流体力学习题解析(20211110084740)

1、第六章粘性流体绕物体的流动2 2粘性流体的速度场为u = 5x yi - 3xyzj -8xz k (m。流体的动力粘度卩=0.144Pa s；:在点(2, 4, 6)处 削=100N/m2，试求该点处其它的法向应力和切向应力。2 2 2ux =5x y, uy =3xyz , uz=-8xz , 尸0.144Pa s, oyy = 100N/m。解析:在点(2, 4, 6)处，有且"0xy =80,巴=3xz 二-36 ,乜二-16x192 ；j=20，卸0 ,/Uy；x=3yz = _72, ；UyC 9 z一:uz= -8z2 =-288 ,: xdivu 比 土excyz =

2、80-36 192 = 236s jz由；yy =PiV，可得-'xx-zz:y一p 2"Uxexxyyzzx二 xzyy汽 °144-36-2。144 236 100 = 66.976Pa，那么divu =66.976 2 0.144 80 - 2 0.144 23 -66.592 Pa33-2divu =66.976 2 0.144 192-? 0.144 236 =34.336 Pa33=二土. 土=0.144_72 20 =-7.488Pay且二 0.144 0 24 = 3.456 Pa :zUz=0.144 0-288 =-41.472 Pa.x6 2两

3、种流体在压力梯度为 立- -k的情形下在两固定的平行平板间作稳定层流流动，试dx导出其速度分布式。：立一k。dx解析:：建立坐标系，将坐标原点放置在两种液体的分界面上，4tx轴与流动方向相同，y轴垂直于平行平板。根据题意，两流体在y轴和z轴方向的速度分量都为零，即Uy = uz= 0。由连续性方程知旦 =0，即速度分量ux与x坐标无关。另外，由式(6-6)可以看出，在质量力忽略不计时,dx有P =0 ,P =0,因此，压力p只是x的函数，于是式(6 - 6)可简化为cyczduxd由于流体是在两无限大平行平板间作稳定层流流动，因此上式中忽略不计，同时，由于 竺 =0，那么dUx = 0,于是上

4、式可进一步简化为cTd Td2uxdy2对于第一种流体有对于第二种流体有d2Uxi 1dp -kdy2JidxJid2Ux2 1dp -kJ2J2dy2dx积分以上两式，得dUxidyk -丁 y Ci;1dUx2dyk yCiJ2再次积分以上两式得Ux1占 y2 Ciy C2 ；Ux2k y222G y C2根据边界条件确定四个积分常数: 当 y = 0 时，Uxi = Ux2，得 C2 =C2 ；当y = 0时，i -2，即1如！如2，得Ci二C2 ；d ydy当y = b时，ux1=0，得C2 绘 Cm。将以上所得各式联立,解得kb' -1 kb'-2C C kbCi 二

5、；Ci =； C2 = C2 =2 叫叫22 2 T- *于是得到两种流体的速度分布式分别为Uxik y2他戈 1y一.2叫-叫 J T 'Ux26- 3密度为p、动力粘度为 卩的薄液层在重力的作用下沿倾斜平面向下作等速层流流动, 试证明：流速分布为u = gsi2 (H 2 - h2)24(2)单位宽度流量为q二：gS2 H 33卩:p, (J, H, h, 0O解析:：(1)建立坐标系如下图，液层厚度方向维稳定层流流动，那么 N-S方程可简化为h为自变量，由于液层的流动为不可压缩一E2ugsin20ch将上式整理后，两次积分得u g h2si n Cih C22#由边界条件：当h

6、= 0时，鴛0,得CT ；当 h = H 时，u= 0，得 C? 牛 H $ sin 71。2卩所以流速分布为;?gsi n2J(H2 -h2)(2)单位宽度流量为h2)dh=H33PHH ：?g s i n2qsudhj-w6 4 一平行于固定底面 0 0的平板,面积为a = o.im2,以衡速u= 0.4m/s被拖曳移动，平板与底面间有上下两层油液，上层油液的深度为m = 0.8mm，粘度 pi= 0.142N -s/m2,下层油液的深度为h2= 1.2mm，粘度 曲=0.235N s/m2,求所需要的拖曳力T。: A = 0.1m2, u= 0.4m/s, h1 = 0.8mm , h2

