高中数学空间向量的运算

1、3.13.1空间向量空间向量及其及其运算运算平面向量复习定义：既有大小又有方向的量叫向量 几何表示法：用有向线段表示； 字母表示法：用字母a、b等或者用有向线段的起点与终点字母 表示AB相等的向量： 长度相等且方向相同的向量 ABCD平面向量的加减法运算平面向量的加减法运算向量的加法：向量的加法：aba+b平行四边形法则平行四边形法则aba+b三角形法则三角形法则(首尾相连首尾相连)平面向量的加法运算律平面向量的加法运算律加法交换律：加法交换律： abba 加法结合律：加法结合律： (ab)ca(bc) 推广推广首尾相接的若干向量之和，等于由起始向首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指

2、向末尾向量的终点的向量即：量的起点指向末尾向量的终点的向量即：nnnAAAAAAAAAA114332211A2A3A4A1nAnA首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量即：则它们的和为零向量即：011433221AAAAAAAAAAnnn1A2A3A4AnA1nA向量的减法向量的减法aba-b三角形法则三角形法则 减向量减向量终点指向终点指向被减向量被减向量终点终点一、空间向量的基本概念一、空间向量的基本概念空间向量空间向量零零向量向量单位单位向量向量相等相等向量向量相反相反向量向量ABa 或01|eba aa与既有既有大小大小，又有，又有方

3、向方向的量的量长度为长度为零零的向量的向量长度为长度为1的向量的向量方向方向相同相同，长度，长度相等相等的向量的向量方向方向相反相反，长度，长度相等相等的向量的向量向量的模表示向量的有向线段的长度|aAB9结论：结论：1）空间任意两个向量都是共面向量。1）空间任意两个向量都是共面向量。2）涉及空间任意两个向量问题，平2）涉及空间任意两个向量问题，平面向量中有关结论仍适用它们。面向量中有关结论仍适用它们。abab bbABOAOBa + babABbCOOCOACAa - - b二、空间向量的加减运算二、空间向量的加减运算11abba 加法交换律加法交换律加法:三角形法则或平行四边形法则减法:三

4、角形法则加法结合律加法结合律()()abcabc 注注: :两个空间向量的加、减法两个空间向量的加、减法与两个平面向量与两个平面向量的加、减法实质是一样的的加、减法实质是一样的. .2、对空间向量的加法、减法的小结、对空间向量的加法、减法的小结化简结果的向量：列向量表达式，并标出，化简下已知平行六面体DCBAABCD ；BCAB ；AAADABABCDABCD例例1(4)ACD BDC (3)ABCBAA ABCDA B C D例1、 已知平行六面体，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：；BCAB 解：ABCDABCDBCAB AC；AAADABAAADABAAAC CCAC AC始点相

5、同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量(4)ACD BDC (3)ABCBAA 练习练习1、在如图所示的平行六面体中，、在如图所示的平行六面体中， 求证：求证：2.ACABADAC ABCDABCD,ABCDA B C D 变式：变式：已知平行六面体已知平行六面体 则下列四式中：则下列四式中：其中正确的是其中正确的是 。(1);(2);(3);(4).ABCBACACABB CCCAACCABBBBCC CAC 15例如例如: :a3a3a三、三、

6、 空间向量的数乘运算法则16 显然显然,空间向量的数乘运算满足分配律空间向量的数乘运算满足分配律及结合律及结合律()() ()a babaaaaa 即： （）FEDCBA123891P（ ）、（ ）、（ ） 练习 17acb四、共线向量及其定理四、共线向量及其定理18lAPa BO即，P,A,B三点共线。或表示为：(1).OPt OAtOB 19OAM GEFCBD分析分析: 证三点共线可证三点共线可尝试尝试用向量来分析用向量来分析.N20五五. .共面向量及其定理共面向量及其定理: :1.1.共面向量共面向量: :平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量, ,叫做共面向量叫做共面向量. .O

