一般周期函数的傅里叶级数

1、一般周期函数的傅里叶级数第一页，共40页。一一、周期周期 T = 2l 的函数展开成傅里叶级数的函数展开成傅里叶级数思路：思路：)(xflT 2 )()(ttfl ,llx T 2 , t展开展开 10sincos2)(nnnntbntaat natnttbndsin)(1 1tnttdcos)( ),2,1,0( n),2,1( ntxl )(xf)(lxt lxn lxn xllxnxflldcos)(1 xlxnxfllldcos)(1 第二页，共40页。),2,1( ntnttbndsin)(1 xlxnxfllldsin)(1 xllxnxflldsin)(1 lxt 第三页，共40

2、页。定理定理4(展开定理展开定理)满满足足收收敛敛的的周周期期函函数数设设周周期期为为)(2xfl)sincos(210lxnblxnaannn 的的间间断断点点时时，为为当当的的连连续续点点时时；为为当当)(,2)()()(),(xfxxfxfxfxxf为为其其中中系系数数nnba ,里里叶叶级级数数处处处处收收敛敛，且且定定理理的的条条件件，则则它它的的傅傅第四页，共40页。 naxlxnxflbllndsin)(1 l1xlxnxflldcos)( ),2,1,0( n),2,1( n结论结论 1)(nnbxf(连续点处连续点处)lxnsin若以若以2l 为周期的周期函数为周期的周期函数

3、 f (x) 在在(-l , l ) 上为上为奇函数奇函数，则，则 ),2,1(dsin)( nxlxnxfbn其中其中l20l第五页，共40页。(2) 若以若以2l 为周期的周期函数为周期的周期函数 f (x) 在在(-l , l ) 上为上为偶函数偶函数，则，则(连续点处连续点处) 2)(0axf),2,1,0(dcos)( nxlxnxfan其中其中 1nnalxncos注注 ).()(21 xfxf傅里叶级数总傅里叶级数总收敛于收敛于l20l(在在 f (x) 的间断点的间断点 x 处处)第六页，共40页。例例1时时，且且当当的的周周期期设设5510)( xTxf,:)(, 5奇奇函函

4、数数xfl , 2 , 1 , 00 nan解解505sin55cos2 xnnxnxn ,2, 11011 nnn，xxf )( lnxlxnxflb0dsin2xxnxd5sin5250 55 yxo.)(展展开开成成傅傅里里叶叶级级数数将将xf第七页，共40页。 满满足足狄狄利利克克雷雷条条件件，因因xf xf10 ,510时时当当 kx,( x 53sin3152sin215sinxxx）,2,1,0,510 kkx傅傅里里叶叶级级数数收收敛敛到到:傅傅里里叶叶展展开开式式故故有有, 0 na nbnn1011 55 yxo .0255)510( kS第八页，共40页。解解 上上表表达

5、达式式为为周周期期设设2 ,2,4)( Txf例例2 ),0(20,02,0为为常常数数ExExxf .展展成成傅傅里里叶叶级级数数试试将将xf.)(1满满足足收收敛敛定定理理条条件件xf), 2, 1, 0(2)( mmxxfm的的间间断断点点：2)()()( mmmxfxfxS傅里叶级数之和函数：傅里叶级数之和函数：oyxE2 2.2E 第九页，共40页。连连续续时时，当当)(xfxxm 10)sincos(2)()(nnnlxnblxnaaxSxf ,2 l22), 2, 1, 0,2( mmxnnba ,2 确确定定傅傅里里叶叶系系数数： xxfad21220 20,02, 0 xEx

6、xfExEx dd0212002第十页，共40页。 xxnxfand2cos2122 2002d2cosd021xxnEx 022sin20 nxn),2,1( n 20,02, 0 xExxf xxnxfbnd2sin2122 xxnEd2sin2120 第十一页，共40页。)1(1nnE ,4 ,2,0nxkkEEk 12)12(sin12122 ,3,1,2 nnExxnEd2sin2120 oyxE2 2), 2 , 1(0,0 naEannb)2sin2cos(2)(10 xnbxnaaxfnnn 3 所求函数的傅里叶展开式为：所求函数的傅里叶展开式为：), 2, 1, 0,2( m

