多元函数微分法和应用期末复习试题高等数学(下册)(上海电机学院)

1、、选择题第八章偏导数与全微分1.若 u=u(x, y)是可微函数，且 u(x,y) y x21,x,则-u yA A. 1 B 1 C. -1 D. 1222.函数 z x2 y2 6x 2y 6 d A.在点(-1,3)处取极大值C.在点(3,-1)处取极大值B.在点(-1,3)处取极小值D.在点(3,-1)处取极小值3.二元函数f x,y在点xo, yo处的两个偏导数fx xo,yo ,fy xo, yo存在是函数f在该点可微的B A.充分而非必要条件B.必要而非充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件2 一 2 一 24.设 u=x +2 y2 +3 z +xy+3x-2y-6z

2、在点 0(0, 0, 0)指向点A(1, 1, 1) 方向的导数A.5.3B.5.36C.5.335.函数Zx3 y33xy B A.在点(0, 0)处取极大值B.C.在点(0, 0), (1, 1)处都取极大值在点(1,1)处取极小值在点(0, 0), (1, 1)处都取极小值6.二元函数f x, y在点x0,y0处可微是x, y在该点连续的A A.充分而非必要条件B.必要而非充分条件C.充分必要条件D.7.已知y sin y0(01),既非充分也非必要条件则 dy = B dxA.cosyB.C.8.函数50201 cosyD.cosy1 cos yz xy(x>0,y>0)A

3、.在点(2, 5)处取极大值C.在点(5, 2)处取极大值B.D.在点(2, 5)在点(5, 2)处取极小值处取极小值9.二元函数f x, y在点Xo,y0处连续的是f x,y在点Xo,yO处可微的A A.必要而非充分条件B.充分而非必要条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件10.曲线x=t, y=t2t3所有切线中与平面 x+2y+z=4平行的切线有B A. 1条 B.2C. 3条 D.不存在11.设 f(x, y)xyf"y xA.xy42y xB.C.22xy44yxD.22yx44yx12.为使二元函数f (x, y)y沿某一特殊路径趋向y(0,0)的极限为2,这条路线

4、应选择A.B.C.xy D.22x万y13.f (x, y)满足且 f(x,1)2, fy(x,1)x 1 ,则 f (x, y) BA. y2(x 1)y2b. y(x1)y 2 C.(x 1)y 2 D.2_y (x 1)y 214.设 f (x, y)3x2y,则f(xy, f(x, y)A. 3xy 4x 4yB. xyx 2y C. 3xy6x 4 y D. 3xy 4x 6y215.为使二元函数f(x, y)2xy 2在全平面连续，则它在 (0,0)处应被补充定义为 Bx yA.-1B.0C.1 D.16.已知函数f (x y, x y)f(x, y)yA. 2x 2y B.2x

5、2y C.x y D. x y! 2217 .若 f (X)匕(x 0),则 f (x) Bx xA.xD.18 .若z yX ,则在点D处有 y x(e, e)A. (0,1) B. (e,1) C. (1,e) D.219 .设z xy ,则下列结论正确的是A22A. z z0 B.x y y x22C. 一- -z0 D. 两者大小无法确定x y y x0,20.函数 f (x, y) 11xsin y sin -,y x(A) 等于1(B) 等于2(C)xy 0,则极限 lim f (x, y) ( C) xy 0x 0y 0等于0(D) 不存在21 .函数 z xy在点(0,0) (

6、 D ).（A）有极大值 （B）有极小值（C）不是驻点（D） 无极值22 .二元函数z J7y2在原点（0,0）处（A）.（A）连续，但偏导不存在（B）可微（C）偏导存在，但不连续（D）偏导存在，但不可微23.设 uJx2 y2 z2 , f （r）具有二阶连续导数，则(B) .f''(r)-f'(r)r1.2.-2f''(r)2f'(r)rr1 (A) f''(r) f'(r)(B)rc 1.1.(C) f''(r)f'(r)(D)rr24 .函数z f （x, y）在点（x0, y°）

