海淀区2021届高三期末数学(理)试题及答案(word版)

1、海淀区高三年级第一学期期末练习2021. 1数学理科本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将答题纸交回。一、选择题共8小题, 合题目要求的一项。第一局部选择题，共40分每题5分，共40分。在每题列出的四个选项中，选出符A2 iB2 ic2 iD2 i2在极坐标系Ox中,方程 2si n 表示的圆为3执行如下列图的程序框图，输出的k值为A4 B5 C6D74设m是不为零的实数，那么2m 0 是方程m21表示双曲线的mA丨充分而不必要条件B丨必要而不充分条件C充分必要条件D丨既不充分也不必要条件5直线xy m 0与圆0 :2 2x

2、y 1相交于A，B两点，且 OAB为正三角形那么实数m的值为A仝B 7C:或D'或亠22222 26从编号分别为1，2, 3，4, 5，6的六个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，那么恰有两个小球编号相邻的概率为r、1234A-B-c-D-55557某三棱锥的三视图如下列图，那么以下说法中: 三棱锥的体积为16 三棱锥的四个面全是直角三角形 三棱锥四个面的面积中最大的值是2所有正确的说法是A【BCD丨8点F为抛物线C : y2 2px p 0的焦点，点K为点F关于原点的对称点， 点M 在抛物线C上，那么以下说法错误的选项是.A使得 MFK为等腰三角形的点 M有且仅有4个B丨使得 M

3、FK为直角三角形的点 M有且仅有4个C使得 MKF的点M有且仅有4个4D使得 MKF 的点M有且仅有4个6第二局部非选择题，共110分二、填空题共6小题，每题5分，共30分。2X29点2,0到双曲线一 y 1的渐近线的距离是410丨公差为1的等差数列 an中，a1, a2, a4成等比数列，那么 an的前100项的和 为.11设抛物线C : y2 4x的顶点为O，经过抛物线C的焦点且垂直于X轴的直线和抛物线C交于A, B两点，那么OA OB12丨5x 1 n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64: 1,那么n .13丨正方体ABCD ABiCiDi的棱长为4.2 , M是棱BC的

4、中点，点P在底面ABCD内，点Q在线段AG上.假设PM 1，那么PQ长度的最小值为 .x y 2014丨对任意实数k，定义集合Dk x,y x y 20, x,y R .kx y 0 假设集合Dk表示的平面区域是一个三角形，那么实数k的取值范围是 ; 当k 0时，假设对任意的x,y Do，有y a x 3 1恒成立，且存在x, y Do,使得x y a成立，那么实数a的取值范围为 .三、解答题共6小题，共80分。解容许写出文字说明，演算步骤或证明过程。15本小题13分如图，在 ABC 中，点 D 在 AC 边上，且 AD 3DC , AB 77 , ADB - , C=36I求DC的值；H求

5、tan ABC 的值16本小题13分据中国日报网报道：2021年11月13日，TOP500发布的最新一期全球超级电脑500强榜单显示，中国超算在前五名中占据两席其中超算全球第一 神威 太湖之光完全使用了国产处理器为了了解国产品牌处理器翻开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器进 行了 12次测试，结果如下：数值越小，速度越快，单位是MIPS测试1测试2测试3测试4测试5测试6测试7测试8测试9测试10测试11测试12品牌A3691041121746614品牌B2854258155121021I从品牌 A的12次测试结果中，随机抽取一次，求测试结果小于7的概率；H在12次测试中，随机抽取三次

6、，记X为品牌A的测试结果大于品牌 B的测试结果的次数，求X的分布列和数学期望 E(X);川经过了解，前 6次测试是翻开含有文字与表格的文件，后6次测试是翻开含有文字与图片的文件请你依据表中数据，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器翻开文件的速度进行评价17本小题14分如图 1,梯形 ABCD 中，AD / BC , CD BC , BC CD 1 , AD 2 , E 为 AD中点将 ABE沿BE翻折到 ABE的位置， 使A1E A1D如图2.I求证：平面 AED 平面BCDE ;求AB与平面ACD所成角的正弦值;川设M、N分别为AE和BC的中点，试比拟三棱锥 M ACD和三棱锥N AC

7、D图中未画出的体积大小，并说明理由.AiED图118本小题13分椭圆 C : x2 2y29，点 P(2,0).I求椭圆C的短轴长与离心率;叮过1，0的直线l与椭圆C相交于M、N两点，设MN的中点为T，判断|TP|与|TM |的大小，并证明你的结论19本小题14分函数 f(x) 2ex ax2 2x 2I求曲线y f (x)在点(0, f (0)处的切线方程；n当a 0时，求证：函数 f (x)有且只有一个零点；川当a 0时，写出函数f (x)的零点的个数只需写出结论20本小题13分无穷数列 an满足：a1为正整数，且对任意正整数 n, an 1为前n项aa2,，a.中等于an的项的个数.【假

