闵可夫斯基时空

1、闵可夫斯基时空阿尔伯特 爱因斯坦在瑞士苏黎世联邦科技大学 时期的数学老师赫尔 曼闵可夫斯基在爱因斯坦提出狭义相对论之后，于1907年将爱因斯 坦与亨德里克 洛伦兹的理论结果重新表述成(3+1)维的时空，其中光 速在各个惯性参考系皆为定值，这样的时空即以其为名，称为闵可夫 斯基时空，或称闵可夫斯基空间。爱因斯坦一开始不认为这样的表述有何重要性，但当他 1907年开始 转往广义相对论发展时，发现闵可夫斯基时空可说是其所要发展的理 论架构的基础，转而对这样的表述采取高的评价。标准基底 闵可夫斯基时空的一组常用标准基底是四个互相正交的矢量的集合G, ei, e2, e3)使得-(co)3 = (ei)

2、2 = (e2)2 = (e3)3 = 1这些条件可以更简要地写成如下形式:其中与V函盖的数值有0,1,2, 3，矩阵n称为闵可夫斯基度规，Z-1 o o o0 10 0"二 0010数值为11 相对于一组标准基底，一矢量；的分量可以写作， 并且我们使用爱因斯坦标记来写， 。分量称作；的类时分量” timelike component，而其他三个分量则称作类空分量” Spatial component 以分量来写，两个矢量与间的内积可写成（V； W） =+ v1iv1 + v2w2 +而一矢量丁的范数（norm）平方值为v2 ="胛 wv* = _（y°F +（V

3、1）2 +（V2）2 +（v3）2因果结构 四维矢量依据它们（闵可夫斯基）内积的正负号来区分。四维矢量、 与可分类如下:是类时（timelike），当且仅当一 f*是类空(spacelike，当且仅当卫 一匕八一说r l W是零(null)或称类光(lightlike),当且仅当加旷旷=旷叫=0这样的术语源自于 相对论中对于闵可夫斯基时空的使用。闵可夫斯基 时空中一事件所有零矢量的集合构成了该事件的 光锥(light co ne)。注 意到这些标记的使用与参考系无关。矢量场被称作是类时、类空或零，是看场定义所在的各点，其所对应 的矢量是类时、类空或零。关于零矢量一个有用的结果： 若两个零矢量-

4、、'正交(即：零内积 值二弐一 W ；)，则它们必定是呈比例关系./ (为常 数)。”一旦时间方向选定了，类时矢量与零矢量可以再分为各种类别。以类时矢量(timelike vector)来说，我们有1.未来方向(future directed)类时矢量，其第一个分量为正，而2.过去方向(past directec)类时矢量，其第一个分量为负以零矢量(null vector)来说，可分为三种类别:1.纯零矢量(zero vectoi)，其在任何基底下，所有分量皆为(0,0,0,0) 。2. 未来方向零矢量，其第一个分量为正，而其余分量为 0。3. 过去方向零矢量，其第一个分量为负，而其余

5、分量为 0。加上类空矢量，全部共有六种类别。闵可夫斯基时空中的正交归一基底 (ortho normal basis)必然包含一个类时与三个类空的单位矢量。若希望以非正交归一基底来做运算， 则可有其他的矢量组合。例如：可以轻松建构一种(非正交归一)基 底，整个是由零矢量所组成，称之为“零基底闵可夫斯基时空2误解由于闵可夫斯基时空的缘故，许多人常听到，空间”与时间可以组 成一个四维【空间】这样的句子，因而误以为时间跟空间是等价的， 但事实上相对论只描述了空间跟时间有着互相影响的特性，时间并没有像空间一般可以自由移动的特性。上面那个句子中第一个 空间”指的是一般的空间无误，但第二个【空间】指的其实是

6、闵可夫斯基时空，是数学上的【空间】，而非物理上的空间”Hull basis）。闵可夫斯基空间狭义相对论中由一个时间维和三个 空间维组成的时空，为俄裔 德国数学家闵可夫斯基（H.Minkowski,1864-1909）最先表述。他的平坦 空间（即假设没有重力，曲率为零的空间）的概念以及表示为特殊距 离量的几何学是与狭义相对论的要求相一致的。闵可夫斯基空间不同于牛顿力学的平坦空间。2推导我们从空间坐标变换说起。我们知道，平面解析几何中的坐标变换式是：x'=xcos © +ysin ©y'=-xsin © +ycos ©借助矩阵的形式，我们可以

7、把上式写成：m引1这里的变换矩阵I I I Iall a12 | cos © sin ©a21 a22 | -sin © cos ©L J L J是一个正交矩阵，因此这样的坐标变换能保证任意两点间距离不 变。从这里只要一步就可以跨进狭义相对论。我们把时间 t乘以一个 因子ic,这里c是具有速度量纲的一个常数，那么ict就有了长度的 量纲（不过它的数值是虚的）。这个ict就作为与三维空间的三个坐标相并列的 第四维度，并且规定在坐标变换（实 际上就是从一个惯性系变换到另一个惯性系）时，变换矩阵必须是正 交的。比如，我们常见的 洛仑兹变换：x'=(x-

8、vt)/ (1-vA2/cA2)A(1/2)y'=yz'=zt'=(t-vx/cA2)/ (1-vA2/cA2F(1/2)如果把x、y、z依次记为x1、x2、x3，又记ict为x4，写成矩阵的形式就是：I I I厂 nx1' | y 0 0 i By II x1I x2'| = |0 1 0 0|x2 |I x3'|0 0 1 0|x3 |x4' | - i By 0 0 丫 | | x4L J L J L J上式中，B =v/c Y =1/v-VA2/cA2。这么一来，时空统一”看起来是不是清楚多了？在这样的正交变换之下，有一个叫做 四

9、维间隔”的东西是守恒的。 如果记间隔为s,那么sA2=（ x1）A2+（ x2）A2+（ x3）八2+（ x4）八2二"2 （戲）八2这个四维间隔”也就是四维时空中两点（准确地说应该叫做 时 空点”间的 距离”上式最右边的r是空间上的距离，t是时间上的 距离。与此同时，c就成了四维时空中一个非常独特的速度。假如：在某个惯性系S1看来，一个物体从A地匀速运动到B地，历时 t1，穿越距离r1;而在另一惯性系S2中，这一物体从A地到B地，历时t2,穿越 距离r2;那么在这两个惯性系中，物体从A地到B地”所经历的 四维间隔 的平方分别是s1A2=r1A2-(ct1)A2和s2A2二2八2-（戲2）八2。倘若在S1系中此物体速度为c,那么r1/t1=c，于是s1=0。则经 过时空坐标的变换后必有s2=0即r2/t2=c，也就是说这一物体在 S2 系中的速度也是c。换句话说，只要时间t以一个固定的常数c （不 管这是不是光速！）与空间相联系，那么以c为速度的物体在一切惯 性系中的速度都是c。前提是C不为0。设V是实数域上的四维空间，若g是一个非退化的对称型且其正 惯性指数等于3，则称（V，g）是一个闵可夫斯基空间.g在适当基下 有如下矩阵1 0 0 00 0 1 00 0 0 -1V上的正交变换即称为洛伦兹变换，V中的迷向向量称为光向量，V中适合g (