7、= 1.2mm , * = 0.142N -s/m2,曲=0.235N s/m2。解析一：建立坐标系如下图，由于两层油液均作不可压缩一维稳定层流流动，那么程可简化为-2:U c2-0：z将上式两次积分后，得£丿八八八丿川 11J地 Y对两层油液的速度分布可分别写为U1 =C1Z *。1:-u2 =C2z +C；由边界条件：当z= 0 时，u2 = 0 ,得Z= h2 时，U1 = U2 ,得Gb C； =C2h2 ；U1 = U,得 u = G (h1 h2) C；Z = h2 时，'1-2，即尘，得czdz"C1二 J2C2。将以上四式联立，可解得屮2C1 ：1

8、h<l2 hrl1C2h<l2 ' hl1C2 =0U1 二代入上述速度分布式，得hr； h2 叫 u气 u22 h 2 hrl1那么，拖曳平板所需要的力为0.142 0.235 0.1 0.4(0.8 0.235 1.2 0.142) 10°= 3.724 N线性分布，且在垂直于板面方向的粘性切应力为一常数，即.=.0。因此有所以h2u*u叫dhi "2 h2 叫0.40.142x1.210(0.8 0.235 1.2 0.142) 10= 0.19 m/s那么，拖曳平板所需要的力为=0.235 0.10.19 , =3.724 Nh21.2如06 5

9、粘度0.05Pas的油在正圆环缝中流动，环缝内外半径分别为10mm ,2 =20mm，假设外壁的切应力为 40N/m2,试求(1)每米长环缝的压力降； 每秒流量；流体作用在 10m长内壁上的轴向力。:1= 10mm ,2= 20mm ,卩=0.05Pa s,. w2 = 40N/m2。QU解析:建立坐标系，由于 Ur = U° = 0，由连续性方程可知，x = 0 ；忽略质量力，N Sex方程可简化为2dp lzd Ux dUxd , dUx、 1 dpdx dr rdrdr dr J dx对上式进行两次积分上式，得Ux二丄些Cjnr C24dx 12) 曰1LX根据边界条件确定积分

10、常数:当 r = 口 时，ux =0，得 C2In r1 ;dx当 r = r2 时，ux =0，得 C21 d P r22 -C1 In r2。4卩dx联立以上两式，得C丄业亘亘；C2二丄业©MT21"2)4Pdx (r2)4idx |n辛)r1r1代入上述速度分布式，得Ux丄24dx- Q22 2；ln&)兽rln(r2) r 3ri2 22_ jin® ln(2)rri流量计算式为r2= ux2 二 rdrrid p r222卡 J -22 _22 -r-1n(32二 rdr二 dp8dxz 222_ (r2ri )r： - ri4I ng) ri2

11、-Inln()ri二 Rm r/4 (r2ri ) i二莎t沙一-式中：Rm詈，为单位体积流体在单位管长内流动时所造成的机械能损失，亦即单位管长上的压力损失或压力降，称为压力坡度或称比摩阻。摩擦切应力分布式为_ ldpr . 1 dp(rj r；) _ 1dPr .(-r；) 1_2dx 4dx ln罕)<_2dx2ln伞)rriri当 r= r2 时，32=40N/m2,代入上式得到每米长环缝的压力降为2 /r2 * 一“)丄 2ln® r2 ri=222X40=8 7 1.4Pa/m0.02 (0.01 -0.022)/2 In(0.02/0.01) 0.02dp = dx

12、每秒钟的流量为Rm4Q 帀r2 -1z 222(r2 -ri ) nri3.14 8714.8 0.024 0.0148 0.05(0.022 -O.Oi2)233,=i.38 10 m /sln (0.02/0.01)流体作用在10m长内壁上的轴向力为2 2丄2二丄A-8714.8 0.0122ln(r2)ri0.012 -0.0222 3.14 0.01 10 = 31.85 N2 ln(0.02/0.01) 0.016- 6设平行流流过平板时的附面层速度分布为u = u ： y2爲一 y，试导出附面层厚度6的关系式，并求平板一面上的阻力。平板长为L,宽为B。流动为不可压缩稳定流动。52:

13、根据题意，对于层流附面层，由牛顿内摩擦定律得出平板板面上粘性摩擦应力为:L, B , u =u：V2y。,du乜2附面层的动量损失厚度3为i：'2 =0'乂 1 -丄dy0u： u:-3y2、-y y2、-y 2212dy 二0；.2215将以上两式代入动量积分方程6 - 30式，得到上式整理后为、d、=15dxUco1 2对上式积分得、2=15 x C 2u:;由边界条件：由此得到附面层的厚度 3为-5.48x Rex1 "2 x把式代入式，得到壁面上的粘性切应力为2呱：_2u：w二 5.48 ； x=0.365，uo-=0.365Pu 二 Rex u：xLLFf