8、设a1 2，请写出数列 an的前7项；n求证：对于任意正整数M，必存在k N，使得ak M ；川求证：3 1 是存在m N，当n m时，恒有a. 2 a.成立的充要条件海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案2021.1数学理科、选择题：本大题共 8小题，每题5分，共40分.题号12345678选项ADBADCDC、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.有两空的小题第一空3分92 75 105050 112 1265_ 113 ,33 141,12,5三、解答题：本大题共6小题，共80分.15.本小题13分解：I如下列图， DBC ADB C - - , .1分366故 DBC C , D

9、B DC：2分设 DC x，那么 DB x , DA 3x.在ADB中，由余弦定理AB2 DA2 DB2 2DA DB COS ADB：3分1即 7 (3x)2 x2 2 3x x7x2 ,：4分2解得 x 1，即 DC 1.：5分n方法.在 ADB 中，由 AD AB，得 ABDADB 60，故362在ABC中，由正弦定理ACABsinABCsin ACBABC ABD DBC7分.4sin ABCl7，故 SinABC分.10由 ABC (,)，得 cos ABC23"7，分.11tan ABC2"3方法二.在 ADB中，由余弦定理cos ABDAB2 BD2 AD22

10、AB BD7 1 927 1_1_2；78分.由 ABD (0,)，故 sin ABD3=32.7故 tan ABD 3 311分故 tan ABCtan( ABD )6tan ABD tan6方法三：BC21 tan ABD tan61 3 3 s'BD2 CD2 2BD CD cos BDC 3, BCcos ABCBA2 BC2 AC22BA BC因为 ABC(0,)，所以 sin ABC所以tan ABC2"32飞16.本小题13分I从品牌 A的12次测试中，测试结果翻开速度小于7的文件有：测试 1、2、5、6、9、10、11,共 7 次分 .3设该测试结果翻开速度小

11、于7为事件A，因此P(A) 1212次测试中，品牌 A的测试结果大于品牌 B的测试结果的次数有:测试 1、3、4、5、7、8,共 6 次随机变量X所有可能的取值为：0, 1, 2, 3P(X0)11P(X1)c|c6cAP(X3)CeCC12111.7.8随机变量X的分布列为X0123P丄_9_9_11222211.分19913E(X) 丄0工1亘2丄33分.1011 22 22 11 2此题为开放问题，答案不唯一，在此给出评价标准，并给出可能出现的答案情况，阅卷时按照标准酌情给分给出明确结论，1分；结合已有数据，能够运用以下 8个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由，2分.13 分.标准1：

12、 会用前6次测试品牌A、品牌B的测试结果的平均值与后 6次测试品牌A、品牌B的测试结果的平均值进行阐述这两种品牌的处理器翻开含有文字与表格的文件 的测试结果的平均值均小于翻开含有文字和图片的文件的测试结果平均值；这两种品牌的处理器翻开含有文字与表格的文件的平均速度均快于翻开含有文字和图片的文件的平均速度标准2:会用前6次测试品牌A、品牌B的测试结果的方差与后 6次测试品牌 A品牌B的测试结果的方差进行阐述这两种品牌的处理器翻开含有文字与表格的文件的测 试结果的方差均小于翻开含有文字和图片的文件的测试结果的方差；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件速度的波动均小于翻开含有文字和图片的文件速

13、度的波动标准3 :会用品牌A前6次测试结果的平均值、后 6次测试结果的平均值与品牌 B 前6次测试结果的平均值、 后6次测试结果的平均值进行阐述品牌A前6次测试结果的平均值大于品牌B前6次测试结果的平均值， 品牌A后6次测试结果的平均值小于品牌 B后6 次测试结果的平均值，品牌 A翻开含有文字和表格的文件的速度慢于品牌B,品牌A翻开含有文字和图形的文件的速度快于品牌B标准4 :会用品牌A前6次测试结果的方差、后 6次测试结果的方差与品牌 B前6 次测试结果的方差、 后6次测试结果的方差进行阐述 品牌A前6次测试结果的方差大于品 牌B前6次测试结果的方差，品牌 A后6次测试结果的方差小于品牌 B