7、处连续是它在该点偏导存在的（ D）充分而非必要条件既非充分又非必要条件（A）必要而非充分条件（B）（C）充分必要条件（D）25 .函数z 1 x2 y2的极大值点是（D ）(A) (1,1)(B)(1,0)(C)(0,1)(D)(0,0)26 .设 f (x, y) arcsin U ,则 fx(2,1)(B )(A)(B)(C)(D)27.lim(A)28.(A)(C)29.(B)不存在 （C）(D)存在且不等于z f（x,y）若在点P0（x0,y。）处的两个一阶偏导数存在，则（B ）.f （x, y）在点P0连续dz |P dx z |P dy x 0 y 0设函数z xy ,则dz= (

8、 Ay 1 . y .(A) . yx dx x ln xdy(B)(B)f (x, y0)在点x0连续(D) A,B,C都不对).y 1 . yx dxxydy(C) . xydxxyln xdy(D)1dxxyln ydyz30.已知u2ln v,ux一，v yr r z xy,贝1J y咨n xy (A) y(B)与 lnxy y当 lnxy(C)y(D)2xlnxy yx 2 y31.函数 z= . 1 x2(A.)(C.)D=(x,y)|xD=(x,y)|x2y的定义域是(D+y2=1+y2<1(B.)(D.)D=(x,y)|xD=(x,y)|x2+y2 12+y2 132.设

9、f(x, y)xy2x,则下列式中正确的是（y33.设(A)(C)f(y,x)z excosy ,贝Uf (x, y)；f (x, y)；2(D );(B) f(xy,x y)f (x,y)；(D) f(x, y) f(x,y)(A)x ex sin y ；(B)xxe sin y ； (C) e cosy ； (D)一X 一一e sin y34.已知f (Xy,xy)f则x(c )；(A)2x2y ；(B)y；(C)2x2y(D) x35.设 z2x23xy(A) 6(B) 3(C)-2(D)2.36.设(A)(C)37.(A)r r zx, y ,则一 xx0,y0f limx 0x0x,

10、y0f xo, y0lim(B) xf x00x, y f x0, y0x0 x, y0 f x设由方程38.二次函数A. 1C.xo, ylim(D) xf x0 x, y00 x(B)xyz 0确定的隐函数x, y ,ln(4< x2(C)y2)39. f （x, y）在点（x, y）处的偏导数A. 充分必要条件;40.抛物面 z(D)y2 1B.D. 1的定义域是（fx(x,y)和fy(x, y)连续是f (x, y)可微分的(B )B.充分非必要条件；C.必要非充分条件;D.非充分又非必要条件。上点P处的切平面平行于平面2x y3 0 ,则点P的坐标是(c )1 c、A. (1,

11、2,0)；B.11 5(1,1,0)；c. (1,2,5)；D.41.设 zexy2 yx则二Iy(1,2)( B )A. e 1 ；B. e21 ；42.设二元函数z x3 y3 3x2A. (1, 0)；B. (1, 2);uvxy,贝i 43.设x 1,1( b1(A) 0(B) 2C. 2e 1 ； d. 2e 1。23y 9x的极小值点是(A )C.(-3, 0);D. (-3, 2)(C) -1(D) 144 .设z f x，y是由方程xyzxsin yz(A) z(B)yzz exy y x2,贝 一45 .设y 1,22(A) e 1(B) e 1二、填空题1. lim (1

12、-)ye2x 2 y y2 .函数 u=ln ( x2sin(xy) .3 . lim 2x 2 y y 04.已知z f(xy)是可微函数，则zsin（xyz）决定的隐函数，则x （ d ）cos yzz（C）yz(D)x5.lim(x,y)(xy(0,0)(C)2e 1(D) 2e 122 ,y2z2)在点 M(1,2, -2)的梯度 gradu= 1,2, -29''dz yf (xy)dx xf (xy)dy6.设 r 7x2y2z2 ,贝U gradr2 =r r r 2xi 2y j 2zk222_7.曲线 z V1 x y在点（1,1,J3）处的切线与Y轴的正向夹

13、角是 x 1222、8.设 r ln(x y z ),贝U gradr2xr2Vr2zr 1,222 i222 j222 kxyzxyzxyz9.函数z X y3的间断点是x y 033x y10 .函数u xyz在点(1,1,1)沿方向(2,1, 3)的方向导数是_011 .函数u ln xyz的定义域是(x, y, z)x 0,y 0,z 0或x 0, y 0,z 0或x 0, y 0, z 0或x 0, y 0,z 012 .二元函数 zJln ? 4 ?arcsin)的定义域是1x2 y2 4x2 y2x2y22 213 .函数u 3x y 2y 4x 6z在原点?O"向l

