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文档简介

1、 关于积分的数学模型实例用现代数学方法研究体育运动是20世纪70年代开始的，1973年，美国的应用数学家凯勒发表了赛跑的有关理论，并用他的理论训练中长跑运动员，取得很好的成绩。几乎同时，美国的计算专家埃斯特运用数学、力学，并借助计算机研究了当时铁饼投掷技术，从而提出自己的理论，据此改正投掷技术的训练措施，从而使当时一位世界冠军在短期内将成绩提高了4米，在一次奥运会上的比赛中创造了连破三次世界纪录的辉煌成绩。这些例子说明，数学在体育训练中也在发挥着越来越明显的作用，所用到的数学知识也越来越深入，借助的科学工具也越来越先进。我们选择一个较简单的例子来作说明。篮球运动员在中距离投篮训练时被告知：为提

2、高投篮命中率，应以450投射角投球。请从数学理论的方法阐述其原因。其中典型数据：投篮距离6米，篮圈半径0.2米，篮圈高度3.05米，篮球出手高度2.9米。模型假设：（1） 忽略空气阻力； v P1 P2（2） 只考虑不接触篮板投篮的情况； O （3） 防守队员的防守不影响投篮命中率；（4） 运动员投球的水平距离s<10（米） h0 H0 （5） 投球的运动曲线和篮圈中心在同一平面内。 S0如图，设P1P2为篮圈横截面，篮圈高为H0，半径为R，H0=3.05（米），R=0.2（米）投篮出手点到篮圈中心水平距离为s0，出手高度为h0，s0=6（米） h0=2.9（米）投篮出手角度为，速度为v

3、，入篮篮球空中运行轨迹位于图中两曲线之间区域，其面积为A()建立相应的数学模型及求解：显然，投球入篮与否与距离s0、出手角度、出手速度v、篮圈高、半径等因素有关，为了综合考虑这些因素，我们用入篮篮球的空中运行区域的大小来刻画投篮的命中程度。于是，该问题转化为求一个角度0(h0, s0)，能使运行区域面积A()最大，即第一步：由运动学知弧、的方程为斜上抛运动轨迹方程，方程式为： 由于过点，则有：则的方程为同理，得方程为 另外，直线P1P2的方程为第二步，求运动区域面积A()运用定积分求面积，得第三步，求A()得极值点：由A()的表达式可以看出，当tan越大（即越大，<900），A()越大。

4、但事实上由于投篮出速度只可能在某一范围内变化，所以tan只可能在某一范围内变化。为求tan在所给定的范围内使A()达到最大，我们把A化为初速度v的函数来求极大值。回到运动方程 设曲线过点，代入方程得：从而有这是关于tan的一元二次方程，取其最小的根：其中，满足 又因为所以，tan是的减函数，当达到极小时，tan达到极大，由于解得 则有其中从上式可以看出，是s的减函数，由于所以把H0、h0、s0、R的数据代入计算，得这与一般中距离投篮的经验（投射角为450）基本相符，结果令人满意。在上述模型中，当运动区域面积表示为tan的函数时，不能用微分求极值得方法直接解决，而是使用一定的转化从侧面入手加以讨论。此

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