Wishart矩阵的和在精确与近似特征值下的分布

1、Wishart矩阵的和在精确与近似特征值下的分布Santosh Kumar, Gabriel Fernando Pivaro, Gustavo Fraidenraich, and Claudio Ferreira Dias摘要： Wishart 矩阵的和在利用波束元素的多用户通信中有重要作用，如多输入多输出 (MIMO) 、多址接入信道 (MAC)、 MIMO 中继信道和其他的使用随机矩阵描述的数学模型的多用户通信。在本文中，对复杂的Wishart分布矩阵的线性组合分布进行了研究。我们对一种K复数的中央Wishart矩阵加权值的特征值分布的边际分布提出了一种新的封闭形式的表达式的，其协方差矩阵

2、与单位矩阵成比例。表达式是一般的，并允许任何一组的线性系数。作为应用实例，我们已经使用边际分布表达式来获取 MIMO MAC 网络的遍历总和率容量和MIMO 中继的情况下的割集上限，这两个都是封闭形式的表达式。我们还提出了一个非常简单的表达式把Wishart 矩阵的和近似为一个等效的Wishart 矩阵。我们所有的研究结果都通过Monte Carlo 模拟验证。不出所料，精确特征值分布与模拟仿真是一致的，然而对于近似解其中的差异无法区分。关键字：Wishart矩阵的和、特征值分布、多输入多输出、遍历总和容量、Meijer-G函数1、简介A、随机矩阵和MIMO单用户关系随机矩阵理论已经演变成一个

3、真正的多学科课题及其在各个领域的应用，包括通信理论、 量子传输、量子声动力学、量子信息理论，弦理论、 经济物理学、 数论等 1。为用矩阵的形式来描述相关物理系统的运算符提供了并且使用它的性质来解决比较难得问题。通信理论是随机矩阵理论产生巨大冲击的突出领域之一。在Winters2、Foschini3和Telatar4工作之后，随机矩阵在无线通信领域中获得特别关注。他们已经使用多根天线来增加有限带宽系统的容量。在所有情况下，数学工具矩阵被用来进行分析。在Telatar的文献4中，已经展示了多输入多输出（MIMO）点对点遍历信道的容量。他表明，可以使用James 6 提出的联合特征值的概率密度函数，

4、而不是处理一个Wishart分布矩阵 5 的联合概率密度函数，这对于小的维度也是不容易处理的。这种简化是可能的，其考虑到信道容量的酉不变性质和其他通常用来描述多输入多输出系统的参数。Telatar的开拓性工作是第一个建立了 MIMO 通信和随机矩阵理论之间的连接。此后，对Wishart 矩阵性质的探索和理解的兴趣越来越大。作为Hermitian矩阵的一个特例，Wishart矩阵的出现是在MIMO系统受到莱斯和瑞利衰落。如上文所述，可以借助 Wishart 矩阵 4，7 的特征值分布统计预测 MIMO 系统的性能。例如，在MIMO系统的信道矩阵涉及Wishart矩阵，其特征值统计引起MIMO信道

5、的遍历容量的知识 4 。另一方面，最大和最小特征值的分布可以用来分析MIMO的最大比合并系统和MIMO天线选择技术的性能 7 。8 中作者显明在任意秩莱斯信道下采用多通道波束形成的MIMO 系统的误码率 (SER) 性能由子信道SER控制，其对应于最小信道的奇异值。他们的研究结果是基于边缘复杂的非中心Wishart矩阵特征值的分布。由于在慢衰落的情况下，确定的遍历容量是不可行的，一个度量单位的中断概率是必需的用来评估系统的性能 9 。中断概率与Wishart矩阵的累计特征值分布函数相关 4 ， 8 ， 10 。由于无线信道的物理性质和所有可能的天线阵列安排，对不同类型的Wishart矩阵进行了

6、研究，如伴随着瑞利和莱斯衰落的中心和非中心，分别对应在发射端和接收端的天线相关性的不相关，半相关，双相关， 11 12 。B、MIMO多用户情况下的扩展前面提到的所有的工作都关注MOMI单用户信道，其大部分问题已经解决了或至少很好理解 13 。然而，对于MIMO多用户情况下仍存在许多的问题，诸如 MIMO 中继信道的总容量。在无线多用户信道中，比在单用户信道中单个用户速率，我们通常更关注系统的整体信息率（容量） 14，15 。以这种方式，我们可以定义与联合用户性能相关联的度量标准。例如，我们有对称容量和总和容量。前者是在这两个用户可以同时进行可靠通信的最大共同率；后者是可以实现的最大总吞吐量