14、2,3,1的方向导数为14 .函数 z ln( x In y)的定义域是( x, y) | x 0, y 1或 x 0,0 y 1xxy 1z 215 .曲面ex xy z 3在点(0,1,2)处的法线方程为一 - 20116 .极限 lim 23 41xy 0 xy417 .若 f (x, y) 3x 2y ,则 fxy, f(x, y) 6x 4y 3xy18 .设有函数 u(x, y, z) xyz ,则 du |(i,2,2) 4dx dz2219 .函数z 1 x y的极大值点是(0,0)20 .设函数uxy2z3,r 也,0,灭,则方向导数，_V221.设函数z22l 1,1,1f

15、 xy, x2 y2 可微，则xf 1 2y f 2 y 22 . 一 ,、 一一 .22曲面z 2x y上一点(1, -1 , 3)处的切平面万程为 4x 2y z 3 02223. 4 z x y 在点 P (0,1,3 )处的切平面万程一2y+z=5 ,法线万程J224、设 z e ,则全微分 dz=_2e x y dx xdy25、设 z= 11n(x22)，则2xy222(x y )26、已知f (xy,xy)2 f (x,y)y ,xf(x, y)y2x 2y27.limx 0 y 0xy28.已知ln - y29.已知1.解:z sin xy ,则 dz计算与证明设 z=f (x

16、+y,xy)dz ycosxydx x cosxydy的二阶偏导数连续，-=f1xf22=f11 x yfl2 (x y) xyf22f22.求平面-y3 4解：设(x, y, z)1和柱面x2 y210是交线上任一点，由已知,1的交线上与xoy平面距离最短的点距离函数f (x, y, z)=z又设 L(x,y,z,z101)(x2y2 1)LxLy(2)令：Lz2zx32 x10y42yz101(4)(1)与(2)相比，得:代入(5),得：x从而得交线上的两点:3 -x,4相应的有:/4 3 35、。石)354 3 85、5, 5, 6 )其中：点（4,3, 5 535到xoy平面的距离是

17、一6点（4比较得：所求点是（4523.证明极限limyx 0 y ' y 0 x4 3 85、， 一一,，一一 85 一,一,一）到xoy平面的距离是 一5 5 663 35、5, 6不存在y证明：当（x, y）沿着曲线y2=x 趋于(0, 0)时,2. xylim x 0 y 'y 0 x=limy y(4'。小当(x, y)沿着曲线2，一2 y =x 趋于（0, 0）时,lim2xy2x=lim y4 y 02y44y42y45所以，极限lim2xy2y4不存在4.设 z=xf (xy,ey),解：=fxflxy2z=2xf1 x yey f2x2yf11xyey

18、fi25.求曲线 x= t-sint, y=1-cost, z=4sin-, 在点2M(一21, 1,2 J2）处的切线及法平面方程解：因为 xt =1-cost,yt =sint,ztc t=2 cos2而点 M（ 1, 1,2.2）所对应的参数为2t=点M的切向量T =1,1,22 x 1 故点M处的切线方程为2z 2.2点M处法平面方程为：x+y+ 22 z= 426.求曲面ezz xy 3在点(2,1,0)处的切平面方程及法线方程解：令 F(x, y, z)=ezz xy 3则 Fxy, Fy x, Fz ex 1故 Fx'(2,1,0) 1, Fv'(2,1,0)2,

19、Fz'(2,1,0) 0xyz因此：点(2,1,0)处的切平面方程为 x-2+2(y-1)=0, 即：x+2y-4=0x 2 y 1点(2,1, 0)处的法线方程为2z 07. 已知z=ysin(x+y),求全微分dz及梯度gradz解： ycos(x y) , sin(x y) y cos(x y)xy故：dz=ycos(x+y)dx+sin(x+y)+ycos(x+y)dygradz=( ycos(x+y), sin(x+y)+ycos(x+y) x y b 0228.设直线l :在平面 上，而平面 与曲面zx2y2相切于点x ay z 3 0M(1,-2, 5), 求 a,b 之

