202X年高中数学第四章定积分4.1定积分的概念课件4北师大版选修2_2

1、4.1 4.1 定积分的概念定积分的概念观察以下演示过程，注意当分割加细时，观察以下演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察以下演示过程，注意当分割加细时，观察以下演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察以下演示过程，注意当分割加细时，观察以下演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察以下演示过程，注意当分割加细时，观察以下演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察以下演示过程，注意当分割加细

2、时，观察以下演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察以下演示过程，注意当分割加细时，观察以下演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察以下演示过程，注意当分割加细时，观察以下演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察以下演示过程，注意当分割加细时，观察以下演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察以下演示过程，注意当分割加细时，观察以下演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩

3、形面积和与曲边梯形面积的关系观察以下演示过程，注意当分割加细时，观察以下演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察以下演示过程，注意当分割加细时，观察以下演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察以下演示过程，注意当分割加细时，观察以下演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察以下演示过程，注意当分割加细时，观察以下演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系求由连续曲线求由连续曲线y= =f(x)对应

4、的对应的曲边梯形曲边梯形面积的方法面积的方法 (2)取近似求和取近似求和:任取任取x xi xi- -1, xi，第，第i个小曲边梯形的面积用个小曲边梯形的面积用高为高为f(x xi)而宽为而宽为D Dx的小矩形面积的小矩形面积f(x xi)D Dx近似之。近似之。 (3)取极限取极限:，所求曲边所求曲边梯形的梯形的面积面积S为为 取取n个小矩形面积的和作为曲边梯个小矩形面积的和作为曲边梯形面积形面积S的近似值：的近似值：xiy=f(x)x yObaxi+1xixD1lim( )niniSfxx=D1( )niiSfxx=D (1)分割分割:在区间在区间0,1上等间隔地插入上等间隔地插入n-1

5、个点个点,将它等分成将它等分成n个小区间个小区间: 每个小区间宽度每个小区间宽度xban-= 11211,iina xx xxxxb-一、定积分的定义一、定积分的定义 11( )( )nniiiibafxfnxx=-D =小矩形面积和S=如果当如果当n时，时，S 的无限接近某个常数，的无限接近某个常数，这个常数为函数这个常数为函数f(x)在区间在区间a, b上的定积分，记作上的定积分，记作 ba (x)dx，即f (x)dx =f (x i)Dxi。 从求曲边梯形面积从求曲边梯形面积S的过程中可以看出的过程中可以看出,通过通过“四步曲四步曲:分割分割-近似代替近似代替-求和求和-取极限得到解决

6、取极限得到解决.1( )lim( )ninibaf x dxfnx=-=ba即定积分的定义：定积分的相关名称：定积分的相关名称： 叫做积分号，叫做积分号， f(x) 叫做被积函数，叫做被积函数， f(x)dx 叫做被积表达式，叫做被积表达式， x 叫做积分变量，叫做积分变量， a 叫做积分下限，叫做积分下限， b 叫做积分上限，叫做积分上限， a, b 叫做积分区间。叫做积分区间。1( )lim( )ninibaf x dxfnx=-=ba即Oabxy)(xfy = = = =baIdxxf)(iinixfD D = =)(lim10 x x 被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变

7、量积分下限积分下限积分上限积分上限 S=baf (x)dx； 按定积分的定义，有按定积分的定义，有 (1) (1) 由连续曲线由连续曲线y y= =f f( (x x) () (f f( (x x) ) 0) 0) ，直线，直线x x= =a a、x x= =b b及及x x轴所围成的曲边梯形的面积为轴所围成的曲边梯形的面积为 (2) (2) 设物体运动的速度设物体运动的速度v=v(t)v=v(t)，那么此物体在时间区，那么此物体在时间区间间a, ba, b内运动的距离内运动的距离s s为为 s=bav(t)dt。 定积分的定义：定积分的定义：Oab( )vv t=tv1( )lim( )ni

8、nibaf x dxfnx=-=ba即112001( )3Sf x dxx dx=根据定积分的定义右边图形的面积为1x yOf(x)=x213S =1SD2SD2( )2v tt= -+O Ov t t12gggggg3SDjSDnSD1n2n3njn1nn-4SD112005( )(2)3Sv t dttdt=-=根据定积分的定义左边图形的面积为baf(x)dx =f (t)dt =f(u)du。 说明：说明： (1) 定积分是一个数值定积分是一个数值, 它只与被积函数及积分区间有关，它只与被积函数及积分区间有关， 而与积分变量的记法无关，即而与积分变量的记法无关，即（2）定定义义中中区区间

9、间的的分分法法和和x xi的的取取法法是是任任意意的的. b ba af f( (x x) )dxdx = = b ba af f ( (x x) )dxdx - -(3)(3)(2)定积分的几何意义：定积分的几何意义：Ox yab y=f (x)baf (x)dx =f (x)dxf (x)dx。 x=a、x=b与 x轴所围成的曲边梯形的面积。 当 f(x)0 时，积分dxxfba)(在几何上表示由 y=f (x)、 特别地，当 a=b 时，有baf (x)dx=0。 当当f(x) 0时，由时，由y= =f (x)、x= =a、x= =b 与与 x 轴所围成的轴所围成的曲边梯形位于曲边梯形位

10、于 x 轴的下方，轴的下方，x yOdxxfSba)(-=-，dxxfba)(ab y=f (x) y=-f (x)dxxfSba)(-=baf (x)dx =f (x)dxf (x)dx。 =-S上述曲边梯形面积的负值。上述曲边梯形面积的负值。 定积分的几何意义：定积分的几何意义：积分 b ba af f ( (x x) )d dx x 在在几几何何上上表表示示 b ba af f ( (x x) )d dx x = =f f ( (x x) )d dx x f f ( (x x) )d dx x。 =-=-S Sab y=f (x)Ox y( )yg x=探究探究:根据定积分的几何意义根据

11、定积分的几何意义,如何用定积分如何用定积分表示图中阴影局部的面积表示图中阴影局部的面积?ab y=f (x)Ox y1()baSfx dx=( )yg x=12( )( )bbaaS S Sf xdxg xdx= -=-2( )baSg x dx=三三: 定积分的根本性质定积分的根本性质 性质性质1. 1. dx)x(g)x(fba = =babadx)x(gdx)x(f性质性质2. 2. badx)x(kf = =badx)x(fk三三: 定积分的根本性质定积分的根本性质 定积分关于积分区间具有定积分关于积分区间具有可加性可加性 = =bccabadx)x(fdx)x(fdx)x(f 性质性质3. 3. = =2121 ccbccabadx)x(fdx)x(fdx)x(fd