江苏省无锡市前洲中学届九级(上)期中数学试卷(解析版)

1、D.与00的位置关系是13T2022-2022学年江苏省无锡市前洲中学九年级上期中数学试一、选择题本大题共有10小题，每题3分，共30分1. 一元二次方程2x2=l - 3x化成ax2+bx+c=0的形式后，a、b、c的值分别为A. 2, 1,3 B 2, 3, - 1 C 2, 3, ID. 2, 1, 32.如图，在AABC 中，ZC=90 AB=13, BC=5,那么 sinA 的值是那么点P圆心的坐标是0, 0，点P的坐标是4, 3A.点P在OO外B.点P在内C点P在00上D.点P在。O外或©0 ±4.如图，ZkABC 中，DEBC, DE=1, AD=2, DB=

2、3,那么 BC 的长是5. 方程kx2 - x+l=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是A. k+ B. k<+ C kH* D. k<鲁且 kHO6. 有以下四个命题： 直径是弦： 经过三个点一定可以作圆： 三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等: 半径相等的两个半圆是等弧.其中正确的有A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个7.如图，在"BCD中，E为CD上一点，连接AE、BD,且AE、BD交于点F, SADEF： Saabf=4： 25,那么 DE： EC=»學CA. 2： 5 B. 2： 3 C. 3： 5 D. 3： 28. 在RtAABC的直角

3、边AC边上有一动点P 点P与点A, C不重合，过点P作直线截得的三角形与AABC相似，满足条件的直线最多有A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条9. 如图， AB=AC=AD, ZCBD=2ZBDC, ZBAC=42 那么ZCAD 的度数为A. 110°B. 88° C. 84° D 66°10.如下列图，的半径为8cm,把弧AgBi沿AiB】翻折使弧AimB】经过 圆心O,这个过程记为第一次翻折；将弧A2OB2沿着A2B2翻折使弧A2OB2经过 AiBi的中点，其中A2B2AiB】，这个过程记为第二次翻折；.按照这样的规律翻 折下去，第4次翻折的折痕

4、A4B4长度为二. 填空题本大题共有8小题，每题2分，共16分11在比例尺为1： 500000的地图上，测得A、B两地间的图上距离为6cm,那么 A、B两地间实际距离_km12. 假设两个相似三角形的面积比为1： 4,那么这两个相似三角形的周长比是_.13. 在AABC中，|cosA专|+ tanB) 2=0.那么ZC的度数是.14. 如图，线段AB是OO的点径，弦CD丄AB, ZCAB=20°,那么ZAOD等于 .15. 关于x的方程x2 - (a2 - 2a - 15)x+a - 1=0两个根是互为相反数，那么3 的值为_16. 如图，在ZXABC中，点D是BC上一点，E、F分别

5、是ZXABD、AACD的重心, 假设BC=6,那么线段EF的长为 17.如图，ZABC 中，SaAbc=36, DEAC, FGBC，点 D、F 在 AB 上，E 在 BC上，G 在 DE 上，且 BF=FD=DA,那么 Spq边形begf=18.如图，正方形ABCD中，AB=2,动点E从点A出发向点D运动，同时动点F 从点D出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止 运动，运动过程中线段AF、BE相交于点P,那么线段DP的最小值为 三、解答题(本大题共10小题，共84分解答需写出必要的文字说明或演算步 骤)19.(8分)计算：(1) (“2022 1)°+2c

6、os60°- (*) _2+tan45<>(2) V12+I 3| 2tan60°+ ( - 1+2)。20(8分)解方程：(1) 2 (x 2) 2 31=1(2) 3y (y- 1) =2 (y 1)21. (8分)如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF丄AM, 垂足为F,交AD的延长线于点E,交DC于点N.(1) 求证：ABMsEFA：(2) 假设 AB=12, BM=5,求 DE 的长.B M C22(8分)如图，©O的半径OD丄弦AB于点C,联结AO并延长交于点E, 联结 EC. AB=8, CD=2.(1) 求OA的长

7、度：(2) 求CE的长度.23(8分)如图，“和谐号"高铁列车的小桌板收起时近似看作与地面垂直，小 桌板的支架底端与桌而顶端的距离OA=75厘米.展开小桌板使桌面保持水平， 此时CB丄AO, ZAOB=ZACB=37°,且支架长OB与桌面宽BC的长度之和等于OA的长度.求小桌板桌面的宽度BC参考数据sin37°0.6, cos37%0.8, tan37°40.75OC24. 8分某I I孙老师佩戴运动手环进行快走锻炼，阳次锻炼后数据如表.与 第一次锻炼相比，孙老师第二次锻炼步数增长的白分率是其平均步长减少的百分 率的3倍.根据经验己知孙老师第二次锻炼时平

