高数一全面复习总汇

1、v1.0可编辑可修改高等数学复习教程第一讲 函数、连续与极限一、理论要求1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）2.极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限3.连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A. 极限的求法（ 1）用定义求（ 2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（ 3）变量替换法（ 4）两个重要极限法（ 5）用夹逼定理和单调有界定理求（ 6）等价无穷小量替换法（ 7）洛必达法则与 Taylor 级

2、数法（ 8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）1v1.0可编辑可修改1. lim arctan xxlim arctan xx1 （等价小量与洛必达 ）x 0 ln(12x 3 )x 02x362. 已知 limsin 6xxf ( x)0，求 lim6 f ( x)x3x2x 0x0lim sin 6xxf (x)lim 6cos 6xf ( x) xy'解： x 0x 3x 03x 2lim36 sin 6x2 y'xy' '216 cos6x3 y'' xy' ' '6xlim6x0x02163y' 

3、9; (0)0y' ' (0)726lim6f ( x)limy'limy' '7236（洛必达 ）x0x2x 0 2xx 0 222 x3. lim (2x ) x1（重要极限 ）x 1x14. 已知 a、b 为正常数， 求 lim ( a x3b x ) xx02( a xb x33ln( a x解：令 t) x , ln tb x )ln 22xlim ln tlim3(a xln ab xln b)3 ln( ab)x 0x0 a xbx2（变量替换 ）t(ab)3 / 215. lim (cos x) ln(1 x2 )x 011解：令 t(c

4、os x) ln(1 x2 ),ln tln(cos x)ln(1x2 )lim ln tlimtan x1te 1 / 2 （ 变量替换 ）x0x 02x2x2f (t )dt06. 设 f ' ( x) 连续， f (0)0,f '( 0)0，求 lim1x2xx00f (t) dt（洛必达与微积分性质 ）7. 已知 f ( x)ln(cos x) x 2 , x0a, x0在 x=0 连续，求 a2解：令alim ln(cos ) /x21/ 2（连续性的概念 ）x 0xv1.0可编辑可修改三、补充习题（作业）1.limex1 x3 （洛必达 ）1 xcosx0x2.li

5、m ctgx (11 ) （洛必达或 Taylor ）x0sin xxx 2x e t dt3. lim01 （ 洛必达与微积分性质 ）e x2x 0 1第二讲 导数、微分及其应用一、理论要求1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导）会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理理解 Roll 、 Lagrange 、 Cauchy、 Taylor定理会用定理证明相关问题3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图会计算曲率（半径）二、题型与解法A. 导数微分的计算基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导

6、1.yy(x)由x arctan t决定，求dy2 yty2t5dxe2.yy(x)ln( x2y)x3 ysin x决定，求dy1由|x 0dx解：两边微分得x=0 时 y'ycos xy ，将 x=0 代入等式得 y=13.yyx)由2xyxy 决定，则dy |(ln 21)dx(x 0B. 曲线切法线问题4.求对数螺线e 在（ ， ）（ e/ 2 , / 2) 处切线的直角坐标方程。解：xecos,( x, y) |/ 2(0,e/ 2 ), y'|/ 21yesin3v1.0可编辑可修改ye / 2x(x) 为周期为 5 的连续函数，它在 x=1 可导，在 x=0 的某

7、邻域内满足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求 f(x)在（ 6， f(6)）处的切线方程。解：需求f (6), f ' (6)或 f (1), f ' (1) ，等式取 x->0 的极限有： f(1)=0limf (1sin x)3 f (1sin x)x0sin xsin xtf (1t)f (1)f (1t )f (1)limt3tt04 f '(1)8f '(1)2y 2(x6)C. 导数应用问题6.已知 yf ( x)对一切 x满足 xf ' ' ( x)2x f ' (x) 21 ex ，若 f

8、' (x0 )0( x00)，求 (x0 , y0 ) 点的性质。解：令 xx0 代入， f ' '(x0 )ex0 10, x00，故为极小值点。ex0 x00, x007.yx3，求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。(x1) 2解：定义域 x(,1)(1,)y'0驻点x及x30y''0拐点x；x：铅垂；y x：斜0128. 求函数 y(x1)e/ 2 arctan x 的单调性与极值、渐进线。y'x 2x/ 2 arctan x驻点 x0与 x1解：1x2 e，渐： ye(x2)与 yx2D. 幂级数展开问题9.dxsin( x