7、Aaa注意：注意：空间任意两个空间任意两个向量是共面的向量是共面的，但空，但空间任意三个向量就不间任意三个向量就不一定共面的了。一定共面的了。AabBCPp 21OAabBCPp 22231.对于空间任意一点对于空间任意一点O，下列命题正确的是：，下列命题正确的是：(A)若若 ，则，则P、A、B共线共线(B)若若 ，则，则P是是AB的中点的中点(C)若若 ，则，则P、A、B不共线不共线(D)若若 ，则，则P、A、B共线共线OPOAt AB 3OPOAAB OPOAt AB OPOAAB 2.已知点已知点M在平面在平面ABC内，并且对空间任意一点内，并且对空间任意一点O， , 则则x的值为的值为

8、( )1( )1( )0( )3()3ABCDOMxOAOBOC11113333 243.下列下列说明正确的是：说明正确的是： (A)在平面内共线的向量在空间不一定共线在平面内共线的向量在空间不一定共线(B)在空间共线的向量在平面内不一定共线在空间共线的向量在平面内不一定共线(C)在平面内共线的向量在空间一定不共线在平面内共线的向量在空间一定不共线(D)在空间共线的向量在平面内一定共线在空间共线的向量在平面内一定共线4.下列说法正确的是：下列说法正确的是： (A)平面内的任意两个向量都共线平面内的任意两个向量都共线(B)空间的任意三个向量都不共面空间的任意三个向量都不共面(C)空间的任意两个向

9、量都共面空间的任意两个向量都共面(D)空间的任意三个向量都共面空间的任意三个向量都共面AMCGDB1)2abc（1)3abc（例例3(课本例课本例1)如图，已知平行四边形如图，已知平行四边形ABCD,从平从平面面AC外一点外一点O引向量引向量 , , , ,求证：求证：四点四点E、F、G、H共面；共面；平面平面EG/平面平面AC.OEkOA OFkOBOGkOCOHkOD 例例3 (课本例课本例1)已知已知 ABCD ，从平面，从平面AC外一点外一点O引向量引向量 A,OEkOA OFkOB OGkOC OHkOD 求证：求证：四点四点E、F、G、H共面；共面；平面平面AC/平面平面EG.BC

10、DOEFGH证明：证明：四边形四边形ABCD为为 ACABAD （）EGOGOE kOCkOA ()k OCOA kAC （）代入（）代入()k ABAD ()k OBOAODOA OFOEOHOE 所以所以 E、F、G、H共面。共面。EFEH 例例3 已知已知 ABCD ，从平面，从平面AC外一点外一点O引向量引向量 ,OEkOA OFkOB OGkOC OHkOD 求证：求证：四点四点E、F、G、H共面；共面；平面平面AC/平面平面EG。证明：证明：由面面平行判定定理的推论得：由面面平行判定定理的推论得：EFOFOE kOBkOA ()k OBOA kAB 由由知知EGkAC /EGAC/

11、EFAB/EGAC面面面面ABCDOEFGH六、两个向量的夹角六、两个向量的夹角两条相交直线的夹角是指这两条直线所成的锐角或直角，即取值范两条相交直线的夹角是指这两条直线所成的锐角或直角，即取值范围是围是(0,90,而向量的夹角可以是钝角而向量的夹角可以是钝角,其取值范围是其取值范围是0,180七、两个向量的数量积七、两个向量的数量积注注: :两个向量的数量积是数量，而不是向量两个向量的数量积是数量，而不是向量. . 规定规定: :零向量与任意向量的数量积等于零零向量与任意向量的数量积等于零.abBB1 1AA1 12、空间两个向量的数量积的性质、空间两个向量的数量积的性质3、空间向量数量积的