20、值解：点M处曲面的法向量 n=2x, 2y, -1 M =2,-4,-1点M处切平面方程为 2(x-1)-4(y+2)-(z-5)=0即:2x-4y-z-5=0,此即平面之方程由直线 代入解得：a=-5, b=-2l 可得 y=-x-b, z=x-a(x+b)-3 得:(5+a)x+4b+ab-2=09.设函数 z=f (u, v),则u, v具有二阶连续偏导数，其中 u=3x+2y, v=y解:f210.2z 6 fx y''11(加0,0)/ 24、5(x y )是否存在？如果存在，等于多少？如果不存在，说明理由。解：不存在。网(7y 0(x6 6x yi475y )0。l

21、im,x 0,y2x(x245y )9. x lim2-5x 0(2x2)511.求u关于x,y,z的一阶偏导数:解:u z yz 1一y x xz 1 yz .zy x ln xzxy yz ln xln y12、说明函数在何时取得极值，并求出该极值:2z (x y 1)解:函数定义域R2。因为z 0 ,故x y0时极小；无极大。13.解:2(x y 1) 0解方程组 xz 2(xy 1) 0可知函数驻点分布在直线 x y 1 0上。对于此直线上的点都有的各点取得极小值 z（x,y叫。）（x2y2）x2y22 222、x2y2lim (x y )(x,y) (0,0)而 x2y2ln(x21

22、22 22J%)4(x y)ln(x14.求u的一阶全微分：u解：du15、求函数方向导数。0。0。但是zlim e(x,y)(0,0)2 22x y ln(xy2)0恒成立。所以函数在直线x y 1 0上y2)y2) 022ln( xy2)，。故原式二e0 12 2z 2 2(xdx(x y )ydy)dz2y=在点2zM (12,-2）沿曲线t2t2在此点的切线方向上的2t4解：J3，x 2222(x y z )2xy3 ，/ 222.2(x y z )xzz / 2(x3 ° z2)2在点(1, 2-2)它们的值分别是1 4 曲线在该点切线方向余弦为 -,9 982782272

23、27方向导数为 u l8 127g92 42(27)99 27g(89)1624316. lim(x,y) (0, a)sin(xy)sin(xy)解： lim=(x,y) (0, a) xlim(x,y)(0,a)sin(xy)agy =a xy17.求由下式决定的隐函数 z关于x和y的一阶偏导数:(x y z)x y z e 。解：等式两端对x求偏导数，得1e(x yz)(故1。利用对称性可得 x18.用拉格朗日法求条件极值:2 xy，一 a(a 0,b 0)解：设 F(x,y)(-a1),解方程组可得由于当xab2b2,y19.求极限1 lim 一 x 0 y 02x2y2 22a2b2

24、a2ba2 b2b?,xab2a2 b2时都有za2ba2 b2。故函数只能在有限处取得极小值(最小)值:时，函数取得极小1 sin(xy).2b2(最小)值z -If a bHx y. x2 y 1 sin( xy)-2x y xylimx 0y 0(1、x2y 1)(1；x2y 1) sin(xy)x2y(1x2y 1) xy(2分)1 sin(xy)lim(1 分)y 0 1： x2y 1 xy1 (2 分).2220 .设 zf (x2 y2, xy),求.x y解： f1'2x f2' y 2xf1' yf2', (2分) x2 2xfn"

25、( 2y) f12'' xf2' yf21''( 2y) f?2 " xx y4xyfn '' 2x2 f12'' f2' 2y2f21'' xyf22'' (3分).21 .求抛物面z x2 y2到平面x y z 1 0的最近距离。22斛：设M (x, y, z)在z x y上，M到x y z 1 0的距离为d ,则d |x y- z 11 (1 分)， ,32,2 (x y z 1) d .3222记 L(x, y, z, ) (x y z 1) (x y z),Lx2

26、(xyz1)Ly2(xyz1)令Lz2(xyz1)Lx2y2z02x0(2分)所以d解得：x y 2, z 2 (2分).1_1 1.32(2 分).11|2 T322.求曲面z2 .y上与平面2x 4y z 0平仃的切平面万程。解：曲面y2的切平面的法向量为ni2x,2y, i (2分)，平面2x4yz 0的法向量为要使解之得,因此为2(x23.函数z解:24.解:n22x-22,4, 1.切平面与平面2x 4y z 0平行，必有n"/n2,即i,y 2,1) 4( y因为zx所以2y4从而2) (zi ,彳(2分)5(2 分).5) 0,，y ，arctan-,求 dz |(i

