实际距离是258千米，这幅地图的比例尺是（ ）。拓展部分【求比的问题】例1 两个同样容器中各装满盐水。第一个容器中盐与水的比是23，第二个容器中盐与水的比是34，把这两个容器中的盐水混合起来，则混合溶液中盐与水的比是_。解析：第一个容器中，盐占整个溶液的，水占整个溶液的；第二个容器中，盐占整个溶液的，水占整个溶液的。则混合溶液中，盐与水的比是：例2 赢利百分数=×100%某电子产品去年

14、按定价的80出售，能获利20，由于今年买入价降低，按同样定价的75%出售，却能获利25%。那么，= 。解析：设去年买入价为a元，卖出价为b元，则有=20%。即：×80%=1+20% 。又设今年买入价为c元，卖出价为b元，则有=25%。即：=1+25% 。所以，（×80%）÷（×75%）=(1+20%)÷(1+25%),即=，也就是=。【比例问题】例1 甲、乙两包糖的重量比是41，如果从甲包取出10克放入乙包后，甲、乙两包糖的重量比变为75 那么两包糖重量的总和是_克。解析：把甲乙两包糖的总量作为单位“1”，则甲包占全部总量的，当从甲包中取出10克放入乙包后，甲包占全部总量的。所以，两包糖重量和是10÷（-）=46（克）。例2 甲容器中有纯酒精11升，乙容器中有水15升，第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器，使酒精与水混合。第二次将乙容器中的一部分混合液倒入甲容器。这样甲容器中纯酒精含量为62.5，乙容器中纯酒精含量为25，那么，第二次从乙容器倒入甲容器的混合液是_升。讲析：因为现在乙容器中纯酒精含量为25，所以，乙容器中