无穷级数知识点介绍整理人王浩

1、专转本专题知识点-无穷级数数项级数定义1 设给定一个数列则和式 （11.1）称为数项级数，简称为级数，简记为,即=其中，第项称为级数的一般项或者通项。式（11.1）的前项和称为式（11.1）的前项部分和。当依次取1，2，3，.时，部分和构成一个新的数列，数列也称为部分和数列定义2 若级数的部分和数列有极限S ，则称级数收敛，称S是级数的和，即 如果部分和数列没有极限，则称为级数发散数项级数的性质（1） 若级数和级数都收敛，它们的和分别为和，则级数也收敛，且其和为（2） 若级数收敛，且其和为S，则它的每一项都乘以一个不为零的常数k,所得到的级数也收敛，且其和为kS（3） 在一个级数前面加上（或去

2、掉）有限项，级数的敛散性不变（4） 若级数收敛，则将这个级数的项任意加括号后，所成的级数也收敛，且与原级数有相同的和（5） （级数收敛的必要条件）若级数收敛，则综上所述，几何级数的敛散性 调和级数的敛散性 发散数项级数的敛散性研究对象：正项级数、交错级数、任意项级数1 正项级数正项级数：若级数=满足条件，则称此级数为正项级数定理1 正项级数收敛的充要条件是其部分和数列有界定理2 （比较判别法）若级数和级数为两个正项级数，且，那么：（1） 若级数收敛时，级数也收敛（2） 若级数发散时，级数也发散那么的敛散性是定理3（达朗贝尔比值判别法）若正项级数（）满足条件 则（1） 当时，级数收敛（2） 当时

3、，级数发撒（3） 当时，无法判断此级数的敛散性2 交错级数级数（）称为交错级数定理4（莱布尼兹判别法）若交错级数（）满足下列条件（1）（2）则交错级数收敛，其和其余项的绝对值3 绝对收敛和条件收敛若级数的各项为任意实数，则称级数为任意项级数定义 如果任意项级数的各项绝对值组成的级数收敛，则称级数绝对收敛；如果发散，而收敛，则称级数条件收敛定理5 如果级数绝对收敛，则级数必收敛定理6 如果任意项级数满足条件 （1）当时，级数绝对收敛（2）当时，级数发撒幂级数定义1 如果是定义在某个区间I上的函数，则称函数 （11.4）为区间I上的函数项级数定义2 形如（11.5）的级数称为的幂级数，其中均为常数

4、，称为幂级数的系数。当时，级数（11.6）称为x的幂级数定义 3 对于形如式（11.6）的幂级数若设，则 根据任意项级数判别法可知：（1） 当时，若，即，式（11.6）绝对收敛若，即，式（11.6）发散若，即，则比值判别法失效，式（11.6）可能收敛也可能发散（2） 当，由于，式（11.6）对任何x都收敛称为幂级数式（11.6）的收敛半径定理1 如果幂级数 的系数满足条件，则（1） 当时，（2） 当时，（3） 当时，幂级数的性质设幂级数与的收敛半径分别是与（与均不为0），它们的和函数分别为与1. （加法与减法运算） 所得的幂级数仍收敛，且收敛半径是与中较小的一个2. （乘法运算）两幂级数相乘所得的幂级数仍收敛，且收敛半径是与中较小的一个3. （微分运算）若幂级数的收敛半径R，则在（-R,R）内和函数S(x)可导，且有 且求导后所得的幂级数的收敛半径仍为R4. （积分运算）若幂级数的收敛半径R，则和函数S(x)在该区间内可积，且有且求导后所得的幂级数仍收敛，且收敛半径仍为R函数展成