27、i).x(i,i)dz|(i,i)(i.i) i1dx(i,i)(i,i)2(2 分),2 y2 x(i.i)2 (2 22)，(i.i)2dy(i 分).设函数z z(x, y)由方程x2xf ()确定，求z。(方法一)令 F(x,y,z)xfCy).x则 Fx 2xfd)xYf'd), Fy 2y x x因此FxFzf(-) -f'(-) x x x2x一(3 分)2zx（方法二）方程x2 y2 z2 xf(-)两边对x求导，并注意z是x,y的函数，得 x2x 2z- fd) xf'(y)(斗)fd) Yf'd),x x x x x x x解得fd) - f

28、'(-) 2x x x x2z25.如何将已知正数a分成两个正数x, y之和，使得xpyq为最大，其中p、q是已知的正O解：由拉格朗日乘数法，令L(x, y, ) xpyq (x y a) (2分).p 1 qLxpx y 0由 Lyqxpyq 10 (2分)L x y a 0解得驻点(_ap,aq) (2分). p q p qf在驻又由题意当点（x,y）趋于边界x 0或y 0时，目标函数f趋于零，所以连续函数点取最大值。因此当x -ap-, y aq时，xpyq的值最大 p q p q26 .设z f (x, y) g(u,v),ux3,v xy,其中f, g具有一阶连续偏导数，求

29、z.x zu ' v解：一fx gu gv 一 (2 分)xx x'2' y 1'fx 3x guyx gv (3分).27 .求曲线x 2t2, y cos( t), z 21nt在对应于t 2点处的切线及法平面方程。解：当t 2时，对应点的坐标为（8,1,2ln 2）;又参数方程的切线方向向量为:n|t 2 4t, sin（ t）,2|t 2 8,0,1 （2分），x 8 y 1 z 21n 2 小八、故切线万程为 - （2分），801一，x 8 8（z 2ln 2）或y 1 0而法平面方程为8（x 8） （z 21n 2） 0（2分）.28.求函数u xy

30、2z3在点M0(1,1,1)处方向导数的最大值和最小值。解：u在点M0(1,1,1)处沿方向1的方向导数为：U ,23-3-22、，(y z cos 2xyz cos 3xy z cos ) |M01 Mocos 2cos 3cos (2 分).令 10 cos ,cos ,cos , g 1,2,3,g l0 |g| |l0| cos ,为g与l0的夹角。Mo要使_u 取最大值，则cos =1,即 =0,也就是g与l0同向时， 取最大值, 1M01M0即：当l0 31,2,3时， 取最大值|g| J14（3分）.v141 M0同理，要使_u 取最小值，则cos =-1,即 = 1 Mo,也就

31、是g与10反向时， 取最小 1 Mo值，即：当10 二1,2,3时， 取最小值|g|疝1 M0714 (3 分).29.设函数 z f (x2 y ,exy),求，. x y解：设ux2y , v exy ,那么2xy，2 V xy V xyx , 一 ye ， xexyz f u f v f xy f =2xy + ye x u x v x uvz f u f V 2 f xy f一 一一一=x + xe一y u y v y uv30.设 z333c cZx"是由x y z xyz 6 0所确定的隐函数，求它在点（1, 2,-1)处的偏导数 x y的值。zM03x2yzM°

32、;1人mMo=（1,2, 1）（3 分） 5x3z2xyz3y解得 x yxz112（3 分）5yM03z2xyMo31.斜边长为m的所有直角三角形中，求有最大周长的直角三角形直角边的边长.解：设两条直角边的边长为 x, y,周长为S,则S m x y （1 分）并满足x2y2m2 .由F（x, y, ） m x y222/八八、（x y m ） （2 分）F1 2x0x（3分）令 1 2y0y因为所有直角三角形的直角顶点位于直径为m的半圆周上，最小周长不存在，从而实际问题只有最大值，此时有最大周长的直角三角形的边长均是z z32.设 z eusinv，而 u xy,v x y,求 x, yzz uz vxu xv x_eu sin v y eu cosv 1eu y sin vcosv（3分）y u y v yu _u _e sinv x e cosv 1u _e xsin v cosv33.设 zf x2y2,且f可微,z 2xf x（2分）-2yf y（2分）x 0（2 分） y34.求曲面ez zxy3在点2,1,0处的切平面与法线的方程x, y, zx 2,1,0f1,y 2,1,02, 0 （3分）z 2,1,0