线线角,线面角的向量求法 -

1、立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法线线角线线角,线面角线面角,二面角的求法二面角的求法问题：如何求平面的法向量？),() 1 (zyxn 设出平面的法向量为),(),()2(222111cbabcbaa向量的坐标两个不共线的找出（求出）平面内的111222(3), ,0000 x y za xb yc zn an ba xb yc z 根根据据法法向向量量的的定定义义建建立立关关于于的的方方程程组组个解，即得法向量。解方程组，取其中的一)4(平面的法向平面的法向量不惟一，量不惟一，合理取值即合理取值即可。可。空间空间“夹角夹角”问题问题1.异面直线所成角异面直线所成角设直线设直线, l

2、m的方向向量分别为的方向向量分别为, a b lamlamb 若两直线若两直线 所成的角为所成的角为 , 则则, l m(0)2cosa ba b 例例2090 ,Rt ABCBCAABC中，现将沿着111ABCABC平面的法向量平移到位置，已知1BCCACC，111111ABACDF取、的中点、 ，11BDAF求与所成的角的余弦值.A1AB1BC1C1D1Fxyz解：以点解：以点C C为坐标原点建立空间直角坐标系为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设如图所示，设 则：则： Cxyz11CC (1,0,0),(0,1,0),AB1111 1( ,0, ),( ,1)22 2Fa D所以：所

3、以：11(,0,1),2AF 111( ,1)22BD 11cos,AF BD 1111|AFBDAFBD A1AB1BC1C1D1F11304.105342所以 与 所成角的余弦值为1BD1AF3010212)0,20(21ABn221212. 线面角线面角设设n为平面为平面 的法向量，直线的法向量，直线AB与平面与平面 所所成的角为成的角为 ，向量，向量 与与n所成的角为所成的角为 ，则则1AB2n而利用而利用 可求可求 ，从而再求出从而再求出 2.1nABnAB2cos2. 线面角线面角 ua ula 设直线设直线l的方向向量为的方向向量为 ， 平面平面 的法向量为的法向量为 ，且，且直

4、线直线 与平面与平面 所成的角为所成的角为 ( ), 则则a u l02 sina ua u 练习练习4： 如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是是正方形，侧棱正方形，侧棱PD底面底面ABCD，PD=DC=1 ,E是是PC的中点，的中点， 求求PB与平面与平面EDB所成角的正弦值所成角的正弦值 ABCDP PE E解：如图所示建立空间直角坐标系解：如图所示建立空间直角坐标系.(0,0,0),(0,0,1),1 1(0, )2 2PE依依题题意意得得D DB(1, 1，B(1, 1，0)0)1 1(0, )2 2DE DB =(1, 1，DB =(1, 1，0)0)X

5、YZ设平面设平面EDB的法向量为的法向量为( , , )nx y z, nnDEDB 则1101, 1, 1220于是yznxy例例3 3、 的棱长为 1.111.B CAB C求与 平 面所 成 的 角 的 正 弦 值解解1 建立直角坐标系建立直角坐标系.11(010)则，- ， ，BC B 11 平面AB C的一个法向量为D=(1，1， 1)1110 1 03cos313 ，BD BC1113所以与面所成的角的正弦值为。3BCABCA1xD1B1ADBCC1yzEF练习： ABCD1A1B1C1D正方体正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为的棱长为1。求职：求职： B1C1与平面与平面A

6、B1C所成角的正弦值所成角的正弦值练习： ABCD1A1B1C1Dxyz(0 0 0)A ， ，1(101)B， ，(110)C ， ，解：设正方体棱长为解：设正方体棱长为1，1AB AD AA ， ，为单以以1(101)(110)ABAC ， ， ，1(111)C， ，11(010)BC 则， ，1()ABCnxyz设为， ，平平面面的的法法向向量量100n ABn AC 则，0=10= -1xzxyn =(1 -1 -1)， ， ，xyz所所以以取取得得故故位位正正交交基基底底，可可得得110 1 03cos313n BC ，1113所以与面所成的角的正弦值为。3BCABC正方体正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为的棱长为1。求职：求职： B1C1与平面与平面AB1C所成角的正弦值所成角的正弦值