14、后6次测试结果的 方差，品牌A翻开含有文字和表格的文件的速度波动大于品牌B,品牌A翻开含有文字和图形的文件的速度波动小于品牌 B标准5 :会用品牌A这12次测试结果的平均值与品牌B这12次测试结果的平均值高三年级数学-理科第10页共4页进行阐述品牌 A这12次测试结果的平均值小于品牌B这12次测试结果的平均值，品牌A翻开文件的平均速度快于B标准6 :会用品牌A这12次测试结果的方差与品牌 B这12次测试结果的方差进行 阐述品牌A这12次测试结果的方差小于品牌B这12次测试结果的方差，品牌A翻开文件速度的波动小于 B标准7:会用前6次测试中，品牌A测试结果大于小于品牌B测试结果的次数、 后6次测

15、试中，品牌 A测试结果大于小于品牌 B测试结果的次数进行阐述前 6次测试 结果中，品牌 A小于品牌B的有2次，占1/3.后6次测试中，品牌 A小于品牌B的有4 次，占2/3.故品牌A翻开含有文字和表格的文件的速度慢于B,品牌A翻开含有文字和图片的文件的速度快于 B标准8:会用这12次测试中，品牌 A测试结果大于小于品牌 B测试结果的次 数进行阐述这12次测试结果中，品牌 A小于品牌B的有6次，占1/2.故品牌A和品牌 B翻开文件的速度相当参考数据期望前6次后6次12次品牌A品牌B品牌A与品牌B方差前6次后6次12次品牌A12.3027.3723.15品牌B5.0731.7732.08品牌A与品

16、牌B8.2727.9717.本小题14分BC , BC 1 , AD 2,I证明：由图1,梯形ABCD中，AD/BC , CDE为AD中点，BE AD故图 2, BE A1E, BE DE分.1因为 AEDE E , AE , DE 平面 ADE分.2所以BE 平面ADE分.3分.4因为BE 平面BCDE，所以平面 ADE 平面BCDEn 解一：取DE中点0，连接0A , ON .因为在 A)DE 中，A|E AD DE 1 所以AO DE因为平面ADE 平面BCDE平面ADE |平面BCDE DEAO 平面ADE所以AO 平面BCDE因为在正方形 BCDE中，O、N分别为DE、BC的中点,所

17、以ON DE建系如图3iiii那么a。,。盲,B1, -,0，c1,2，。，do,2，0，e。，2，0.分51.3AB (1, ?云)aid (0, , 2)， DC (1,0,0),设平面A|CD的法向量为n x, y,z，那么n A.D 0一工，即n DC 01,32y Tz 0，令 z 1 得，yx 0分.7所以n 0,昇3,1是平面A|CD的一个方向量cos A|B, nAB nIAB|分.9所以AB与平面ACD所成角的正弦值为n 解二：在平面 ADE内作EF ED , 由BE 平面ADE，建系如图1 (3那么 A1(0<2) ,B(1,0,0) , C(1,1,0) ,D(0,

18、1,0)AB(1,寸,E(0,0,0)分.513A1D (0,2,二DC (1,0,0),设平面ACD的法向量为(x,y,z)，那么n A|D 0一工，即n DC 0厲0y TZ 0，令 z 1 得，y ,3 ,0所以n 0宀3,1是平面ACD的一个方向量.分.7分.9h -AB ncos AB, n =IAB| |n|V2 2所以AB与平面ACD所成角的正弦值为川解：三棱锥 M ACD和三棱锥NACD的体积相等.理由如下：1方法一：由M 0, ,41h173，N(1,?0)，知 MN (12 ，那么MN n 0分11因为MN .平面A,CD ,所以MN /平面ACD .故点M、N到平面ACD

19、的距离相等，有三棱锥M ACD和N ACD同底等高，所以体积相等.14方法二：如图，取 DE中点P，连接 MP , NP , MN .因为在 ADE中，M , P分别是AE, DE的中点，所以MP/AD因为在正方形 BCDE中，N , P分别是BC , DE的中点，所以 NP/CD因为 MPNP P , MP , NP 平面 MNP , AD , CD 平面 ACD所以平面MNP /平面AiCD 分1因为MN 平面MNP ,分2所以MN /平面A1CD 分13故点M、N到平面ACD的距离相等，有三棱锥MACD和N ACD同底等高,所以体积相等.14法三方法三：如图，取AD中点Q，连接MN，MQ

20、，CQ.1因为在 ADE中，M，Q分别是AiE，AD的中点，所以MQ /ED且MQ ED21因为在正方形 BCDE中，N是BC的中点，所以 NC/ED且NC - ED2所以MQ / NC且 MQ NC，故四边形MNCQ 是平行四边形，故MN /CQ分1因为CQ 平面ACD , MN /平面ACD ,所以MN /平面ACD .分.13故点M、N到平面ACD的距离相等,有三棱锥A(CD和N ACD同底等高,所以体积相等.分18.本小题13分2解：IC :92y_92b2分.2椭圆C的短轴长为2b分.3离心率为e -2a 2分.5n方法1：结论是：|TP |TM |.当直线l斜率不存在时,l: x