7、9，可以被视为一个约束，用来限制每个用户的个人速率。由于总容量反映了整个系统的性能，这个指标是从分析和实际的角度来看是很有趣的。可以从总容量名称中推断出来，评估这个参数，我们必须把每个用户的速率加起来。此操作将导致Wishart矩阵与多用户系统中的每一个MIMO信道做相关的总和。例如，这种情况发生在两个已知的多用户信道中：（i）MIMO多接入信道（MAC），其中具有多个发射天线和多接收天线的k个用户与一个目的地沟通15；及（ii）MIMO中继信道，其中一个MIMO发射机与一个有MIMO中继的MIMO接收机通信16。对于MIMO MAC总容量是一个所需的度量性能 13 。C、论文上的贡献基于前面

8、一节中我们关于总容量的讨论，在下文中，我们将分析此度量下快速衰落服从瑞利分布。因此，我们的目标是确定为 MIMO 多用户情况下的遍历总容量。我们的想法是使用相同的单用户案例框架。它意味着我们希望得到使用 Wishart矩阵和的边际特征值分布的遍历总容量。对于一个单用户的情况下，对Wishart矩阵的特征值的概率密度函数是在 6 ，并自那时以来在Wishart分布变量的情况下取得了不少进展。最近，对矩形随机矩阵的乘积的结果出现在 17 和 18 ，作者研究了多重散射通信信道中的遍历互信息。相比之下，Wishart矩阵和的特征值分布的研究进展并没有与此同步。虽然 Wishart 矩阵和的最知名结果

9、可以追溯到 20 世纪 60 年代，但是它是只适用于具体的案例，所有矩阵都具有相同的协方差矩阵 19;一般情况的任意协方差矩阵知道的不多。在 20，作者考虑了中央 Wishart 矩阵与正系数的线性组合。他们已经提出近似线性组合分布。此外，在多元 Behrens-Fishen问题中，用类似的近似法来解 Wishart 矩阵的线性和21。其中作者有近似的单个 Wishart 分布和，其通过确定相关联的自由度和参数矩阵决定。在这个方向，最近的工作是，两个 Wishart矩阵之和与任意的协方差矩阵计算了精确的矩阵分布22。此外，当一个Wishart 矩阵具有与单位矩阵成正比的协方差矩阵时，特征值统计

10、的清晰的结果已经被算出。目前的工作，我们关注协方差矩阵正比于单位矩阵的任意数目中央 Wishart 矩阵总和的特征值统计信息。对于 MIMO MAC 信道，由于分析结果的缺乏，对于Wishart 矩阵和的联合特征值概率密度函数，遍历总和率容量永远不会得到的。然而，接收机和发射机的完善信道状态信息(CSITR) 能很好地被研究。对于完善的CSIT和CSIR，系统可以看作一组平行非干扰的MIMO MAC。因此，遍历容量区域可以作为这些平行的 MIMO MAC 容量区域获得(见 13 和引用其中)。另一种方法是获得总和遍历容量的 MIMO MAC信道的渐近结果。这可以通过考虑接收天线数量和发射机数目

11、趋于无穷大13。为了解决这些具有挑战性的问题，在第三节中我们提出了两种不同的方法。第一种方法是Wishart矩阵和的边际特征值分布的确切封闭式表达式的派生。此解决方案的主要思想是证明由于 K Wishart 矩阵的加权和，矩阵可以重写为一个单一的矩阵和它的共轭转置的结合。这导致 Wishart 矩阵恰好对应于协方差矩阵，其中包括有关权重的信息。因此，其特征值分布遵循Wishart半相关矩阵原有的知识。我们第二次提出的解决方案是通过一个等效 Wishart 矩阵来近似K个独立 Wishart矩阵的和。这种方法是基于等同累积的思想，在20一般协方差矩阵的情况下。我们发现了一种简单和紧凑的封闭形式的

12、表达式，以确定此等效 Wishart 矩阵的自由度。为了证明我们建议的解决方案是有效的，我们选择了两个 MIMO 多用户场景，即 MIMO MAC 和MIMO中继。首先，通过考虑任意一组参数，我们展示了Wishart矩阵和的Monte Carlo模拟的特征值分布完全由我们确切的表达式描述。然后，我们应用我们近似找到了等效 Wishart 矩阵，并比较其特征值分布与模拟计算的结果。结果是很有前途的。我们向前迈进了一步，在第四节我们展示了一种新的遍历总和容量的封闭形式表达。此表达式作为输入Wishart矩阵和的确切特征值分布或等效 Wishart矩阵的近似特征值分布。我们显示分析遍历总和率容量完全

13、匹配的仿真结果。所有这些结果在第五节显示，并对第六节的结论提供了依据。除了上面提到的所有部分，我们在第二节中提出了关于 Wishart 矩阵的一些基本概念。2、预备知识在本节中我们Wishart 分布的定义讲起，这取决于方差和的自由度参数。这些然后用于构造符合我们的兴趣的矩阵模型，即中央 Wishart 矩阵的加权和。反过来，这将用于在后面的部分我们问题相关指标的概率密度函数的推导。一随机的m维非负矩阵自由度为pi，WiCmi*mi，Wi的分布为 PWi(Wi) det(Wi)pimi exp ( tr i-1Wi) （1）成为复杂的中心Wishart分布6,23，其中 Wi CW mi(pi

