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文档简介
1、 x+1=0无解无解3x-2=0无解无解x2-2=0无解无解NZQRx2=-1扩大原那么:扩大原那么:“添加新数,原数集是新数集的真子集;添加新数,原数集是新数集的真子集;在新数集中,原有的运算及其性质仍然成立在新数集中,原有的运算及其性质仍然成立.-1232?自然数自然数整数整数有理数有理数实数实数?NZQR对于一元二次方程对于一元二次方程 没有实数根没有实数根012 x12 x引入一个新数引入一个新数 , 叫做叫做虚数单位虚数单位,并规定:,并规定: ii(1 1)它的平方等于它的平方等于1 1,即,即12 i虚数单位虚数单位2 2实数可以与它进展四那么运算,进展四实数可以与它进展四那么运
2、算,进展四那么运算时,原有的加、乘运算律仍然成立那么运算时,原有的加、乘运算律仍然成立 为了解决负数开方问题为了解决负数开方问题,即:将实数即:将实数a和数和数i相加记为相加记为: a+i; 把实数把实数b与数与数i相乘记作相乘记作: bi; 将它们的和记作将它们的和记作: a+bi (a,bR), 1545年卡尔丹在解方程的过程中第一次大胆使用了负数年卡尔丹在解方程的过程中第一次大胆使用了负数平方根的概念,当时被他称作平方根的概念,当时被他称作“狡辩量。狡辩量。 1637年法国数学家笛卡尔率先提出年法国数学家笛卡尔率先提出“虚数这个词,并虚数这个词,并在很多方面得到了应用,在很多方面得到了应
3、用,“虚数被证明虚数被证明“不虚了。不虚了。 1777年著名的数学家欧拉首次用表示年著名的数学家欧拉首次用表示 -1 的平方根,的平方根,只是存在于只是存在于“梦想之中,并用梦想之中,并用 imaginary,即虚幻,即虚幻的缩写来表示它的单位的缩写来表示它的单位. 1801年,高斯系统地使用这个符号,才使年,高斯系统地使用这个符号,才使i通行于世。通行于世。复数全体所组成的集合叫复数全体所组成的集合叫复数集复数集, ,用字母用字母C表示表示1.复数:把形如把形如 a+bi (a,bR)的数叫的数叫复数复数i 叫做叫做 虚数单位虚数单位(imaginary unit)R,|babiazzC其中
4、一一.复数的有关概念复数的有关概念虚部实部用用z表示复数表示复数, 即即z = a + bi (a,bR) 叫做叫做复数的复数的代数形式代数形式2.复数的代数形式:规定规定: 0i=0,0+bi=bi3.两个复数相等有两个复数Z1=a+bi (a,b R)和Z2=c+di(c,d R) a+bi =c+dia=c且b=d注意1、假设Z1,Z2均为实数,那么Z1,Z2具有大小关系2、假设Z1,Z2中不都为实数,Z1与Z2只有相等或不相等两关系,而不能比较大小4.复数的分类:复数z=a+bi (a,bR)条件数的类型R C实数集R是复数集C的真子集,虚数b0纯虚数a=0且b0实数0a=b=0实数b
5、=0复数z=a+bi (a,bR)实数 (b=0)虚数(b0)纯虚数(a=0)非纯虚数(a0)N Z Q R CNZQR思考思考C C1.数集数集N,Z,Q,R,C的关系是怎样的?的关系是怎样的?复数集实数集虚数集纯虚数集2.复数集,实数集,虚数集,纯虚数集之间关系NZQR自然数集自然数集整数集整数集无理数集无理数集实数集实数集负整数负整数分分 数数负整数负整数无理数无理数分分 数数复数集复数集虚虚 数数无理数无理数C?回忆反思回忆反思1.说明以下数是否是虚数,并说明各数的实部与虚部31i 31i71i 2i )1 (01iii )32(i2练习练习:2.有以下命题:1假设a、b为实数,那么
6、z=a+bi 为虚数2假设b为实数,那么 z=bi 必为纯虚数3假设a为实数,那么 z= a 一定不是虚数其中真命题的个数为 A0 B1 C2 D3B例例1 1:实数:实数m m取什么值时,复数取什么值时,复数 是是(1 1)实数?)实数? (2 2)虚数?)虚数? (3 3)纯虚数?)纯虚数?immz)1(1 解解:(:(1 1)当当 ,即,即 时,复数时,复数z z是实数是实数01 m1m (2 2)当当 ,即,即 时,复数时,复数z z是虚数是虚数01 m1 m(3 3)当当 ,且,且 ,即,即 时,时,复数复数z z 是是纯虚数纯虚数01 m01 m1m 新授课新授课分析在此题是复数的
7、标准形式下,即zabi(a,bR),根据复数的概念,只要对实部和虚局部别计算,总体整合即可点评判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数,首先要保证参数值有意义,如果忽略了实部是含参数的分式中的分母m30,就会酿成根本性的错误,其次对参数值的取舍,是取“并还是“交,非常关键,多与少都是不对的,解答后进展验算是很有必要的对于复数zabi(a,bR),既要从整体的角度去认识它,把复数z看成一个整体,又要从实部与虚部的角度分解成两局部去认识它这是解复数问题的重要思路之一(1)以下命题中假命题是()A自然数集是非负整数集B实数集与复数集交集为实数集C实数集与虚数集交集是0D纯虚数集与实数集