7、mxRx，第十二页，共40页。思思想想,)(llxxf 二、定义在二、定义在 -l , l 和和 0, l 区间上的区间上的函数函数周期延拓周期延拓lTxF2)( 傅傅里里叶展开叶展开展成傅里叶级数展成傅里叶级数1. 将将l , l 上的函数展成傅里叶级数上的函数展成傅里叶级数xyOl l)(xfy xOyll 3l l 3 )(xFy 第十三页，共40页。:)(1进进行行周周期期延延拓拓对对xf)(xFy 考虑考虑)2(lT ,(),()(llxxfxF 满满足足：)()2(xFlxF 且且xyOl l)(xfy xOyll 3l l 3 )(xFy 的的傅傅里里叶叶级级数数展展开开成成周周

8、期期为为将将lxF2)(2 10)sincos(2)(nnnlxnblxnaaxF )(),(的的连连续续点点为为，xFxx 第十四页，共40页。,3llx 限限制制,(),()(llxxfxF 的的连连续续点点时时，为为，且且当当)(),(xfxllx )()(xSxF )(xf 10)sincos(2nnnlxnblxnaa 的的间间断断点点时时，为为，且且当当)(),(00 xfxllx )(0 xS2)()(00 xfxf2)()(00 xFxF时时，当当lx 0)(0 xS2)()( lflf2)()( lFlF第十五页，共40页。 llllnllllnxlxnxflnxlxnxFl

9、bxlxnxflnxlxnxFla.dsin)(1), 2 , 1(,dsin)(1,dcos)(1), 2 , 1 , 0(,dcos)(1 其中傅里叶系数其中傅里叶系数第十六页，共40页。例例3解解 上上展展成成傅傅里里叶叶级级数数在在将将exfx, ,)(上上连连续续，在在xf xxead10 xnxnxeadcos1 ,)1(12neen .且且满满足足狄狄利利克克雷雷条条件件, 1|1xeee xnxnxnne cossin112(周期延拓周期延拓傅傅里里叶展开叶展开限制限制)第十七页，共40页。 xnnxdxebsin1傅傅里里叶叶展展式式 1eexf .)1(121neenn 处

10、处，在在x xnxnnxne cossin112 x )()(21 ff.21ee 注注傅傅立立叶叶级级数数收收敛敛到到 12sincos1121nnnxnnxnxyo 第十八页，共40页。2. 将将0,l 上的函数展成正弦级数与余弦级数上的函数展成正弦级数与余弦级数,0)(lxxf f (x)展成展成正正弦级数弦级数奇奇延拓延拓偶偶延拓延拓l xoly周期延拓周期延拓F (x)限制限制, 0lx (余余)(展开展开)oxyll )(xfy 第十九页，共40页。1xyo例例4 将函数将函数)0(1)(xxxf 分别展成分别展成正弦级数与余弦级数正弦级数与余弦级数 . 解解 将将 f (x) 作

11、作奇延拓奇延拓及及周期延拓周期延拓. xnxxf0dsin)(bn2 xnxx0dsin)1(2 02cossincos2nnxnnxnnxx nnncoscos12 12 knkn2 ),2,1( k,1222 k,1k (1)展成展成正弦级数正弦级数.第二十页，共40页。 nb12,1222 knkknk2,1 ),2,1( k x21xsin)2( x2sin2 x3sin32 x4sin4)0(x 注注在端点在端点 x = 0, , 级数的和为级数的和为0 .1xyo故故 （与（与f (x) = x + 1 的对应值不同）的对应值不同） 第二十一页，共40页。(2)展成余弦级数展成余弦

12、级数.x1y将将)(xfo 0a xx0d)1(2 na xnxx0dcos)1(20222xx 2 02sincossin2nnxnnxnnxx 1cos22 nn12,)12(42 knkkn2,0 ),2,1( k作作偶周期延拓偶周期延拓.第二十二页，共40页。121 x xcos x3cos312)0(x x5cos512注注 令令 x = 0 可得可得851311222 8)12(1212kn 即即 412 12)12(14kkxk)12cos( 1yox第二十三页，共40页。*3.将将a,b上的函数展成上的函数展成傅里叶级数傅里叶级数,bax )()2(tFabtf 2,2abab

13、t 2abxt 代代入入)(xf在在,ba上的傅里叶级数上的傅里叶级数 (周期周期T=b-a)(xf傅傅里里叶展开叶展开2abtx 第二十四页，共40页。)(zFz55*例例5 将将)155(10)( xxxf展成傅里叶级数展成傅里叶级数.解解 令令,10 xzttfxftF )10()()(延拓奇函数延拓奇函数F(t) (周期周期T= 10 ). ),2,1,0(0 nan 5052tbnttnd5sinnn10)1( 5sin)1(10)(1tnntFnn )55( t5sin)1(10101xnnxnn 故故)155( x),55( t第二十五页，共40页。为正弦为正弦 级数级数) 内容