14、, i). （2）这里i是协方差矩阵，det(·)和tr(·)表示行列式的值和迹。下面，我们认为i = i 2Imi，这里Imi是m维单位矩阵。K维独立矩阵的分布为（2），我们感兴趣的是由他们各自的自由度归一化的K矩阵和加权的特征值统计，即对于i Im，我们认为i = 2Im这些定义，我们展示了关于W的特征值统计的准确以及近似解。3、解决方案本节介绍了我们在确定加权K Wishart矩阵的特征值分布的贡献。首先，我们提出了一种新的精确解析解。然后，我们提出了一个近似解代替加权K Wishart矩阵的等价矩阵的总和。A、 边缘特征值分布的精确解析解本论文的主要结论如下。定理1

15、：W的特征值的边缘密度如下：其中fj(v, ), gi(), hi,j(v)表示如下：这里(·)是Gamma函数，其定义是，归一化c由下面获得B、Wishart矩阵和的近似定理2：给出了各自自由度的归一化的K Wishart矩阵和加权，我们提出以下的近似： 这里S CWms(ps, s), s = 2Im，·代表最近的整数。证明：近似计算的合理性如下。期待的值Wi如（2）， EWi = pii， （13）主要的对角元素的方差为 varWi(j, j) = pi4, (14)W值如下：主要的对角元素的方差为期望值为 主要的对角元素的方差为 这里我们注意到（15）和（17）、（

16、16）和（18）的相似之处。因此，在不同的Wishart矩阵分布的自由度中根据式（16）（18）规定一个关联，并且对ps由（12）得到封闭的表达式。因为ps与S的列数有关，它应该是个整数，这就是为什么要取整。4、应用一般，在衰落条件下的单个用户通信所接收到的信号表达式在9中这里z CN (0, 1)是噪声，x是高斯分布的输入信号，其功率约束条件为|x|2 ai,h是信道增益。在此处，我们假设h CN （0, 2)，因此信道处于瑞利衰落中。现在，假定来源有Mi个传输天线并且接收端有Ni个接受天线。因此，无线信道有Ni*Mi的矩阵Hi表示，且接收信号为 y = Hix + z （20）其中z CN

17、 (0, Imi)是高斯白噪声，x CNMi，y CNNi，定义矩阵Wi为其中表示转置共轭矩阵运算。因此，Wi有实的非负的特征值。矩阵Wi表述如（2），pi = max(Mi, Ni)，mi = min(Mi, Ni)5、数值结果在本节中我们得到了封闭形式的数值结果和提出的近似。结果与Monte Carlo 模拟比较来验证解析表达式。对每一个仿真程序，进行了 40,000 条信道模拟。在所有情况下，分析和仿真结果非常匹配。我们选择了三种任意方案还有一个16中已知的方案。考虑到图1中的MIMO MAC情形，用户K=5，每个有Mi=4个传输天线，其中i=1，K。目标节点D有Nd=4个接收天线。目的

18、地处的归一化信噪比（ai）任意选取，如表1（Case1）。边缘特征值的分布如图（2）。能观察到仿真结果和分析结果匹配。近似遍历总和率容量还分别使用等价矩阵S(ps = 13 的自由度)来计算并且显示在表1的最后一列。近似计算特征值分布如图2所示。注意如何关闭近似和遍历总和率容量是精确值。图（1）MIMO MAC信道系统模型。目的地（D）、Nd个接收天线，接收信号来自K个源，每个源有Mi个传输天线，i=1，K图（2）CaseI中的 W特征值的边缘分布。仿真结果与封闭的分析形式（红线）匹配。提出的近似分布显示为蓝虚线，与实际结果匹配。在下一种情况下，我们增加用户的数量K=10，MIMO为8*8。图

19、（3）能观察到仿真结果和分析结果匹配。从表1也能看出遍历容量也匹配。以及图（3）中的近似特征值分布。图（3）CaseI中的 W特征值的边缘分布。仿真结果与封闭的分析形式（红线）匹配。提出的近似分布显示为蓝虚线，与实际结果匹配。遍历容量最初的计算 16 中使用了凸规划。使用的参数被描述在表1的CaseIII中并且图 4给出了特征值分布的绘图情况。图 5显示了带有以下参数(a2 = 17.6，a3 = 16.7)的 MAC 信道的特征值分布。遍历容量的上限如前所述，是BC和MAC容量的最小值，表1中给出。图4 CaseIII(BC)中的 W特征值的边缘分布。仿真结果与封闭的分析形式（线）匹配。图5 CaseIII(MAC)中的W特征值的边缘分布。仿真结果与封闭的分析形式（线）匹配。除了CaseIII，我们也再现了16图（5）MIMO中继信道的情形。这个情形是众所周知的因为上限和下限收敛。也就是说，MIMO 中继信道在瑞利衰落下的遍历容量可以在此信噪比条件下