8、均步长减少的白分率小于0.5.工程第一次锻炼第二次锻炼步数步10000平均步长米/步距离米60007020注：步数X平均步长二距离.1求孙老师第二次锻炼时平均步长减少的白分率：2孙老师发现好友中步数排名第一为24000步，因此在两次锻炼结束后又走 了 500米，使得总步数恰好为24000步，求孙老师这500米的平均步长.25. 8分对于一个三角形，设其三个内角的度数分别为x。、y。和z。，假设X、y z满足x2+y2=z2,我们定义这个三角形为美好三角形.1AABC 中，假设ZA=50°, ZB=70°,那么ZiABC 填"是"或"不是&quo

9、t;美好三角形；2如图，锐角AABC是OO的内接三角形，ZC=60°, AC=4, GO的直径是矩, 求证：AABC是美好三角形：3己知ZXABC是美好三角形，ZA=30°,求ZC的度数.268分阅读下面材料：小昊遇到这样一个问题：如图1,在AABC中，ZACB=90°, BE是AC边上的中线,AP点D在BC边上，CD： BD=1： 2, AD与BE相交于点P,求希的值.小昊发现，过点A作AFBC,交BE的延长线于点F,通过构造AAEF,经过推 理和计算能够使问题得到解决如图2.请答复：需的值为参考小昊思考问题的方法，解决问题：如图 3,在AABC 中，ZACB=

10、90%点D在BC的延长线上，AD与AC边上的中线BE的延长线交于点P, DC： BC： AC=1： 2： 3.1:求需的值:2假设 CD=2,那么 BP二27.10分阅读理解:图3我们知道，四边形具有不稳定性,容易变形，如图1，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个半行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为a,我们 把 £厂的值叫做这个平行四边形的变形度.sinO.1假设矩形发生变形后的平行四边形有一个内角是120度，那么这个平行四边 形的变形度是猜测证明：(2) 设矩形的面积为Sn其变形后的平行四边形而积为S2,试猜测Si，S2, -rVsinCL 之间的数量关系，并说明理由；

11、拓展探究：(3) 如图2,在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，且AB2=AE*AD,这个矩形 发生变形后为平行四边形AiBiCiDi, Ei为E的对应点，连接BiEi, B】Di,假设矩 形ABCD的面积为4听(m>0),平行四边形AiBCDi的面积为2听(m>0), 试求ZAiEiBi+ZAiDiBi 的度数.28(10分)如图，在RtAABC中，ZC=90°, AC=6, BO& 动点P从点A开始 沿折线AC - CB - BA运动，点P在AC, CB, BA边上运动的速度分别为每秒3,4, 5个单位.直线I从与AC重合的位置开始，以每秒|个单位的速度沿CB

12、方向移 动，移动过程中保持lAC,且分别与CB, AB边交于E, F两点，点P与直线I 同时出发，设运动的时间为t秒，当点P第一次回到点A时，点P和直线I同时 停止运动.(1) 当25秒时，点P走过的路径长为；当W秒时，点P与点E重合:(2) 当点P在AC边上运动时，连结PE,并过点E作AB的垂线，垂足为H.假 设以C、P、E为顶点的三角形与AEFH相似，试求线段EH的值；(3) 当点P在折线ACCBBA上运动时，作点P关于直线EF的对称点Q.在 运动过程中，假设形成的四边形PEQF为菱形，求t的值.备用图2022-2022学年江苏省无锡市前洲中学九年级上期中aia数学试卷參考答案与试题解析一

13、、选择题本大题共有10小题，每题3分，共30分1. 一元二次方程2x2=1 _ 3x化成ax2+bx+c=0的形式后，a、b、c的值分别为A. 2, 1,3 B. 2, 3, - 1 C. 2, 3, ID. 2, 1, 3【考点】一元二次方程的一般形式.【分析】先移项有2x2+3x1=0,然后根据一元二次方程的一般形式即可得到3、 b、c的值.【解答】解:移项得，2x2+3x - 1=0» a=2 9 b=3 9 c= 1应选B.【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0,其中a叫二次项系 数，b叫一次项系数，c叫常数项.2.如图，在ZXABC 中，ZC=90