14、= 0 JBdx =0.365Bj叫訓dx =0.73B.讥3丄=0.73BL'u2：6-7设平板层流附面层的速度分布为u . : sin u ：:2，试用动量积分方程式推导附面层厚对于长度为L,宽度为B的平板一侧面上的总摩擦阻力为 L 1x度3壁面切应力 t和摩阻系数Cf的表达式。u Eyu ： ：2 、解析:：对于层流附面层，根据牛顿内摩擦定律得到平板板面上粘性摩擦应力为: 'u.-2、cos十肌二u：2、附面层的动量损失厚度 S2为将以上两式代入动量积分方程二 U ：4 -二2、上式整理后为对上式积分得I.22"sin02-sin2= 0.1 3 7(6 30)

15、式，得到2*dx4-7.dxu：:24 - 二 u:-由边界条件:由此得到附面层的厚度S为 =4.794.79x，4.79xRe2把式代入式，得到壁面上的粘性切应力为理丄u：: 'u：;2、2 4.791 x=0.328“：= 0.3285； ReX对于长度为L,宽度为B的平板一侧面上的总摩擦阻力为Ff = ： wBdx=0.328BJu3Jx2dx=0.656BLu3：L=0.656BLu2：Re2平板的总摩擦阻力系数为FfCf?u-BL2。.逓时许話十12只°.21 ?u2-BL26 8 一长为 2m、宽为 0.4m的平板，以 u«= 5m/s的速度在 20 C

16、的水(v= 10 6m2/s, p=998.2kg/m3)中运动，假设边界层内的速度分布为ux=u：(丿戶，边界层厚度3与沿板长方向坐标 xO的关系为j. =0.216()7 x7，试求平板上的总阻力。u:：:L = 2m , B = 0.4m, u«= 5m/s, v= 10 6m2/s, p= 998.2kg/m3。解析: (1)根据冯卡门动量积分方程，对于平板有1 U：Ux、U：-2 d、2：=dx-，并将1Ux 二U-C)11o代入上式，得''2 =U J比)dyjCTY-CFldy j0(111 (1_ 11 )d =111 56所以V 77= 0.216(

17、)7 x7代入上式,Y 得2=0.0152()7 x7u:d ：2-72 =0.013()7xdxu:：代入动量积分方程，得u:：(2) 将w沿整个板面积分，可得平板上的总阻力计算式为1 1L2 V L 予Ff =B ° wdx =0.013u2：()7B o x 7dxv 1 1 =0.0152 ：、u2-BL()7 =0.0152 m2-BLReL一7UoqL(3) 将参数代入上式，且知Rei_ =u°°L =5 =107，得平板上的总阻力为v 10Ff =0.0152u2：BLReLJ =0.0152 998.2 52 0.4 2 (107) -30.35N

18、6 9 一块长50cm、宽15cm的光滑平板置于流速为 60cm/s的油中，油的比重为 0.925, 运动粘度为0.79cm2/s，试求光滑平板一面上的摩擦阻力。: L = 50cm, B = 15cm ,u 60cm/s, S= 0.925, v= 0.79cm2/s。解析：平板末端处的流动雷诺数为ReL二土丄 0.6 吧 =3797.5 ： 5 105，整块平板上均为层流附面层。 '、0.79 10那么平板一面上的摩擦阻力为1 1Ff =0.664BLu2：ReF =0.664 0.15 0.5 9 2 50.62 3 7 9.70.2 6 9J6 10空气以12m/s的速度流过一

19、块顺流置放的光滑平板，如当地气温为20C，求离平板前缘x= 0.6m处附面层的厚度 §和壁面切应力 t。: u«>= 12m/s, x = 0.6m, v= 15X10 6m2/s, p= 1.2kg/m3。解析:x= 0.6m处的流动雷诺数为 Rex = u/=4.8x105 V5X105，即平板上、.15 10的附面层为层流附面层。(1) x = 0.6m处附面层的厚度为1 1、x =5.0xRex2 =5.0 0.6 (4.8 105) 2 = 0.0043m = 4.3mm(2) x = 0.6m处壁面切应力为1 1 w =0.332 Z2：Re? =0.33

20、2 1.2 122 (4.8 105)-0.0 8 2 N / ni6 11空气以15m/s的速度流过一块长 20m、宽10m的光滑平板，空气温度为 20C，如转 变点的临界雷诺数采用Rexc = 5 x 105，求：(1)层流附面层的长度；层流附面层末端的厚度和壁面切应力；(3)平板末端附面层的厚度和壁面切应力；(4)板面的总摩擦阻力。:L = 20m, B = 10m, u«,= 15m/s, v= 15X10 6m2/s, p= 1.2kg/m3。解析:(1)取 Rexc= 5X105。由 Rexc =Ul；xc =5 105，得二 0.5mRex5汇105"5>