9、t )2 dtsin x 2dx04E. 不等式的证明F. 中值定理问题v1.0可编辑可修改sin(xt) 2( xt) 21 (xt) 6(1)n( x t ) 2(2n1)3!(2n1)!sin(xt )2dt1( xt )31(xt )7( 1)n 1(x t) 4n 133!7(4n1)(2n1)!x21x31x71) nx4n 1t)(sin(x033!7(4n1)(2n1)!dxt)2dtx21x6(1)n x2( 2n 1)sin x2dxsin(x3!(2n1)!0或： xtud02(du)dxsin u2dusin x2sin udx 0dx x10. 求 f ( x)x2

10、ln(1x)在 x0处的 n阶导数 f ( n) (0)解：x2ln(1x)x2(xx 2x 3( 1)n 1 xn 2(n 2 )23n2o x=x3x 4x5(1)n 1 xn(xn )23n2of (n ) (0)(1)n 1nn!211.设x(0,1)，求证（ 1 x) ln 2 (1x)x 2，111x)11ln 2ln(1x2证： 1）令(x)(1x) ln 2(1)x2 ,g(0)0gxg' ( x), g ' '( x), g' ' '( x)2 ln(1x)0, g' (0)g ' '(0)0(1x) 2

11、x(0,1)时 g ' '( x)单调下降， g' ' ( x)0, g '( x)单调下降g' ( x)0, g( x)单调下降， g( x)0；得证。2）令 h( x)1x)1 , x(0,1), h' ( x)0,单调下降，得证。ln(1x12. 设函数 f ( x)在1，1具有三阶连续导数，且f ( 1)0, f (1)1，f ' (0)0 ，求证：在（ -1 ， 1）上存在一点，使 f ' ' ' () 3证： f ( x)f (0)f '( 0) x1f '' (0)x

12、21f ''' () x32!3!5v1.0可编辑可修改其中(0, x), x 1,10f (1)f (0)1f ' ' (0)11 )2f '' ' (将 x=1， x=-1代入有61 f ' ' (0)1 f ' ' '(1f (1)f (0)2 )26两式相减： f'''( 1)f ' '' (2 )6 1， 2 ， f ''' ( )1 f '''( 1 )f '' 

13、9;( 2 )324213. e ab e2 ，求证： ln 2 bln 2 a(ba)证： Lagrange : f (b)f (a)ef '()ba令 f ( x)ln 2x, ln 2 bln 2 a2 lnba令 (t )ln t , '(t )1 ln t0( )(e2 )ln2tt 2e2ln 2 bln 2 a42 (ba)（关键：构造函数）e三、补充习题（作业）1.f (x)ln1x,求 y' ' (0)31x22xetsin 2t在 (0,1)处切线为 y 2x102. 曲线etycos2t3. y x ln( e10)的渐进线方程为 yx1)

14、( xex4. 证明 x>0 时 ( x21) ln x (x1) 2证：令 g( x)( x21) ln x( x1) 2 , g '( x), g' ' (x), g' ' ' (x)2( x21)x3g (1) g' (1)0， g' ' (1)2 0x(0,1), g'' '0, g'' 2g'' 0x(0,1), g'0g0x(1,), g'' ' 0, g ''2x(1,), g'06v1.0可

15、编辑可修改第三讲 不定积分与定积分一、理论要求1. 不定积分掌握不定积分的概念、性质（线性、与微分的关系）会求不定积分（基本公式、线性、凑微分、换元技巧、分部）2. 定积分二、题型与解法A. 积分计算B. 积分性质理解定积分的概念与性质理解变上限定积分是其上限的函数及其导数求法会求定积分、广义积分会用定积分求几何问题（长、面、体）会用定积分求物理问题（功、引力、压力）及函数平均值1.dxdxarcsinx2Cx(4x)4( x 2) 222.e2x (tan x1) 2 dxe2 x sec2xdx2e2 x tan xdx e2 x tan x C3. 设 f (ln x)ln(1x)，求f

16、 ( x)dxx解： f (x)dxln(1ex ) dxexe xln(1ex )(1ex x )dxx(1ex ) ln(1ex )C1e4.arctanxdx1limb1x2 )dx112arctanx |11(ln 2xxbx1x425.f (xt )dt , 且 limf ( x) 连续，(x)f ( x)A ，求( x) 并讨论10x0x' ( x) 在 x0的连续性。xf ( y) dy解： f ( 0)(0)0, yxt(x)0xxf ( x)xf ( y)dyA' ( x)0'(0)lim' (0)A / 2' (0)x22x07v1.