14、AB=13, BC=5,那么 sinA 的值是【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理.【分析】此题可以利用锐角三角函数的定义求解，sinA为ZA的对边比上斜边, 求出即可.【解答】解:在ZXABC 中，ZC=90°, AB=13, BC=5,.ZA的对边BC 5，S，nA=AB=l3 -应选A.【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的 正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边.3. 假设圆的半径是5,圆心的坐标是0, 0，点P的坐标是4, 3，那么点P与00的位置关系是A.点P在OO外 B.点P在GO内C.点P在OO± D点P在。0外

15、或00 ±【考点】点与圆的位置关系.【分析】首先求得点P与圆心0之间的距离，然后和圆的半径比拟即可得到点P 与圆的位置关系.【解答】解:由勾股定理得：opf32+4J,圆0的半径为5,点P在圆0上.应选C.【点评】此题考査了点与圆的位置关系，求出点到関心的距离是解决此题的关键.4. 如图，Z1ABC 中，DEBC, DE=1, AD=2, DB=3,那么 BC 的长是【考点】相似三角形的判定与性质.【分析】根据DEBC,证明 ADE-AABC,然后根据对应边成比例求得BC的 长度.【解答】解:TDEZ/BC,.ADEs/abC,那么坐旦JDE BCVDE=1, AD=2, DB=3,

16、AB=AD+DB=5,应选C【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质，难度一般，解答此题的关键是根 据平行证明 ADEAABC.5. 方程kx2 - x+l=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是A. k>£ B. k< C. kH* D. k<寺且 kHO【考点】根的判别式；一元二次方程的定义.【分析】令原方程根的判别式J24ac>0,求得k的取值，保证二次项的系 数不为0即可.【解答】解：由题意得：4k>0： kHO,解得：kV*且kHO,应选D.【点评】方程有2个不相等的实数根应注意两种情况：A>0,二次项的系数不 为0.6. 有以下四个

17、命题： 直径是弦： 经过三个点一定可以作圆： 三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等； 半径相等的两个半圆是等弧.其中正确的有A. 4个B. 3个C. 2个D1个【考点】三角形的外接圆与外心：圆的认识；确定圆的条件.【分析】根据圆中的有关概念、定理进行分析判断.【解答】解：经过圆心的弦是直径，即直径是弦，弦不一定是直径，故正确； 当三点共线的时候，不能作圆，故错谋； 三角形的外心是三角形三边的垂直半分线的交点，所以三角形的外心到三角形 各顶点的距离都相等，故正确； 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，所以半径相等的两个半圆是等弧, 故正确.应选：B.【点评】此题考査了圆中的有关概念：弦、直

18、径、等弧.注意：不在同一条直线 上的三个点确定一个圆.7.如图，在QABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD,且AE、BD交于点F, SADEF： Saabf=4： 25,那么 DE： EC=().4 BA. 2： 5 B. 2： 3 C. 3： 5 D. 3： 2【考点】相似三角形的判定与性质：平行四边形的性质.【分析】先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出 DEF-ABAF, 再根据S. def： S,abf=4： 25即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出DE： AB的值，由AB=CD即可得出结论.【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，ABCD,AZEAB=ZDEF,

19、 ZAFB=ZDFE,defs/baf,* Sadef： S.abf=4： 25,DE： AB=2： 5,VAB=CD,A DE： EC=2： 3.应选B.【点评】此题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似 三角形边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键.&在RtAABC的直角边AC边上有一动点P 点P与点A, C不重合，过点P 作直线截得的三角形与AABC相似，满足条件的直线最多有A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条【考点】相似三角形的判定.【分析】过点P作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形己经有一个公 共角，只要再作一个等于AAB

20、C的另一个角就可以.【解答】解:1、过点P作AB的垂线2、过点P作AC的垂线3、过点P作AB的半行线4、过点 P 作ZPDC=ZA,这吋ZPCDs/bcA所以共有4条，应选D.【点评】此题主要考查三角形相似的条件，有两个角相等的三角形相似.9.如图， AB=AC=AD, ZCBD=2ZBDC, ZBAC=42°,那么ZCAD 的度数为：A. 110°B. 88° C. 84° D 66°【考点】圆周角定理.【分析】首先以A为圆心，AB长为半径画弧，然后可确定B、C、D同在0A上, 再根据ZCBD=2ZBDC可得&=2就，然后可得ZCAD

