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文档简介
1、高中微积分基本知识第一章、 极限与连续一、 数列的极限1 数列定义:按着正整数的顺序排列起来的无穷多个数 叫数列,记作,并吧每个数叫做数列的项,第n个数叫做数列的第n项或通项界的概念:一个数列,若,对,都有,则称是有界的:若不论有多大,总,则称是无界的若,则称为的下界,称为的上界有界的充要条件:既有上界,又有下界2 数列极限的概念定义:设为一个数列,为一个常数,若对,总,当时,有 则称是数列的极限,记作或数列有极限时,称该数列为收敛的,否则为发散的几何意义:从第项开始,的所有项全部落在点的邻域3 数列极限的性质唯一性 收敛必有界 保号性:极限大小关系数列大小关系(时)二、 函数的极限1.定义:
2、两种情形:设在点处的某去心邻域内有定义,为常数,若对,当时,恒有成立, 则称在时有极限记作或几何意义:对,当时,介于两直线单侧极限:设在点处的右侧某邻域内有定义,为常数,若对,当时,恒有成立,称在处有右极限,记作或的充要条件为:=垂直渐近线:当时,为在处的渐近线:设函数在上有定义,为常数,若对,当时,有成立,则称在时有极限,记作或的充要条件为:水平渐进线: 若或,则是的水平渐近线2.函数极限的性质:唯一性 局部有界性 局部保号性(在当时成立)三、 极限的运算法则1 四则运算法则设、的极限存在,则 (当时) (为常数) (为正整数) 2 复合运算法则设,若,则可以写成 (换元法基础)四、极限存在
3、准则及两个重要极限1极限存在准则夹逼准则设有三个数列,满足 , 则单调有界准则有界数列必有极限3 重要极限 或五、无穷大与无穷小1无穷小:在自变量某个变化过程中,则称为x在该变化过程中的无穷小 若,则为x在所有变化过程中的无穷小 若,则不是无穷小性质:1.有限个无穷小的代数和为无穷小 2.常量与无穷小的乘积为无穷小 3.有限个无穷小的乘积为无穷小 4.有极限的量与无穷小的乘积为无穷小 5.有界变量与无穷小的乘积为无穷小定理:的充要条件是,其中为x在该变化中过程中的无穷小无穷小的比较:(趋于0的速度的大小比较),为同一变化过程中的无穷小若(常数) 则是的同阶无穷小 (当时为等价无穷小)若(常数)
4、 则是的k阶无穷小若 则是的高阶无穷小常用等价无穷小:();2无穷大:设函数在的某去心邻域内有定义。若对于,当时,恒有称当时为无穷大,记作定理: (下:趋于某点,去心邻域不为0) 无穷大的乘积为无穷大, 其和、差、商不确定六、连续函数1定义设函数在某邻域有定义,若对,当时,恒有: 也可记作 或 (或)为左(或右)连续2函数的间断点第一类间断点:左右极限存在第二类间断点:无穷间断点,震荡间断点等3.连续函数的运算若函数与都在处连续,则函数, ()定理:,若在处连续,在处连续,则在处连续4 闭区间连续函数的性质 最值定理:在上连续, 则,对一切有 介值定理:在上连续,对于与之间的任何数,至少一点,
5、第二章、 导数一、导数的概念定义:设函数在点的某邻域有定义,如果极限 存在,则称函数在点可导,极限值为函数在点处的导数,记为单侧导数:设函数在点处的左侧有定义,若极限 存在,则称此极限为函数在点处的左导数,记为,类似有右导数导函数:函数在某区间上可导,则 性质:函数在点处可导的充要条件 可导连续导数的几何意义: 函数点处的切线斜率二、求导法则1函数的和、差、积、商的求导法则定理:若都在x处可导,则函数在x处也可导,且 定理:若都在x处可导,则函数在x处也可导,且 推论:若都在x处可导,则函数在x处也可导,且 定理:若都在x处可导,则函数在x处也可导,且 2反函数的求导法则定理:设函数在上单调可