21、;<10xcu：15即层流附面层的长度为0.5m，平板上的附面层主要为紊流附面层。(2)计算附面层的厚度在x= 0.5m处为层流附面层；在 x= 20m处为紊流附面层。那么j, LC,阪 l C"'1100.,605m =5.84 J=5.84 汉十=4汉10 m=4mm、'u珀V 151. _ . -6 1515 10 7、20m =0.382()5x=0.382 ()5 20 = 0.26mu/1520(3) 计算摩擦切应力在x= 0.5m和x= 20m处板面上的摩擦切应力分别为2 j v2,15<162Tw0 m = 0.343Pug =0.343勺

22、.2"5 J=0.1 31N/m下 u莎 150.5I' 15 100.0297 1.2 152 50.278 N/m2u：x, 15 2015 2015 10°=2 10(4) 计算总摩擦阻力平板末端的雷诺数为ReL二出丄v混合附面层的总摩阻系数为CfM0.455(lg ReJ2.581700 _0.455_ 170072 587ReL lg(2 10 ) .2 10= 2.61 10板面总摩擦阻力为6 12曳力。:解析:Ff M = Cf M2嗡"2.6竹宀2心后仙20“仆在15 C的静水中，以5.0m/s的速度拖曳一块长 20m、宽3m的薄板，求所需

23、要的拖L = 20m, B = 3m, u5.0m/s, v= 1.14 >0 6m2/s, p= 1000kg/m3。先确定临界转变点的位置，取Rexc = 5 > 105。由 Rexc二竺=5 105，得x_Rex cxc二565 10 4 10 =0.11mu：5.0可以认为整块薄板上的附面层均为紊流附面层。平板末端的流动雷诺数为ReL=£=5.0206 赳77 107v1.14W6绕流平板的总摩擦阻力系数按施利希廷公式计算，即c0455(lg ReL)2.58那么，拖曳薄板所需要的力为F =2Ff =2 Cf0.455lg(8.77 107 )2.58= 2.17

24、 10312=2 2.17 101000 5.03 20 = 325N26 13有一长为25m、宽为10m的平底驳船，吃水深度为1.8m,行驶，水温为20C，试估算克服其摩擦阻力所需的功率。在水中以9.0km/h的速度:L = 25m, B = (10+ 1.8 >2)m, uTO= 9.0km/h , v 1.0 >106m2/s, p= 1000kg/m3。解析：先确定临界转变点的位置，取Rexc = 5 > 105。由 Rexc二沁=5 105，得Vx Rexcxc 一5_65 105 1.0 100.2 m9 0 0/(3 6 0 0可以认为平底驳船的外侧面上的附面层

25、均为紊流附面层。驳船末端的流动雷诺数为u：L9000 25ReL _、- 3600 1.0 10 占 6.25 10总摩擦阻力系数按施利希廷公式计算，即c°4550.455(lg ReL)2.58lg(6.25 107)2.58= 2.275 10“那么，克服驳船摩擦阻力所需要的功率为N 二 FfUHCf1 ?u3-BL2= 2.275 10 - 1000 (-9000)3 (10 1.8 2) 25 = 6.043 kW36006 14有一流线型赛车，驱动功率为350kW，迎风面积为1.5m2，如绕流阻力系数为 0.3,当地空气温度为25 C,不计车轮与地面的摩擦力。试估算以下情况

26、下赛车所能到达的最大速度:(1)空气静止；(2)迎面风速为10km/h。 :：解析:N = 350kW, A = 1.5m2, Cd = 0.3, p= 1.18kg/m3, u°= 10km/h。1 2(1)当空气静止时，由 N二FDUm =CDumA um2=Cd mA，得赛车速度为2Um =32N32 350 10109.65 m / sCD "A. 0.3 1.18 1.5(2)当迎面风速uo= 10km/h时,1由 N =FDUm =Cd2'(U02um) A um，可得um(u0um)2 二2NCd 2 350 1030.3 1.18 1.5= 1.31