21、=2ZBAC=84°.【解答】解：以A为圆心，AB长为半径画弧，VAB=AC=AD,B、C、D同在0A上,VZCBD=2ZBDC,AZCAD=2ZBAC=84%应选：C.【点评】此题主要考査了圆周角定理，关键是棠握在同圆或等圆中，同弧或等弧 所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.10.如下列图，己知OO的半径为8cm,把弧AgBi沿A】Bi翻折使弧AgBi经过 圆心O,这个过程记为第一次翻折；将弧A2OB2沿着A2B2翻折使弧A2OB2经过AiBi的中点，其中A2B2/7AiBi，这个过程记为第二次翻折；.按照这样的规律翻折下去，第4次翻折的折痕A4B4长度为D V15【

22、考点】翻折变换折栓问题【分析】根据翻折后折痕A4B4到弧A】mBi的中点的距离没有发生变化，求出折痕到A4B4到弧AimBi的中点的距离，设折痕A4B4的中点为Q,然后求出OC4的 长，再利用勾股定理列式进行计算即可得解.【解答】解：根据翻折的性质，折痕A4B4到弧AimBi的屮点的距离为：*X*X设折痕A4B4的屮点为Q,那么点C4到弧AimBi的中点的距离为g, 所以，008 务普，如图，在RtAA40C4中，心十疋-0C制於_ 导仝俘，所以，A4B4=2A4C4=2X=V31 【点评】此题考査了翻折变换，根据折亮的性质，把第四次折廉的折痕A4B4转 化到上，构造出百角三角形是解题的关键，

23、也是此题的难点.二. 填空题本大题共有8小题，每题2分，共16分11在比例尺为1： 500000的地图上，测得A、B两地间的图上距离为6cm,那么A、B两地间实际距离30 km.【考点】比例线段.【分析】根据比例尺二图上距离：实际距离，列比例式即可求得实际距离.【解答】解：设A、B两地间的实际距离为xcm,由题意，得1： 500000=6： X,解得 x=3000000cm=30km故答案为30【点评】此题考查了比例线段，能够根据比例尺的定义正确地列出比例式是解题 的关键，注意单位之间的转换.12假设两个相似三角形的面积比为1： 4,那么这两个相似三角形的周长比是 2 .【考点】相似三角形的性

24、质.【分析】根据相似三角形而积的比等于相似比的平方求出相似比，根据似三角形 周长的比等于相似比得到答案.【解答】解：两个相似三角形的而积比为1: 4,这两个相似三角形的相似比为2,这两个相似三角形的周长比是2,故答案为：1： 2.【点评】此题考査的是相似三角形的性质，学握相似三角形周长的比等于相似比、 相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键.13在ZkABC 中，|cosA 寺|+ (1 - tanB) 2=0.那么ZC 的度数是 75。【考点】特殊角的三角函数值：非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方.【分析】根据题意得出cosA-y=0, 1 - tanB=O,进而得出ZA=6

25、0°, ZB=45°, 再利用三角形内角和定理得出答案.【解答】解：cosA 寺|+ (1 - tanB) 2=0»cosA =0, 1 tanB=0,cosA=y, tanB=l,.ZA=60o, ZB=45°,A ZC=180° - 60° - 45°=75°.故答案为：75。.【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及绝对值的性质和偶次方的性 质，正确记忆柑关数据是解题关键.14如图，线段AB是00的直径，弦CD丄AB, ZCAB=20°,那么ZAOD等于 140。【考点】圆周角定理：垂径定理.【

26、分析】先根据垂径定理得到奁=血，再根据圆周角定理得ZBOD=2ZCAB=40 然后利用邻补角的定义计算ZAOD的度数.【解答】解:VCD丄AB,*-BC=Bb， ZBOD=2ZCAB=2 X 20°=40°, ZAOD=180° ZBOD=180° - 40°=140°.故答案为140°.【点评】此题考査了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相 等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.也考查了垂径定理.15.关于x的方程x2 - (a2-2a-15) x+a - 1=0两个根是互为相反数，那么a 的值为3【考点】根

27、与系数的关系：解一元二次方程因式分解法：根的判别式.【分析】根据根与系数的关系，可求出V+X2,再由题意方程x2(a22a15) “a20两个根是互为相反数，即可得x1+x2=0,即可求a的值.【解答】解:根据题意得X1+X2二直寿2a15,aXVxi+x2=0,/.a2 - 2a - 15=0,a=5 或 a= 3,当a=5时,x2+4=0无实根，a的值为3.【点评】一元二次方程的两个根X】、X2具有这样的关系：X1+X2B, x】X216.如图，在AABC中，点D是BC上一点，E、F分别是ZABD. AACD的重心,假设BU6,那么线段EF的长为2【考点】三角形的重心.【分析】连接AE并延