6、导,它的值域为,而,则其反函数在区间上可导,并且有 4 复合函数的求导法则定理:若函数在可导,函数在点可导,则复合函数在处可导 或 (连锁规则) 三、高阶导数定义:若函数的导数仍可导,则导数为的二阶导数,记作, 类似的,有n阶导数四、隐函数求导对于,或,若求求导法:方程两侧对x求导微分法:方程两侧求微分公式法: ,将方程化成=0,将F看成关于x,y的二元函数,分别对x,y求偏导五、参数方程所确定的函数求导 ,导数公式基本函数: 导数运算法则: 高阶导数 1. 2.,需补充条件在处可导或该极限存在第三章、微分一、微分的概念定义:设函数在某区间上有定义,若可表示为 (其中A与无关) ,则称为y在处
7、的微分,记作的区别:当y为自变量时,当y为因变量时,为y的线性主部定理:对于一元函数,性质:一阶微分形式不变性,对于高阶微分二、微分的几何意义“以直代曲”三、微分中值定理中值定理条件结论Rolle上连续,上可导,至少存在一点,使得Lagrange上连续, 上可导Cauchy上连续, 上可导,有限增量定理: 法则:型未定式定值法:在的某去心邻域有定义,且,在的某去心邻域可导,且 ,则有,类似四、函数的单调性与极值1.单调性:定理:设函数在上连续,在上可导,则导数符号原函数单调性2.极值定义:设函数在点某邻域有定义,若对该邻域内一切x都有 则是函数的一个极大值,点为函数的一个极大值点。(极小值类似
8、)函数取得极值的一阶充分条件函数在点去心邻域可导,且在处可导或导数不存在,则:当时,时,则是极大值当时,时,则是极小值无论还是,总有(或),则不是极值函数取得极值的二阶充分条件函数在点处具有二阶导数,且,则若,则是极小值若,则是极大值第四章、不定积分一、不定积分的概念和性质1.原函数与不定积分原函数:设在上有定义,若对,都有 或 则称为在上的一个原函数原函数存在定理:若函数在上连续,则在上可导函数,对,都有。即连续函数一定有原函数不定积分:设使的一个原函数,C为任意常数,称为的不定积分,记作几何意义:积分曲线族2.不定积分的性质:积分运算与微分运算为互逆运算 二、换元积分法1.第一类换元积分法
9、定理:设有原函数,且具有连续导数,则有原函数2.第二类换元积分法定理:设连续,具有连续导数,且,则,其中三、分部积分法四、有理函数的积分1.简单有理函数的积分将真分式分解为部分分式之和对于形式:应分解成k个部分分式对于:应分解成个部分分式求4种积分,其中,对于,可令,则,再利用递推法2.三角函数有理式的积分万能变换:, ,其他方法:形式换元一、二、与 对于令对于令三、与 为偶数对于令对于令四、当n,m至少有一个为奇数时,可利用将其转化当n,m均为偶数时,利用2倍角转化五、令 解出A,B原函数为积分表 () 第五章、定积分一、定积分的定义定义:设函数在上有界,在内任意插入n-1个分点把分成n个小
10、区间,().记,在第个区间上任取一点,用乘上区间长度,即,并作和.记,无论怎么分割,无论怎么取,若时,趋于同一极限,则称此极限为在上的定积分.记作可积定理:函数在上连续函数在上有界,且仅有有限个第一类间断点函数在上单调有界二、定积分的性质 区间可加性 单调性:若上则 估值性质:设,分别为在上的最大值与最小值,则定积分中值定理:若在上连续,则在区间上至少存在一点,在上的平均值为若为奇函数,;若为偶函数 为周期函数, 三、微积分学基本定理1.变上限函数 定理:若在上连续,则变上限函数可导,2.原函数存在定理若在上连续,则函数是在上的一个原函数3.Newton-Leibniz公式(微积分基本定理)在上连续,是在上一个原函数则若不满足连续条件,可分段积分四、定积分换元法定理:设函数在上连续,函数满足: 在上单调,值域为, 在上具有连续导数 则有:五、定积分的分部积分法类似不定积分六、广义积分1.无穷区间上的广义积分设函数上连续,任取,若极限 存在则称此极限为函数在无穷区间上的广义积分,记作类似定义上的广义积分对于,令,为常数2无界函数的广义积分设函数在上连续,而,取,如果极限 存在则称此极限为函数在上的广义积分,记作类似可定
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