17、0可编辑可修改C. 积分的应用三、补充习题（作业）6.dxtf (x 2t 2 )dtdxt 2 ) d (t 2x2 )f ( x 2dx 02dx 0dx2f()(y)xf(x2 )2dx 0y d7. 设 f ( x)在 0， 1连 续 ， 在 （ 0 ， 1 ） 上 f (x)0 ， 且xf ' (x)f (x)3a x2 ，又 f (x) 与 x=1,y=0所围面积 S=2。求 f ( x) ，2且 a=时 S 绕 x 轴旋转体积最小。cxf (x)dx 2 c 4 a解： d ( f ( x) )3af (x)3a x21dxx2203a(41)xy 2 dx)'0

18、 a5f ( x)x 2V ' (1208. 曲线 yx1 ，过原点作曲线的切线，求曲线、切线与x轴所围图形绕 x 轴旋转的表面积。解：切线 yx / 2 绕 x 轴旋转的表面积为252 yds0曲线 yx22 yds(5 51)1 绕 x 轴旋转的表面积为16总表面积为(1151)61.ln sin x dxcot x ln sin 2x cot x x Csin2x2.x5dxx26x 133. arcsin x dx x第四讲 向量代数、多元函数微分与空间解析几何一、理论要求1.向量代数理解向量的概念（单位向量、方向余弦、模）了解两个向量平行、垂直的条件向量计算的几何意义与坐标表

19、示2.多元函数微分理解二元函数的几何意义、连续、极限概念，闭域性质8v1.0可编辑可修改理解偏导数、全微分概念能熟练求偏导数、全微分熟练掌握复合函数与隐函数求导法3. 多元微分应用理解多元函数极值的求法，会用Lagrange 乘数法求极值4. 空间解析几何掌握曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的求法会求平面、直线方程与点线距离、点面距离二、题型与解法A. 求偏导、全微分1.f ( x) 有二阶连续偏导，zf (ex sin y) 满足 zxx''zyy''e2x z ，求f ( x)解： f ' ' f0f (u)c1euc2 e u12 z

20、zf ( xy)y ( x，求2.xx y3.yy(x), zz(x)由 zxf (xy), F (x, y, z) 0决定 ，求 dz/ dxB. 空间几何问题4.求xyza 上任意点的切平面与三个坐标轴的截距之和。解： x / x0y / y0z / z0a d a5. 曲面 x 22 y23z221在点 (1, 2,2) 处的法线方程。C. 极值问题6. 设 z求 z三、补充习题（作业）1.zf ( xy, x )g( y ), 求yx2.zf (xy, xg ( y ), 求yxz( x, y) 是由 x26xy10 y22yzz2180 确定的函数，z( x, y) 的极值点与极值。

21、2 zx yzx9f (r , , )r 2 sin drv1.0可编辑可修改3. z u ,u ln x 2y 2 ,arctan y ,求 dzx第五讲 多元函数的积分一、理论要求1. 重积分熟悉二、三重积分的计算方法（直角、极、柱、球）by 2( x)dxf ( x, y)dyf ( x, y)dxdyay1( x)2r 2()Ddr1(f ( r , )rdr1)by2( x)z2( x, y)dxdyf ( x, y, z)dzay1( x )z1( x, y )f (x, y, z)dxdydzz22( z)r 2 ( z, )dzdf (r , , z)rdrVz11( z)r1

22、( z, )2()r 2 (, )2. 曲线积分3. 曲面积分二、题型与解法A. 重积分计算dd1()r1(,)会用重积分解决简单几何物理问题（体积、曲面面积、重心、转动惯量）zf (x, y)A1z'2xz'2y dxdyD理解两类曲线积分的概念、性质、关系，掌握两类曲线积分的计算方法L : yy(x)b1y'x2 dxf ( x, y(x)af (x, y) dlxx(t )f (x(t ), y(t )x't2y't2 dtL :Lyy(t)L : r r ()f (r cos , r sin)r 2r '2 d熟悉 Green 公式，会用

23、平面曲线积分与路径无关的条件理解两类曲面积分的概念（质量、通量）、关系熟悉 Gauss 与 Stokes 公式，会计算两类曲面积分f (x, y, z)dSf ( x, y, z( x, y) 1 z'x2 z' y2 dxdyS:z z( x, y)DxyGauss :E dSEdV (通量，散度）SVStokes:F dr(F ) dS(旋度）LS1. I( x 2y 2 )dV , 为平面曲线y 22z绕 z 轴旋转一周与 z=8x010v1.0可编辑可修改的围域。解： I8dz22( x2y 2 ) dxdydzd2 zr 2 rdr1024820xy2 z00032.Ix 2y2y 2dxdy, D 为 yaa 2x2 ( a0) 与D4a 2x221 )yx 围域。（ Ia 2 (1623.f ( x, y)x 2 y,1x2,0yx0, 其他，求f (x, y) dxdy, D : x2y 22 x(49/20)DB. 曲线、曲面积分4.I(ex sin yb( xy)dx(ex cos yax)dyLL从 A( 2a,0)沿y2ax x2 至O(0,0)解：令 L1从O沿y0至AI(b2 abx)dx(