28、长交BD于M,连接AF并延长交CD于N,根据三角形的 重心是中线的交点可得DM=-BD, DN#CD,然后求出MN的长，再根据三角形 的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍可得AE=2ME, AF=2NF,再根 据相似三角形对应边成比例列出求解即可.【解答】解：如图，连接AE并延长交BD于连接AF并延长交CD于N, 点E、F分别是ZkABD和AACD的重心， ADM=yBD, DN=*CD, AE=2ME, AF=2NF, I BC=6,MN二DM+DN今 (BD+CD) =-BC=-X 6=3, 乙乙乙 AE _AF _ 22 /I：Ar am刁厂AN =2+1 亏'ZEAF=

29、ZMAN， AEFAAMN,解得EF=2.故答案为：2【点评】此题考査了三角形重心，是偏僻题目，主要利用了三角形的重心是三角 形中线的交点，三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍.17如图，AABC 中，S“bc=36, DEAC, FGBC,点 D、F 在 AB 上，E 在 BC 上，G在DE上，且BF=FD=DA,那么S嘶形beg产12【考点】相似三角形的判定与性质.s【分析】根据相似三角形的判定推出bdesbac,得出尹匹 bABAC求出Sde"6,同理求出Sadfg=4,代入Spj边形beglSadbe-Sdfg求出即可.【解答】解:.DEAC,.AbdeAbac

30、,VS.ABC=36tSabde=16»FGBC,AADFGADBE, SaDFG = 4 9e>S n边形 begf=S/.dbe " Sadfg=16 - 4=12 故答案为12.【点评】此题考査了相似三角形的性质和判定，注意：相似三角形的面积比等于 相似比的平方.18.如图，正方形ABCD中，AB=2,动点E从点A出发向点D运动，同时动点F 从点D出发向点C运动，点E、F运动的速度郴同，当它们到达各自终点时停止 运动，运动过程中线段AF、BE相交于点P,那么线段DP的最小值为 衍1.【考点】轨迹：圆周角定理；点与圆的位置关系.【分析】首先判断出AABE仝DAF,

31、即可判I析出上DAZZABE,再根据ZABE+ ZBEA=90°,可得ZFAD+ZBEA=90°,所以ZAPB=90°：然后根据点P在运动中保 持ZAPB=90°,可得点P的路径是一段以AB为直径的弧，设AB的中点为G,连 接CG交弧于点P,此时CP的长度最小，最后在RtAAGD中，根据勾股定理， 求出DG的长度，再求出PG的长度，即可求出线段DP的最小值为多少.【解答】解：如图:动点F, E的速度相同, DF=AE,乂 正方形ABCD中，AB=2,AAD=AB,在AABE和ADAF中，AB 二 AD，ZBAE二ZADF,AE 二 DFA AABEADA

32、F,:.ZABE=ZDAF.VZABE+ZBEA=90°,/.ZFAD+ZBEA=90°,AZAPB=90°,点P在运动中保持ZAPB=90°,点P的路径是一段以AB为直径的弧，设AB的中点为G,连接CG交弧于点P,此时CP的长度最小，AG=BG=yAB=l.在 RtABCG 中，DG=VAG2 +AD2=V12 + 22=5» PG=AG=1,/. DP=DG - PG=V5 - 1即线段DP的最小值为丽故答案为：V5 - 1.【点评】此题考査了轨迹，解答此题的关键是判断出什么情况下，DP的长度最 小，利用了了全等三角形的判定和性质的应用，正

33、方形的性质和应用，以及勾股 定理的应用，要熟练第握.三、解答题本大题共10小题，共84分解答需写出必要的文字说明或演算步 骤19.计算：12022 1°+2cos60° 专T+tan45°2V12+I 3| 2tan60+ 1+典°,【考点】实数的运算：零指数幕：负整数指数幕：特殊角的三角函数值.【分析】1原式利用零指数幕、负整数指数幕法那么，特殊角的三角函数値计 算即可得到结果；2原式利用二次根式性质，绝对值的代数意义，特殊角的三角函数值，以及 零指数幕法那么计算即可得到结果.【解答】解:1原式=1+1 - 4+1= - 1：2原式=23+3 - 27