21、1,|TP|TM当直线l斜率存在时，设直线l: y k(x 1) , M (x1, yO ,22y 9，整理得：(2k21)x2k(x 1)4k2x 2k2 9 0.分(4 k2)2 4(2k2 1)(2k2 9)64k2 36 04k22k21X-|X22k2 92k2 1 分PM PN(Xi 2)(X2 2) y°2(Xi 2)(X22) k2(Xi 1)(X21)2 2 2(k1)x2 (k2)(x1 x2) k 4(k24 k2"lA (k2 2) 2k2k2 4.分6k252 k21故 MPN 90，即点P在以MN为直径的圆内，故|TP| |TM |n方法2:结论

22、是：|TP | |TM |.当直线丨斜率不存在时，l : X 1, |TP | 0 |TM | 2分当直线丨斜率存在时，设直线kx 1，Mg,%，“区小，丁小2y29，整理得:k(x 1).分2 2 2 2(2k1)x 4k x 2k 9 0(4 k2)2 4(2k2 1)(2k2 9)64k2 36 0故X1X24k22k2 1X1X22k2 92k2 1Xt2(X1 X2)2k2k2 1yTk(xT 1)2k2 12|TP| (Xt2)2yT2)2 (2k 11)2(2k2:2)2 k221)424k 9k 42 2(2 k 1)ITM |2th1 (-|MN |)1)嗥12沙1)(X1X

23、2)2此时，|TM|2|TP|故|TM|TP|19.本小题14分I因为函数 f(X)2-I)216k42eX2k2 92k7225k92 2(2 k 1)ax2 2x 2所以 f '(x) 2eX 2ax 2故 f (0)0 , f '(0)0曲线y f (x)在X 0处的切线方程为12-(k21) (X141)(1&2 9)X2)216k44%x225k2 9(2k2 1)24k49 k2n当 a 0时，令 g(x) f '(x) 2eX 2ax(2 k2 1)24212k16k52 2(2 k 1)分.2分.4分.52，那么 g'(x) 2eX 2a

24、 0分.6分.分由 g(o) 0,故当 x 0 时，g(x) 0，当 x 0 时，g(x) 0.即当 x 0 时，f '(x)0，当 x 0 时，f'(x)0.故f (x)在(，0)单调递减，在(0,)单调递增. 分10函数f (x)的最小值为f (0)由 f (0) 0 ,.分故f (x)有且仅有一个零点.川当0 a 1时，f(x)有两个零点.12当a 1时，f(x)有一个零点；.分3当a 1时，f (x)有两个零点.1420.本小题13分I假设ai 2，那么数列an的前7项为2, 1, 1 , 2, 2, 3, 1 3分n证法一、 *假设存在正整数 M，使得对任意的k N

25、, ak M .由题意，ak 1,2,3,.,M，故数列an多有M个不同的取值 5分2考虑数列an的前M 1项：a1 , a2 , a3 , aM 2 1ail ai2aiM 1此时有：aiM 1 i M 1 M，矛盾.故对于任意的正整数 M，必存在k N*，使得ak M . 8分n证法二、 *假设存在正整数M，使得对任意的k N , akM .由题意，ak 1,2,3,., M，故数列an多有M个不同的取值 5分 对任意的正整数 m，数列a.中至多有M项的值为m，事实上假设数列a.中至少有M 1项的值为m，其M 1项为aii , ai2 ,ai3 ,aiM,q,aiM此时有：aiM 1 1

26、M 1 M，矛盾.2故数列an至多有M 项，这与数列an有无穷多项矛盾。故对于任意的正整数 M，必存在k N*，使得ak M 8分川充分性:假设a1 1, 2, 1,3 , 1, 4, 1,，那么数列an的项依次为k 2, 1, k 1 , 1, k, 1,特别地，数列a.的通项公式为k,nl, n2k 1，即 an2kn 1,n21, n2k 12k故对任意的n N1假设n为偶数，那么an 2 an12假设n为奇数，那么an 2综上，an 2 an恒成立，特别地，取m 1有当n m时，恒有an 2an成立10 分必要性：方法一假设存在a1 k k 1，使得 存在m N，当n m时，恒有a. 2 a.成立2那么数列an的前k 1项为k , 1,1,2,1,3,1,4,.,1k 2,1,k 1,1,k , 2,2,3,2,4,2,5,.,2, k 2,2