8、交集为空集答案C解析复数可分为实数和虚数两大局部,虚数中含有纯虚数,因此,实数集与虚数集没有公共元素,C是假命题应选C.变式练习:变式练习:(2)a、bR,那么ab是(ab)(ab)i为纯虚数的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件答案C解析当ab0时,此复数为0是实数,故A、B不正确;*Znni424ni34ni14ni1-1iiB新授课新授课例例2 2 已知已知 ,其中,其中 ,求求iyyix)3()12( Ryx ,. yx与与解:由复数相等的定义,得方程组解:由复数相等的定义,得方程组 )3(112yyx解得解得4,25 yx说明说明: :实数问题实数问题
9、复数问题复数问题转转 化化点评(1)复数相等的条件,是求复数值及在复数集内解方程的重要依据(2)根据复数相等的定义可知,在ac,bd中,只要有一个不成立,那么abicdi.所以,一般地,两个复数只有说相等或不相等,而不能比较大小,例如,1i和35i不能比较大小(1)x2y22xyi2i,求实数x、y的值(2)复数zk23k(k25k6)i(kR),且z0,求k的值变式练习:变式练习:附表一:复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系: 附表二附表二:课堂练习:课堂练习: 1.设集合设集合C=复数,复数,A=实数,实数,B=纯虚数,假设全集纯虚数,假设全集S=C,那么以下结论,那么以下结论正确的选项是正
10、确的选项是( )A.AB=C B. A=B C.AB= D.BB=C2.复数复数(2x2+5x+2)+(x2+x2)i为虚数,那么为虚数,那么实数实数x满足满足( )A.x= B.x=2或或 C.x2 D.x1且且x221213.集合M=1,2,(m23m1)+(m25m6)i,集合P=1,3.MP=3,那么实数m的值为( )A.1 B.1或或14.满足方程x22x3+(9y26y+1)i=0的实数对(x,y)表示的点的个数是_.5.复数z=a+bi,z=c+di(a、b、c、dR),那么z=z的充要条件是_.6.设复数z=log2(m23m3)+ilog2(3m)(mR),如果z是纯虚数,求
11、m的值.7.假设方程x2+(m+2i)x+(2+mi)=0至少有一个实数根,试求实数m的值.8.mR,复数z= +(m2+2m3)i,当m为何值时, (1)zR; (2)z是虚数;(3)z是纯虚数;(4)z= +4i.1)2(mmm21 自然数概念可溯源于原始人类用匹配方法计数。自然数概念可溯源于原始人类用匹配方法计数。古希腊人用小石卵记畜群的头数或部落的人数古希腊人用小石卵记畜群的头数或部落的人数 。 英文英文calculatecalculate计算一词是从希腊文计算一词是从希腊文calculus calculus 石卵演变来的。中国古藉石卵演变来的。中国古藉? ?易系辞易系辞? ?中说:上
12、中说:上古结绳而治,后世圣人易之以书契。古结绳而治,后世圣人易之以书契。 直至直至18891889年,皮亚诺才建立自然数序数理论。年,皮亚诺才建立自然数序数理论。 自然数自然数 零不仅表示无,更是表示空位的符号。中国古代用算零不仅表示无,更是表示空位的符号。中国古代用算筹计算数并进展运算时,空位不放算筹,虽无空筹计算数并进展运算时,空位不放算筹,虽无空 位记号,但位记号,但仍能为位值记数与四那么运算创造良好的条件。印度阿拉伯仍能为位值记数与四那么运算创造良好的条件。印度阿拉伯命数法中的零命数法中的零zerozero来自印度的来自印度的sunya sunya 字,其原意也是字,其原意也是空或空白
13、。空或空白。 中国最早引进了负数。中国最早引进了负数。? ?九章算术方程九章算术方程? ?中论述的正负中论述的正负数,就是整数的加减法。减法的需要也促进数,就是整数的加减法。减法的需要也促进 了负整数的引了负整数的引入。减法运算可看作求解方程入。减法运算可看作求解方程a+x=ba+x=b,如果,如果a a,b b是自然数,那是自然数,那么所给方程未必有自然数解。为了使它恒有解,就有必要把自么所给方程未必有自然数解。为了使它恒有解,就有必要把自然数系扩大为整数系。然数系扩大为整数系。 整数整数分分 数数 原始的分数概念来源于对量的分割。如原始的分数概念来源于对量的分割。如? ?说说文文八部八部?