14、小结内容小结1. f(x)(周期周期:2l )的傅里叶展开式的傅里叶展开式 )(xf20a lxnblxnannnsincos1 (x :连续连续点点)其中其中 naxlxnxfllldcos)(1 nbxlxnxfllldsin)(1 ),1,0( n),2,1( n( f (x)为奇为奇 函数时函数时,(偶偶)(余弦余弦)2. -l, l或或0, l上函数的傅里叶展开上函数的傅里叶展开延拓延拓展开展开 限制限制第二十六页，共40页。几点注记几点注记1. 注意画图形注意画图形.(便于发现奇偶性及间断点便于发现奇偶性及间断点,写收敛域写收敛域) 2. 计算傅里叶系数时计算傅里叶系数时, a0

15、要单独算要单独算;3. 0 , l 上函数的傅里叶展式不唯一上函数的傅里叶展式不唯一.( 延拓方式不同级数也不同延拓方式不同级数也不同)关于函数的傅里叶级数展开关于函数的傅里叶级数展开第二十七页，共40页。例例1-1)11(2)( xxxf将将的傅立叶级数的傅立叶级数, 并求级数并求级数 121nn(91 考研考研) 解解y1ox12f(x)为偶函数为偶函数,0 nb 100d)2(2xxa5 xxnxand)cos()2(210 1)1(222 nn因因 f (x) 周期延拓后在周期延拓后在,),(上上连连续续 x225,)12cos()12(14122xkkk 展成周期为展成周期为21,1

16、 x的和的和.周期延拓周期延拓,第二十八页，共40页。得得令令, 0)1( x 122)12(14252kk 故故8)12(1212kk 121)2(nn 12)12(1nn 12)2(1nn 121nn故故 12)12(134nn62 注注 12141nn x225xkkk )12cos()12(14122 1,1 x第二十九页，共40页。 且且满满足足狄狄氏氏条条件件，、若若xx 例例2-1解解 .,1周周期期相相同同先先证证xx lx2周周期期为为设设 lxlx22 ,xx .,的的关关系系及及nnnnbaba .2lx周周期期为为 )(2 xlx )()(xx 的的傅傅里里叶叶系系数数

17、与与求求xx 第三十页，共40页。 tltntltxlldcos1 nllatltntldcos1 xlxnxlbllndsin1 tltntltxlldsin1 nllbtltntldsin1 nnnnbbaa xlxnxlallndcos1 ,2ll 取取基基本本周周期期 :的的傅傅里里叶叶系系数数x第三十一页，共40页。 lxnxlalncos120 02d2cos212lttllntlltlx nlatltntldcos120 xlxnxlblndsin120 ttllntlltlxld2sin21202 nlbtltntldsin120 l202，取取基基本本周周期期方法方法2)2(

18、tl nnnnbbaa)()(tt 第三十二页，共40页。)(tfto 0d)1sin()1sin(ttntn例例2-2 交流电压交流电压tEtEsin)( 经经半波整流半波整流后负后负压消失压消失, ,试求试求半波整流函数半波整流函数f( (t t) )的的解解 2 )(tf na故故 0dcossinttntE,sintE,0傅傅里里叶级数叶级数. ., 上的表达式为上的表达式为0 tt 0E2 f(t)周期为周期为22第三十三页，共40页。00 tt0d2sinEa21 E2cos212,1时时 n ttntn0d)1sin()1sin(Ean2 tnn)1cos()1(1 E20 tn

19、n)1cos()1(1 111)1(111)1(21nnnnEnn nEn)1(1)1(21 32 ,0 kn,)41(22kE ),1,0( kkn2 第三十四页，共40页。tttEbdsinsin01 ttntnEd)1cos()1cos(20 ntnEbn)1()1sin(20)1()1sin(0 ntnttntEbndsinsin0 ttEd)2cos1(20 022sin2ttE 2E n 1 时时)(tfto22第三十五页，共40页。因半波整流函数因半波整流函数 f ( t ),处处处处连连续续 Etf)( tEsin2tkkEk2cos411212 )( t直流部分直流部分注注交流部分交流部分2 k 次谐波振幅：次谐波振幅：,14122 kEAk k 越大振幅越小越大振幅越小.(实际应用中取前几项足以逼近实际应用中取前几项足以逼近f (x)第三十六页，共40页。例例3-12)(x