34、3=1=4.【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法那么是解此题的关键.20解方程：(1) 2(X - 2)2 - 31=1(2) 3y (y- 1) =2 (y- 1)【考点】解一元二次方程因式分解法；解一元二次方程直接开平方法.【分析】1)直接开半方法求解可得：(2)因式分解法求解可得.【解答】解: 2 (x-2) 2-31=1,(x 2)2=16,.*.x - 2=±4,即 x=2±4,X=6, X2= - 2；(2)3y (y- 1) =2 (y- 1),3y (y - 1) 2 (y - 1) =0,(3y- 2)(y- 1) =0, 2 1 yl=y

35、7; y2=l-【点评】此题主要考查解一元二次方程的能力，根据不同的方程选择适宜的方法 是解题的关键.21.如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF丄AM,垂足 为F,交AD的延长线于点E,交DC于点N.(1) 求证：abms/xefa：(2) 假设 AB=12, BM=5,求 DE 的长.AD E【考点】相似三角形的判定与性质：正方形的性质.【分析】 由正方形的性质得出AB=AD, ZB=90°, ADBC,得出ZAMB=ZEAF,再由ZB=ZAFE,即可得出结论；2由勾股定理求出AM,得出AF,由厶ABMsEFA得出比例式，求出AE, 即可得出DE的长.【解答

36、】1证明：四边形ABCD是正方形，AAB=AD, ZB=90°, ADBC,AZAMB=ZEAF,乂 TEF 丄 AM,A ZAFE=90°,.ZB=ZAFE,.ABMs/XEFA：2解：VZB=90°, AB=12, BM=5,/.AM=7122+52=13, AD=12,F是AM的中点，AAF=yAM=6.5,. AABMAEFA, BM帀転，6.5-AE'AAE=16.9,A DE=AE - AD=4.9 【点评】此题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；熟练 裳握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键.22如图，G>0

37、的半径0D丄弦AB于点C,联结A0并延长交00于点E,联结EC. AB=8, CD=2.1求0A的长度：2求CE的长度.【考点】垂径定理；勾股定理；圆周角定理.【分析】1根据垂径定理得出AC二BC二寺AB=4,根据勾股定理得出方程，求出 即可；2连接BE,求出OCBE且OC=|BE，求出BE,根据勾股定理求出CE即可.【解答】1解：在30中，0D丄弦AB,AOBC#AB，VAB=8,/.AC=BC=4,设 0A 为 x,那么 OD=OA=x,VCD=2, OC=x - 2在 RtAACO 中，AC2+OC2=AO2A42+ x2 2=x2,解得“5,OA=5:2解：连接BE,V OA=OE,

38、AC=BC, OCBE且OC=BE, Z.ZEBA=ZOCA=90 VOC=OD - CD=5 2=3, .BE=6,在 RtAECB 中，BC2+EB2=EC2A42+62=EC2,EC2>/13»【点评】此题考査了勾股定理，垂径定理，圆周角定理，三角形中位线的应用, 用了方程思想，题目比拟典型，难度适中.23. 如图，“和谐号高铁列车的小桌板收起时近似看作与地面垂直，小桌板的支 架底端与桌面顶端的距离OA=75厘米.展开小桌板使桌面保持水平，此时CB丄 AO, ZAOB=ZACB=37%且支架长0B与桌面宽BC的长度之和等于0A的长度求 小桌板桌面的宽度 BC.(参考数据

39、sin37°0.6, cos37°0.8, tan37°0.75)图1图2【考点】解直角三角形的应用.【分析】延长CB交A0于点D.那么CD丄0A,在RtAOBD中根据正弦函数求得 BD,根据余弦函数求得0D,在RtAACD屮，根据正切函数求得AD,然后根据 AD+OD=OA=75,列出关于x的方程，解方程即可求得.【解答】解:延长CB交A0于点D.CD丄0A,设 BC=x,那么 OB=75 - X,在 RtAOBD 中，OD=OBcosZAOB, BD=OB*sinZAOB,/.0D= (75 x) cos37°=0.8 (75 x) =60 0.8x

40、,BD= (75 - xJ sin37°=0.6 (75 - x) =45 - 0.6x, 在 RtZACD 中，AD=DC*tanZACB,AD=X+33.75,VAD+OD=OA=75,+600.8x=75,解得 x=37.5. BO37.5；故小桌板桌面的宽度BC约为37.5cm.图1【点评】此题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确构造直角三角形并求解.24. 某口孙老师佩戴运动手环进行快走锻炼，两次锻炼后数据如表.与第一次锻 炼相比，孙老师第二次锻炼步数增长的白分率是其平均步长减少的白分率的3 倍.根据经验孙老师第二次锻炼时平均步长减少的白分率小于0.5.工程步数步平均

