等比数列定义与通项

1、2.4.1等比数列的定义与通项公式（第一课时） 高中数学教师欧阳文丰制作名称名称等差数列等差数列概念概念常数常数性质性质通项通项通项通项变形变形dnaan) 1(1 dknaakn)( ),(*Nkn旧知回顾旧知回顾从第从第2项起项起,每一项与它每一项与它前前一项的一项的差差等等同一个常数同一个常数公差公差(d)d可正可负可正可负,且可以为零且可以为零如果一碗面由如果一碗面由256256根面条组根面条组成成, ,请问需要拉面师傅拉几请问需要拉面师傅拉几次才能得到次才能得到? ?我国古代一些学者提出：我国古代一些学者提出：“一尺之棰，日取其半，一尺之棰，日取其半，万世不竭。万世不竭。” 如果把如

2、果把“一尺之棰一尺之棰”看成单位看成单位“1”，那么得到的数列是那么得到的数列是:, ,. . . .2 21 1, ,. . . . . . ., ,1 16 61 1, ,8 81 1, ,4 41 1, ,2 21 11 1, ,1 1n n我国银行的定期储蓄中有我国银行的定期储蓄中有“复利复利”的支付利息的方式，现存的支付利息的方式，现存入银行入银行1万元，年利率为万元，年利率为1.98%，那么，那么5年内各年末的本利和年内各年末的本利和分别是分别是:拉面时前拉面时前9次拉伸成的面条根数构成一个数列次拉伸成的面条根数构成一个数列: 上面数列有什么上面数列有什么?从从第二项第二项起起,每

3、一项与前一项的每一项与前一项的比比都等于都等于同一个常数同一个常数。1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 2561.0198，1.01982 ,1.01983, 1.01983,1.01984, 11.01985观察数列 ( 1) 2，4，8，16，32，64.(2) 1，3，9，27，81，243，(3) (4) (5) 5，5，5，5，5，5，(6) 1，-1，1，-1，1， 定义：如果一个数列从第定义：如果一个数列从第2项起，每一项与项起，每一项与它的前一项的比等于同一个它的前一项的比等于同一个常数常数（指与指与n无关的无关的数数），这个数列就叫做），这个数列就叫做等

4、比数列等比数列，这个，这个常数常数叫做叫做等比数列等比数列的的公比公比，公比公比通常用字母通常用字母q表示。表示。）且无关的数或式子是与0,(1qnqaann以上以上6个数列的公比分别为个数列的公比分别为公比公比 q=2 递增递增数列数列公比公比 q=3 递增递增数列数列公比公比 d= x 公比公比 q=1 非零非零常常数列数列公公 比比q= -1 摆摆动动数列数列因为x的正负性不确定，所以该数列的增减性等尚不能确定。)0(, 1432xxxxx,161,81,41,21公比公比 q= 递递减数列减数列211.1.等比数列定义等比数列定义 一般地，如果一个数列从一般地，如果一个数列从第第2 2

5、项起项起，每一项与它前，每一项与它前一项的一项的比都等于同一个常数比都等于同一个常数，这个数列就叫做，这个数列就叫做等比数等比数列列. .这个这个常数常数叫做等比数列的叫做等比数列的公比公比，通常用，通常用字母字母q q表示。表示。或*1 Nnqaann其数学表达式：其数学表达式：*1, 2Nnnqaann对等比数列的认识：（1 1） 即等比数列的每一项都不为即等比数列的每一项都不为0 0；0na（2 2） 即等比数列的公比不为即等比数列的公比不为0 0；0q（3 3） 为非零常值数列为非零常值数列. . 1q*1 Nnqaann练一练练一练是不是是不确定22, 2,2, 1 ) 1 (（2）

6、，64（3）3，3，3，3, ,3（4）2, 0, 0, 0，0（5）1, x, x2, x3, xn-11 1、判别下列数列是否为等比数列、判别下列数列是否为等比数列? ?是0,x 则该数列不是等比数列；0,.x 则该数列是等比数列问题：如何用和表示第项.1aqnna归纳猜想法113134212312,nnqaaqaqaaqaqaaqaa叠乘法,12qaa,23qaa,34qaa,21qaannqaann1这个式子相乘得，所以.1n11nnqaa11nnqaaNnqaann11,0.xy ka k函数观点函数观点方程思想方程思想类指数函数式类指数函数式解方程解方程, ,知三求一知三求一（1）

7、数列：1，2，4，8，16，1234567891024681012141618200nan（2）数列：）数列：12345678910123456789100,81,41,21,1,2,4,8nan（3）数列：4，4，4，4，4，4，4，12345678910123456789100nan（4）数列：1，-1，1，-1，1，-1，1，12345678910123456789100nan等比数列的增减性等比数列的增减性:1. 当当q1, a10或或0q1, a10时时, an是递增数列是递增数列;2. 当当q1, a10,或或0q1, a10时时, an是递减数列是递减数列;3. 当当q1时时,

8、an是常数列是常数列;4. 当当q0时时, an是摆动数列是摆动数列1.下面有四个结论：由第一项起乘相同常数得后一项，这样所得到的数列一定为等比数列；常数列b, b, b，,b一定为等比数列；等比数列an中，若公比q=1,则此数列各项相等；等比数列中，各项与公比都不为零.正确说法的个数为（ ）(A)0 (B)1 (C)2 (D)3【解析】选C.其中正确的为，；，中不能保证各项及公比不为0,所以错误.2.等比数列an中，a4a6-a5，则公比是( )(A)0 (B)或2(C)-1或2 (D)1或-2【解析】选C.由已知得q2q，所以q-1或2.3.设a1，a2，a3，a4成等比数列，其公比为2，

9、则 的值为( )(A) (B) (C) (D)1【解析】选A. 12342aa2aa141218121222234122aa2aa11.2aa2a qa qq4典型例题讲解 在等比数列在等比数列an中，中，(1)a42，a78，求，求an；(2)a2a518，a3a69，an1，求，求n.思路探索思路探索 解答本题可将条件转化为关于基本元素解答本题可将条件转化为关于基本元素a1与与q的方程组，求出的方程组，求出a1和和q，再表示其他量，再表示其他量【例1】由由a1qa1q418，知，知a132.由由ana1qn11，知，知n6. a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可迎刃

10、而解此类问题求解的通法是根据条件，建立关于a1和q的方程组，求出a1和q.例例2、某种放射性物质不断变化为其他物质，若每经、某种放射性物质不断变化为其他物质，若每经过一年，剩留的这种物质是原来的过一年，剩留的这种物质是原来的 84%，则这种物，则这种物质的半衰期为多少？（精确到质的半衰期为多少？（精确到1年）年）典型例题讲解例例3、如右边框图，请写出所打印数列、如右边框图，请写出所打印数列的前的前5项，并建立数列的递推公式，项，并建立数列的递推公式，这个数列是等比数列吗？这个数列是等比数列吗？开始开始n=1输出输出A结束结束A=1n5?n=n+1否否是是12AA 典型例题讲解例例4: 一个等比数列的第一个等比数列的第3项与第项与第4项分别是项分别是12与与18，求它的第求它的第1项与第项与第2项项.解：解：用用 表示题中公比为表示题中公比为q的等比的等比数列，由已知条件，有数列，由已知条件，有na,18,1243aa18123121qaqa即则这个数列的第则这个数列的第1项与第项与第2项分别是项分别是. 8316与316,231aq解