精仪学院陶会荣1011202121临界力求解的直接迭代算法算法原理

1、精仪学院陶会荣1011202121临界力求解的直接迭代算法一、 算法原理针对变截面压杆临界载荷的问题，基于一阶临界载荷作用下的结构稳定平衡条件，可以进行杆件的离散化，以杆件各离散点的未知挠度和压杆临界力为未知量， 以每个离散点的挠 度与临界力所满足的差分方程，构建求解临界力非线性方程组。应用材料力学理论中，针对常截面，可以通过欧拉公式Fcr=n 2EI/(卩I) 2和经验公式Fcr=a-b入来确定临界力。但是受压杆截面为变截面时，没有相应临界力表达式。而迭代算法可以应用于该领域的计算。算例：如下图两端铰支受压杆，压杆长 I，截面为圆台形，材料弹性模量 E,确定临界 力。图示1问题分析：当压杆处

2、于稳定状态的时候，应满足：在该临界力的作用下，杆件处于弯曲 状态下的平衡状态。 假设计算工程实际中的临界力， 也就是杆件的一阶临界力， 杆件正好处于 图示2所示状态。设未知的挠曲线方程为 y=f(x)。度线的纵坐标为yi ,i=0,1,2,n,(xi , yi) , i = 0,1,2,n为离散点。对于简支结构y0=yn=0。 针对压杆挠曲轴线微分方程：Ely " =M(x)。应用差分原理，y" i=yi+1-2yi + yi-1/ x2,代入变截面条件I(xi)=Ii 转化为：I. = . ,!.-；(1)方程(1)为含yi, i=1,2，,n-1和Fcr未知量为n个的非

3、线性方程组。由于未知量数量大于方程的数量，因此不能直接求解临界力。在临界力作用下，挠度线存在一种形态，挠度线 y值是不定的。但是假设给出其中的一点Xm处的挠度ym,那么变形曲线就是唯一确定的。此时共有yi,i= 1,2,n-1,i丰m和临界力Fcr的n-1个未知量，可以由方程 唯一确定。设其中一点为常数J- - ',;./:'-.二：.-1ym=c,获得i=0,1,2,n-1,n的迭代方程:旷=y*+13 =, bi (y； + Ij = L2m-Lni- 1一n - 1 宀二 *针对yn+1让公式2求和 S"1 切弭1 -胡+fx二-得到:获得收敛迭代式:严叮问1

4、七+绚v<k+i> -严mJ m如隘讯煜- 2 =药二1鼻2 I. in +1.>11 一 1i'k'约束条件:解此题:由于砲EI耐：鬲1+1w - dx- P可知求出厶|即可求出 总1何=善d+加Eir . EIlx)EI°=64df_r= (l+p4那么分段数n=42，迭代精r0为检的值，exp设m=n/2, ：-:初始值費.L ,.。度为e6。二、程序及结果分析其MATLA程序如下：fun ctio n k,r=ddfch( n, xO,rO,eps)%为迭代次数，r为迭代结果，n为分段数，n为偶数，x0为迭代初始值, %为迭代精度n=42;x

5、0=0.2;r0=1;eps=0.000001;r=0;for i=1:1:n+2y(i)=xO;endy(1)=0;y(n+1)=0;y( n+2)/2)=r0;k=1;tol=1;while tol>epsfor i=2:1:na(i)=(y(i+1)+y(i-1)*(1+(i-1)/n)M);endb=0;c=0;for i=2:1:nb=b+(y(i+1)-2*y(i)+y(i-1)*(1+(i-1)/n)A4);c=c+y(i);endd=b/c;for i=2:1:nz(i)=a(i)/(d+2*(1+(i-1)/n)人4);endz(1)=0；z( n+2)/2)=1;z(n +1)=0;z(n+2)=-d;for i=1:1:n+2e=n orm(y(i)_z(i);endtol=max(e) ;k=k+1;if (n>100000)disp( '迭代次数过多，方程可能不收敛);return ;endfor i=1:1:n+2y(i)=z