41、步长米/步距离米第一次锻炼第二次锻炼10000 (D 10000 (l+3x) 0.6 (1 x)60007020注：步数X平均步长=蹈离.1求孙老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率;2孙老师发现好友中步数排名第一为24000步，因此在两次锻炼结束后乂走 了 500米，使得总步数恰好为24000步，求孙老师这500米的平均步长.【考点】一元二次方程的应用.【分析】(1)直接利用孙老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减 少的白分率的3倍，得出第二次锻炼的步数；利用孙老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为x,即可表示出第二次锻炼 的平均步长(米/步)；根据题意表示出第二次锻炼的总距离，进而得

42、出答案；(2)根据题意可得两次锻炼结束后总步数，进而求出王老师这500米的平均步 长.【解答】解：(1)根据题意可得：10000 (1+3":第二次锻炼的平均步长(米/步)为：0.6 Mx)；故答案为：10000 (l+3x) ； 0.6 (1-x):设孙老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为X,由题意：10000 (l+3x) X0.6 (1 - X)=70201 7解得:xi=3>0-5 (舍去)，x2=0.1./.x=10%答：孙老师第二次锻炼时平均步长减少的白分率为10%；(2)解：10000+10000 (1+X3)=23000,5004- (24000 23000)

43、=0.5,答：孙老师这500米的平均步幅为0.5米.【点评】此题主要考査了一元二次方程的应用，根据题意正确表示出第二次锻炼 的步数与步长是解题关键.25. 对于一个三角形，设其三个内角的度数分别为x。、y。和z。，假设x、y、z满 足x2+y2=z2,我们定义这个三角形为美好三角形.(1) AABC中，假设ZA=50°, ZB=70°,那么厶ABC不是(填"是"或"不是")美好三角形；(2) 如图，锐角AABC是的内接三角形，ZC=60°, AC=4, ©O的直径是也, 求证：AABC是美好三角形：(3) 己知ZX

44、ABC是美好三角形，ZA=30°,求ZC的度数.【考点】圆的综合题.【分析】(1)利用美好三角形的定义得出Aabc的形状进而求出即可:(2) 利用勾股定理的逆定理得出AABC的形状进而得出答案；(3) 利用美好三角形的定义进而分别得出ZC的度数.【解答】(1)解：V AABC 中.ZA=50 ZB=70°./.ZC=601502+602 H 702,ABC不是美好三角形；故答案为：不是；(2)证明：连接OA、OC.AO4, OA=OC=2 屈OAC是直角三角形，即ZAOS90。,.ZB=45.*ZC=60o,.ZA=75°,即三个内角满足关系：452+602=75

45、2,ABC是美好三角形：(3)解：设ZC=x°,那么ZB= (150 x)。， 假设ZC为最大角，那么x2= (150 -x) 2+302, 解得x=78,假设ZB最大角，那么(150x) 22+302,解得x=72,综上可知，ZC=78°或72。.【点评】此题主要考查了圆的综合以及勾股定理的应用，利用数形结合以及分类 讨论得出得出是解题关键.26 阅读下而材料：小昊遇到这样一个问题：如图1.在ABC中，ZACB=90°, BE是AC边上的中线, 点D在BC边上，CD： BD=1： 2, AD与BE相交于点P,求舊的值.小昊发现，过点A作AFBC,交BE的延长线于

46、点F,通过构造AAEF,经过推 理和计算能够使问题得到解决如图2. 请答复：需的值为参考小昊思考问题的方法，解决问题： 如图3,在AABC中，ZACB=90°,点D在BC的延长线上，AD与AC边上的中线BE的延长线交于点P, DC： BC： AC=1： 2： 3.(1)求需的值：2B假设 CD=2,那么 BP= 6.图3【考点】相似形综合题；全等三角形的判定与性质；勾股定理.【分析】易证 AEFACEB,那么有AF=BC设CD=k,那么DB=2k, AF=BC=3k,由AF/7BC可得 APFsDPB,然后根据相似三角形的性质就可求出票的值：解决问题：过点A作AFDB,交BE的延长线

