第四讲积分要点

1、第四讲 不定积分、原函数与不定积分1、原函数：假设F (x)工f(x)，那么F(x)为f(x)的一个原函数;2、不定积分：f(X)的所有原函数F (x) +C叫做f(X)的不定积分，记作f(x)dx 二 F(x) C二、不定积分公式记忆方法：求导公式反着记就是不定积分公式三、不定积分的重要性质1、 f(x)dx】二 f(x)或d f(x)dx 二 f (x)dx2、 f (x)dx 二 f (x) c注：求导与求不定积分互为逆运算。四、积分方法1、根本积分公式2、第一换元积分法(凑微分法)把求导公式反着看就是凑微分的方法，所以不需要单独记忆。3、第二换元积分法、ax b,令t 二 ax ba2

2、 -x22 2x - a三角代换令 x 二 a si nt 令 x = asect 令 x = ata nt三角代换主要使用两个三角公式：sin2t cos2t =1,1 tan21 = sec t4、分部积分法 udv二uv - vdu第五讲定积分bn1、定积分定义a f (x)dx 二 lim f ( J * $ i =1如果f(x)在la,b上连续，那么f(x)在l-a,b】上一定可积。理解：既然在闭区间上连续， 那么在闭区间上形成的就是一个封闭的曲边梯形，面积存在所以一定可积，因为面积是常数，所以定积分如果可积也是常数。资料个人收集整理，勿做商业用途2、定积分的几何意义(1)如果f (

3、x)在a,b 1上连续，且 f(x)O，那么：f (x)dx表示由f(x)，ab x=a, x = b,x轴所围成的曲边梯形的面积。s= a f(x)dx。(2) 如果 f (x)在 a,b 上连续，且 f(x)：O, s=-：f(x)dx。3、定积分的性质：bb(1) a kf (x)dx = k a f (x)dxbbb(2) a f (x) - g(x)dx= a f(x)dx 一 ag(x)dxbcb(3) a f(x)dx 二 a f(x)dx cg(x)dxbaab(4) 1dx = b a f(x)dx = O b f (x)d - fa f (x)dxbb(5) 如果 f (x

4、)空 g(x)，那么.f (x)dxg(x)dxaa(6) 设m,M分别是f(X)在a,b 1 的 min, max,那么bm(b a)兰f (x)dx 兰 M (b a)如果f(x)在 a,b 1 上连续，那么至少存在一点a,b】，b.a f (x)dx 二 f( )(b - a)记忆：总可以找到一个适当的位置，把凸出来的局部切下，剁成粉末，填平在凹下去的局部使曲边梯形变成一个长方形。资料个人收集整理，勿做商业用途称f (x)dx为f (x)在a,b 1上的平均值。b_a a4、积分的计算(1)、变上限的定积分X(a f(t)dt)二 f(x)x注：由此可看出来的一个原函数。而且变上限的定积

5、分的自变量只有一个是 x而不是t(2)、牛顿一莱布尼兹公式设 f(x) 在 a,bi 上连续， F(x) 是 f(x) 的一个原函数，那么b人Lf(x)dx=F(x)； = F(b)-F(a)由牛顿公式可以看出，求定积分，本质上就是求不定积分， 只不过又多出一步代入积分上下限，所以求定积分也有四种方法。r根本积分公式第一换元积分法(凑微 分法)I第二换元积分法分部积分法5、奇函数、偶函数在对称区间上的定积分(1)、假设f (x)在-a,a】上为奇函数，那么 f(x) = O(2)、假设 f (x)在a,a 】上为偶函数，那么f (x) = 2 f (x)dx注：此方法只适用于对称区间上的定积分。6、广义积分(1)无穷积分:ca f(x)dx = cm, f(x)dxbbf(x)dx = lim f (x)dxcc:c:_ f (x)dx = _：f (x)dx c f (x)dxg(x)面积S = ff (x) - g(x) dx，记忆:a面积等于上函数减去下函数在边界a,b 1上的定积分。y)x(yd面积S=岭(y) (y)ldy记忆方法:8、旋转体体积把头向右旋转90就是第一副图。(1)g(x)yf(:Vx-二 ? (X)】 dx曲线阴影局部绕绕 x轴旋转一周所得旋转体体积:a f2 x