12、运算律、空间向量数量积的运算律与平面向量一样，空间向量的数量积满足如下运算律：与平面向量一样，空间向量的数量积满足如下运算律： 向量数量积的运算适合乘法结合律吗向量数量积的运算适合乘法结合律吗?即即(ab)c一定等于一定等于a(bc)吗吗?例例4、已知空间向量、已知空间向量a，b满足满足|a|=4，|b|=8，a与与b的夹角是的夹角是150，计算：，计算：(1)(a+2b)(2a-b)；(2)|4a一一2b|如图，已知空间四边形如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都的每条边和对角线长都等于等于a，点，点E、F、G分别是分别是AB、AD、DC的中点。求的中点。求下列向量的数量积：下列向

13、量的数量积：(1);(2);(3);(4).AB ACAD BDGF ACEF BC 练习练习6ABCDEFG练习练习7ABCDA B C D 4AB 3 ,5 ,90 ,60ADAABADBAADAA AC DCBDABCA解：解：ACABADAA |85AC 22|()ACABADAA 222|2()ABADAAAB ADAB AAAD AA 2224352(0107.5)85 在平行四边形在平行四边形ABCD中，中，AB=AC=1，ACD=90，将它沿对，将它沿对角线角线AC折起，使折起，使AB与与CD成成60角，求角，求B，D间的距离间的距离练习练习8已知空间四边形已知空间四边形OAB

14、C中，中，M，N，P，Q分别为分别为BC，AC，OA，OB的中点，若的中点，若AB=OC，求证：，求证：PMQN证明：证明：练习练习9练习练习11123123(,),( ,)aa a abb b b设则;ab;ab;a; a b/;ab;ab112233(,)ab ab ab112233(,)ab ab ab123(,),()aaaR1 12233a ba ba b112233,()abab ab abR1 1223300 a ba ba ba b八、向量的直角坐标运算八、向量的直角坐标运算新课新课2222123| aa aaaa2222123| bb bbbb1. 1.距离公式距离公式（1

15、1）向量的长度（模）公式）向量的长度（模）公式注意：此公式的几何意义是表示长方体注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。的对角线的长度。九、距离与夹角九、距离与夹角|ABABABAB212121(,)xxyyzz222212121()()()xxyyzz222212121|()()()ABdABxxyyzz在空间直角坐标系中，已知、在空间直角坐标系中，已知、，则，则111(,)A xyz222(,)B xyz（2）空间两点间的距离公式）空间两点间的距离公式cos,| | a ba bab1 1223 3222222123123;a ba ba baaabbb2. 2.两个向量夹角公式

16、两个向量夹角公式注意：注意：（1）当）当 时，同向；时，同向；（2）当）当 时，反向；时，反向；（3）当）当 时，。时，。cos,1 a b与 abcos,1 a b与 abcos,0 a bab例例5已知已知 (2, 3,5),( 3,1, 4),|,8 ,abab ab aa a b 求(2, 3,5)( 3,1, 4)(5, 4,9)ab (2, 3,5)( 3,1, 4)( 1, 2,1)ab 222| |2( 3)538a 88(2, 3,5)(16, 24,40)a (2, 3,5) ( 3,1, 4)2 ( 3) ( 3) 1 5 ( 4)29a b 解解:F1E1C1B1A1D

17、1DABCyzxO解：设正方体的棱长为解：设正方体的棱长为1，如图建，如图建立空间直角坐标系，则立空间直角坐标系，则Oxyz13(1,1, 0) ,1,1,4BE11(0 , 0 , 0) ,0 , 1.4DF，1311,1(1,1, 0)0 ,1,44BE 例例6如图如图, 在正方体中，在正方体中，求与所成的角的余弦值，求与所成的角的余弦值.1111ABCDA B C D 11B E 11114A BD F1BE1DF1110, 1 (0,0,0)0, 1 .44DF ，1111150 01 1,4416BE DF 111717|,|.44BED F 111111151516cos,.17| |171744BE DFBE DFBEDF 证明：不妨设已知正方体的棱长为证明：不妨设已知正方体的棱长为1 1个单个单位长度位长度, ,设设 1,DAi DCj DDk 分别以分别以 为坐标向量建立空