47、于点F,设DC=k,由DC： BC=1：2 得 BC=2k, DB=DC+BC=3k.易证 AEF竺ACEB,那么有 EF=BE, AF=BC=2k.易证 AFPsDBP,然后根据相似三角形的性质就可求出普的值：(2)当CD=2时，可依次求出BC、AC、EC、EB、EF、BF的值，然后根据霍的 Dr 值求出需，就可求出BP的值.【解答】解：需的值为号提示：易证 AEFACEB,那么有AF=BC.设 CD=k,那么 DB=2k, AF=BC=3k,由 AF/7BC 可得 APFs/XDPB, 即可得到世=竺=丄.PD BD 2故答案为:解决问题：(1)过点A作AFDB,交BE的延长线于点F,如图

48、，设 DC=k,由 DC： BC=1： 2 得 BC=2k, DB=DC+BC=3k.E是AC中点，AAE=CE.VAF/DB,AZF=Z1.在ZXAEF 和ZXCEB 中，ZE=Z1Z2=Z3,AE=CEAAAEFACEB,/.EF=BE, AF=BC=2k.AFDB,AAFPADBP,肚_ FP _觥_ 2k _ 2* * DP _ BP " DB " 3177*需的值为务2当 CD=2 时,BO4, AC=6, EC=yAC=3, EB=i/ec2+BC2=5» AEF=BE=5, BF=10. 供已证， BF_5.丽蔦，.BP=-BF=-pX10=6.【点

49、评】此题主要考查了和似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、 勾股定理等知识，结合中点，作平行线构造全等三角形是解决此题的关键.27.10分2022*咸宁阅读理解：我们知道，四边形具有不稳定性，容易变形，如图1，一个矩形发生变形后成为 一个平行四边形，设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为a,我们 把二厂的值叫做这个平行四边形的变形度.sma1假设矩形发生变形后的平行四边形有一个内角是120度，那么这个平行四边形的变形度是_猜测证明：2设矩形的面积为Sn其变形后的平行四边形面积为S2,试猜测S】，S2, -rTFsmO-之间的数量关系，并说明理由；拓展探究：3如图2,在矩形ABC

50、D中，E是AD边上的一点，且AB2=AE*AD这个矩形发生变形后为平行四边形AiBiCiDi，Ei为E的对应点，连接BiEi，BQ】，假设矩 形ABCD的面枳为4听(m>0),平行四边形A】B】CiDi的面积为2听(m>0), 试求ZAxEiBi+ZAxDxBi 的度数.【考点】相似形综合题.【分析】(1)根据平行四边形的性质得到a=60%根据三角函数的定义即可得 到结论：(2) 如图1,设矩形的长和宽分别为a, b,变形后的平行四边形的高为h,根 据平行四边形和矩形的面积公式即可得到结论；(3) 由己知条件得到厶BiAiEiADiAiBi,由相似三角形的性质得到ZAiBiEi=

51、ZAlDiBi，根据平行线的性质得到ZAiEiBZCiBiEi,求得ZAiEiBi+ZAxDiBZ C1E1B1+ZA1B1E尸ZA1B1C1，证得ZAiBC尸30。，于是得到结论.【解答】解：(1) V平行四边形有一个内角是120度， a=60°,.1二 2近sinCl sin60° 3 *故答案为：寒；21 _S1 sina S2理由：如图1,设矩形的长和宽分别为a, b,变形后的平行四边形的高为h,Si=abS2=ah,hsin a=» bS】ab b S2"ah_h，.1b Si1 sinQ h' S? sina 3 VAB2=AEAD,

52、A i B i A i E i.A映aEMQ,即石斤和,VZBiAiEi=ZDiAiBi,/. ABiAiEiADiAiBi,ZABiEi=Z AiDiBi，VAiDi/ZBiCi,AiEiBi=zCiBiEi,.ZAiEiBi+ZAiDiBZCiEiBi+ZAiBiEZAiBiCi， 由 知聶厂二齧可知TnZ爲心二籍。/.sinZAiBiCy,/. ZAiBiCi=30°,ZAiEiBi+ZAiDiBi=30°.【点评】此题考査了平行四边形的性质，矩形的性质，三角函数的定义，相似三 角形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键.28. 10 分2022 秋无锡期中如图,在 RtAABC 中,ZC=90°, AC=6, BC=8.动 点P从点A开始沿折线AC CB BA运动，点P在AC, CB, BA边上运动的速度 分别为每秒3, 4, 5个单位.直线I从与AC重合的位置开始，以每秒寻个单位 的速度沿CB方向移动，移