14、 ?对对“分的解释:分的解释:“分,别也。从八从刀,分,别也。从八从刀,刀以分别物也。但是,刀以分别物也。但是,? ?九章算术九章算术? ?中的分数是从中的分数是从除法运算引入的。其除法运算引入的。其“合分术有云:合分术有云:“实如法而实如法而一。不满法者,以法命之。这句话的今译是:被一。不满法者,以法命之。这句话的今译是:被除数除以除数。如果不能除尽,便定义了一个分数。除数除以除数。如果不能除尽,便定义了一个分数。 古埃及人约于公元前古埃及人约于公元前1717世纪已使用分数。世纪已使用分数。 为表示各种几何量例如长度、面积、体积与物为表示各种几何量例如长度、面积、体积与物理量例如速率、力的大
15、小,人类很早已发现有必要理量例如速率、力的大小,人类很早已发现有必要 引进无理数。约在公元前引进无理数。约在公元前530530,毕达哥拉斯学派道边长为,毕达哥拉斯学派道边长为1 1的正方形的对角线的长度即的正方形的对角线的长度即 不能是有理数。不能是有理数。 15 15世纪达芬奇世纪达芬奇Leonardo da Vinci, 1452- 1519Leonardo da Vinci, 1452- 1519 把它们称为是把它们称为是“无理的数无理的数irrational numberirrational number,开,开普勒普勒J. Kepler, 1571- 1630J. Kepler, 1
16、571- 1630称它们是称它们是“不可名状不可名状的数。的数。 法国数学家柯西法国数学家柯西A.Cauchy,1789- 1875A.Cauchy,1789- 1875给出了答给出了答复:无理数是有理数序列的极限。复:无理数是有理数序列的极限。 由于有理数可表示成有限小数或无限循环小数,人由于有理数可表示成有限小数或无限循环小数,人们想到用们想到用“无限不循环小数来定义无理数,这也是直无限不循环小数来定义无理数,这也是直至至1919世纪中叶以前的实际做法。世纪中叶以前的实际做法。 2无理数无理数 实数系的逻辑根底直到实数系的逻辑根底直到1919世纪世纪7070年代才得以奠年代才得以奠定。从定
17、。从1919世纪世纪2020年代肇始的数学分析严密化潮流,年代肇始的数学分析严密化潮流,使得数学使得数学 家们认识到必须建立严格的实数理论,尤家们认识到必须建立严格的实数理论,尤其是关于实数系的连续性的理论。在这方面,外尔其是关于实数系的连续性的理论。在这方面,外尔斯特拉斯斯特拉斯18591859年年 开场、梅雷开场、梅雷18691869、戴德金、戴德金18721872与康托尔与康托尔1872 1872 作出了出色的奉献。作出了出色的奉献。 实数实数复数复数 从从1616世纪开场,解高于一次的方程的需要导致复世纪开场,解高于一次的方程的需要导致复数概念的形式。用配方法解一元二次方程就会遇到负数
18、概念的形式。用配方法解一元二次方程就会遇到负数开平方的问题。卡尔达诺在数开平方的问题。卡尔达诺在? ?大法大法? ?15451545中阐述中阐述一元三次方程解法时,发现难以防止复数。关于复数一元三次方程解法时,发现难以防止复数。关于复数及其代及其代 数运算的几何表示,是数运算的几何表示,是1818世纪末到世纪末到1919世纪世纪3030年代由韦塞尔、阿尔根和高斯等人建立的。年代由韦塞尔、阿尔根和高斯等人建立的。 哈密顿认真地研究了从实数扩张到复数的过程。哈密顿认真地研究了从实数扩张到复数的过程。他于他于18431843年提出了四元数的概念,其后不久,凯年提出了四元数的概念,其后不久,凯莱又莱又 用四元数的有序对定义了八元数
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