27、83 106通过试算，得迎面风速为10km/h时的赛车速度为um =107.8 m/s。3 6 2H = 28m, d = 0.6m ,u «= 15m/s , p= 1.293kg/m , v= 13.2 X0 m/s。圆柱形烟囱的绕流雷诺数为Re 二刮 15 0.6 =6.82 105v 13.2心0由图6 16查得其绕流阻力系数为Cd = 1.2 ,因此，烟囱所受的水平推力为1 2 1 2 mA=1.21.293 1528 0.6 = 2 93£N2 -6 16高压电缆线的直径为求风作用于高压电缆线上的作用力。:：解析:：F d -Cdd= 10mm, L = 70m

28、,电缆线的绕流雷诺数为210mm ,两支撑点距离为 70m ,风速为20m/s ,气温为10C。试u«>= 20m/s, p= 1.25kg/m3, v= 14X10 6m2/s。6 15有一圆柱形烟囱高为 28m，直径为0.6m，水平风速为15m/s,空气温度为0C,求烟 囱所受的水平推力。:：解析:：Ref 20 °.叭1.43 104v 1410由图6 16查得其绕流阻力系数为Cd = 1.2，因此，风作用于高压电缆线上的作用力为11Fd =Cdu2A = 1.21.25 202 70 0.01 =210 N226 17温为20C, : 解析有一水塔，上部为直径

29、 12m的球体，下部为高 30m、直径2.5m的圆柱体，如当地气 最大风速为28m/s，求水塔底部所受的最大弯矩。H = 30m, d1= 2.5m , d2= 12m ,u «= 28m/s, p= 1.2kg/m3, v= 15X10 6m2/s。圆柱体及球体的绕流雷诺数分别为Re1Re 2uq 28域 2.5467心066 =4.67 10 v 15汇10怡=4 二 V 吃24107v15勺0"由图6 16和6-19查得的绕流阻力系数分别为Cdi= 0.36, C°2 = 0.2。圆柱体及球体所受的水平推力分别为1 2 1 2Fdi = Cdiu - -A

30、= 0.361.2 2830 2.5 = 12.7 kN2 2FD2 =CD2 - ?u2.A0.2 1 1.2 282 1 二 122 =10.6 kN224水塔底部所受到的最大弯矩为11M =FD1 H FD2 (H d2)2211=12.7 30 10.6 (30 12) =572.1 kN m 226 18有一直径为0.8m的氢气球，在25C的空气浮力和 5.0m/s速度的风力作用下， 观察到 系气球的绳子与水平面成45°角，假设不计绳子的重量，求氢气球的绕流阻力系数。:d= 0.8m, ua= 5.0m/s, 0= 45°, p= 1.18kg/m3。解析：忽略氢

31、气球自身的重量，受力图如下图。氢气球受25C空气的浮力为1313Fb d3 a 3.14 0.83 1.18 9.81 = 3.1 N6611由于 Fd 二Cd山2- 二 d2 二 FBctg2_ 4得氢气球的绕流阻力系数为CD8FBCtg二 d2 52：8 3.1 ctg453.14 0.82 1.18 5.026 19直径为2mm的气泡在20C清水中上浮的最大速度是多少？:d= 2mm, p= 1000kg/m3, v= 1.0 >10 6m2/s。解析：先假定Re= 101000，运用阿连公式(6 68)，注意气泡的密度 p可忽略不计，得1 1Uf h 幻=(1.0 10冷刁 2

32、10 = 0.2 m/sud 0 <<10验证雷诺数：Re=400，说明上述假定合理，计算正确。v1.0汉106 20直径为12mm的小球在密度为 920kg/m3、粘度为0.034Pa s的油中以3.5cm/s的速度 上浮，求小球的比重。:d= 12mm， p= 920kg/m3， uf= 3.5cm/s， 尸 0.034Pa s。解析：先小球的绕流雷诺数为Rd 920 °.035 °.°120.034= 11.36运用阿连公式(6 68)，注意到小球的密度p小于油液的密度p,得忙中2(；)2310.035 2 0.034 23=9201一()2()2=892.14kg/m0.012 ' 920)那么，小球的比重为Ss=89空892沆。10003一626 21煤粉炉炉膛中烟气的密度为0.23kg/m，运动粘度为 240X 10 m /s，煤粒的密度为，假设上升气流的速度为0.5m/s，问粒径为0.1mm的煤粉颗粒能否被气流带走？d= 0.1mm, p= 0.23kg/m3, v 240X10 6m2/s, ps= 1300kg/m3, 先假定煤粉颗粒处于悬浮状态，其绕流雷诺数为31300kg/m:解析:u戶 0.5m/s。Re 上竺 0.1 匸 0.21v 240x10由斯托克斯公式(6 70)